1.3*　 二元函數的基本概念、偏導數和全微分

1.3.1　二元函數的基本概念

（1）二元函數的概念

在很多自然現象及實際問題中，經常會遇到多個變量之間的依賴關系，舉例如下.

【例1.3.1】　圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h之間具有關系

V=πr2h.

這里，當r，h在集合{（r，h）|r>0，h>0}內取定一對值（r，h）時，V的對應值就隨之確定.

【例1.3.2】　一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關系

其中R是常數.這里，當V，T在集合{（V，T）|V>0，T>T0}內取定一對值（V，T）時，p的對應值就隨之確定.

上面兩個例子的具體意義雖各不相同，但它們卻有共同的性質，抽出這些共性就可以給出二元函數的定義.

定義1.3.1　設D是平面上的一個點集.如果對每個點P（x，y）∈D，變量z按照一定的法則總有確定的值和它對應，則稱z是變量x、y的二元函數（或點P的函數），通常記為

z=f（x，y），　（x，y）∈D

或        z=f（P），　P∈D，

其中點集D稱為該函數的定義域，x、y稱為自變量，z稱為因變量.

上述定義中，與自變量x、y的一對值（即二元有序實數組）（x，y）相對應的因變量z的值，也稱為f在點（x，y）處的函數值，函數值的全體所構成的集合稱為函數f的值域，記作f（D），即

f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}.

與一元函數的情形相仿，記號f與f（x，y）的意義是有區別的，但習慣上常用記號“f（x，y），（x，y）∈D”或“z=f（x，y），（x，y）∈D”來表示D上的二元函數f. 表示二元函數的記號f也是可以任意選取的，例如也可以記為z=φ（x，y），z=z（x，y）等.

設z=f（x，y）的定義域為D.對于任意取定的點P（x，y）∈D，對應的函數值為z=f（x，y）.這樣，以x為橫坐標、y為縱坐標、z=f（x，y）為豎坐標在空間就確定一點M（x，y，z）.當（x，y）遍取D上的一切點時，得到一個空間點集

{（x，y，z）|z=f（x，y），（x，y）∈D}，

這個點集稱為二元函數z=f（x，y）的圖形（圖1.3.1）.通常我們也說二元函數的圖形是一張曲面.

（2）二元函數的極限

下面討論二元函數z=f（x，y）當（x，y）→（x0，y0），即P（x，y）→P0（x0，y0）時的極限.

這里P→P0表示點P以任何方式趨于點P0，也就是點P與點P0的距離趨于零，即

與一元函數的極限概念類似，如果在P（x，y）→P0（x0，y0）的過程中對應的函數值f（x，y）無限接近于一個確定的常數A，就說A是函數f（x，y）當（x，y）→（x0，y0）時的極限.下面用“ε-δ”語言描述這個極限的概念.

定義1.3.2　設二元函數f（P）=f（x，y）的定義域為D，P0（x0，y0）是D的聚點.如果存在常數A，對任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得滿足0<|PP0|<δ的任意的點P（x，y）∈D，都有

|f（P）-A|=|f（x，y）-A|<ε

成立，那么就稱常數A為函數f（x，y）當（x，y）→（x0，y0）時的極限，記為

也記為

為了區別一元函數的極限，把二元函數的極限叫做二重極限 .

【例1.3.3】　設，求證

證　這里函數f（x，y）的定義域為D=R2/{（0，0）}，點（0，0）為D的聚點.因為

可見，?ε>0，取，則當

總有

|f（x，y）-0|<ε

成立，所以

注意　所謂二重極限存在，是指P（x，y）以任何方式趨于P0（x0，y0）時，f（x，y）都無限接近于A.因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0（x0，y0）時，即使f（x，y）都無限接近于某一個定值，還不能由此斷定函數的極限存在.但是反過來，如果當P（x，y）以不同方式趨于P0（x0，y0）時，f（x，y）趨于不同的值，那么就可以斷定函數的極限不存在.下面用例子來說明這種情形.

考察函數

顯然，當點P（x，y）沿著x軸趨于點（0，0）時，

又當點P（x，y）沿著y軸趨于點（0，0）時，

雖然點P（x，y）以兩種特殊方式（沿著x軸或沿著y軸）趨于原點時函數的極限存在并且相等，但是并不存在.這是因為點P（x，y）沿著直線y=kx趨于點（0，0）時，有

顯然它是隨著k的值的不同而改變的.

關于二元函數的極限運算，有與一元函數類似的運算法則.

（3）二元函數的連續性

明白了函數極限的概念，就不難說明二元函數的連續性.

定義1.3.3　設二元函數f（P）=f（x，y）的定義域為D，P0（x0，y0）為D的聚點，且P0∈D，如果

則稱函數f（x，y）在點P0（x0，y0）連續.

如果f（x，y）在D內每一點都連續，那么稱函數f（x，y）在D上連續，或者稱f（x，y）是D上的連續函數.

根據二元函數的極限運算法則，可以證明二元連續函數的和、差、積仍為連續函數；連續函數的商在分母不為零處連續；二元連續函數的復合函數也是連續函數.

1.3.2　偏導數

（1）偏導數的定義及其計算法

在研究一元函數時，我們從研究函數的變化率引入了導數概念.對于二元函數同樣需要討論它的變化率.但二元函數的自變量有兩個，因變量與自變量的關系要比一元函數復雜得多.在這一節里，我們首先考慮二元函數關于其中一個自變量的變化率.對于二元函數z=f（x，y），如果只有自變量x變化，而自變量y固定（即看作常量），這時它就是x的一元函數，這函數對x的導數，就稱為二元函數z=f（x，y）對于x的偏導數，即有如下定義：

定義1.3.4　設函數z=f（x，y）在點（x0，y0）的某一鄰域內有定義，當y固定在y0而x在x0處有增量Δx時，相應的函數有增量

f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0），

如果

　　　（1.3.1）

存在，則稱此極限為函數z=f（x，y）在點（x0，y0）處對x的偏導數，記作

例如，極限式（1.3.1）可以表示為

　　　（1.3.2）

類似地，函數z=f（x，y）在點（x0，y0）處對y的偏導數定義為

　　　（1.3.3）

記作

或　fy（x0，y0）.

如果函數z=f（x，y）在區域D內每一點（x，y）處對x的偏導數都存在，那么這個偏導數就是x、y的函數，它就稱為函數z=f（x，y）對自變量x的偏導函數，記作

類似地函數z=f（x，y）對自變量y的偏導函數，記作

由偏導數的概念可知，f（x，y）在點（x0，y0）處對x的偏導數fx（x0，y0）顯然就是偏導函數fx（x，y）在點（x0，y0）處的函數值；fy（x0，y0）就是偏導函數fy（x，y）在點（x0，y0）處的函數值.就像一元函數的導函數一樣，以后在不至于混淆的地方也把偏導函數簡稱為偏導數.

至于實際求z=f（x，y）的偏導數，并不需要用新的方法，因為這里只有一個自變量在變動，另一個自變量是看做固定的，所以仍舊是一元函數的微分法問題.求時，只要把y暫時看做常量而對x求導數；求時，只要把x暫時看做常量而對y求導數.

【例1.3.4】　求f（x，y）=x2+3xy+y2在點（1，2）處的偏導數.

解　把y看做常量，得

把x看做常量，得

將（1，2）代入上面的結果，就得

（2）高階偏導數

設函數z=f（x，y）在區域D內具有偏導數

那么在區域D內fx（x，y），fy（x，y）都是x，y的函數.如果這兩個函數的偏導數也存在，則稱它們是函數z=f（x，y）的二階偏導數.按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數：

其中第二、三兩個偏導數稱為混合偏導數.同樣可以得三階、四階以及n階偏導數.二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數.

【例1.3.5】　設z=x3y2-3xy3-xy+1，求

解　

從上例中可以看到，兩個二階混合偏導數相等，即.這不是偶然的，事實上，有下述定理.

定理1.3.1　如果函數z=f（x，y）的兩個二階混合偏導數在區域D內連續，那么在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等.

1.3.3　全微分

（1）全微分的定義

由偏導數的定義知道，二元函數對某個自變量的偏導數表示當一個自變量固定時，因變量相對于該自變量的變化率.根據一元函數微分學中增量與微分的關系，可得

f（x+Δx，y）-f（x，y）≈fx（x，y）Δx，

f（x，y+Δy）-f（x，y）≈fy（x，y）Δy.

上面兩式的左端分別叫做二元函數對x和對y的偏增量，而右端分別叫做二元函數對x和對y的偏微分.

在實際問題中，有時需要研究多元函數中各個自變量都取得增量時因變量所獲得的增量，即所謂全增量的問題.

設函數z=f（x，y）在點P（x，y）的某個鄰域內有定義，P'（x+Δx，y+Δy）為鄰域內的任一點，則稱這兩點的函數差f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）為函數在點P（x，y）對應于自變量增量Δx，Δy的全增量，記作Δz，即

Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）.　　　（1.3.4）

一般來說，計算全增量Δz比較復雜.與一元函數的情形一樣，我們希望用自變量的增量Δx，Δy的線性函數來近似地代替函數的全增量Δz，從而引入如下定義.

定義1.3.5　設函數z=f（x，y）在點（x，y）的某個鄰域內有定義，如果函數在點（x，y）的全增量

Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）

可表示為

Δz=AΔx+BΔy+o（ρ）.　　　（1.3.5）

其中A，B不依賴于Δx、Δy而僅與x、y有關，，則稱函數z=f（x，y）在點（x，y）可微分，而AΔx+BΔy稱為函數z=f（x，y）在點（x，y）全微分，記作dz，即

dz=AΔx+BΔy.　　　（1.3.6）

如果函數在區域D內各點處都可微，那么稱這函數在D內可微分.

（2）可微的條件

下面討論函數z=f（x，y）在點（x，y）可微分的條件.

定理1.3.2　（必要條件）　如果函數z=f（x，y）在點（x，y）可微分，則該函數在點（x，y）的偏導數必存在，且函數z=f（x，y）在點（x，y）的全微分為

　　　（1.3.7）

由定理1.3.2可知，偏導數存在是可微分的必要條件而不是充分條件.但是，如果再假定函數的各個偏導數連續，則可以證明函數是可微的，即有下面定理.

定理1.3.3（充分條件）　如果函數z=f（x，y）的偏導數在點（x，y）連續，則函數在該點可微分.

習慣上，我們將自變量的增量Δx、Δy分別記作dx，dy，并分別稱為自變量x、y的微分.這樣函數z=f（x，y）的全微分就可寫為

　　　（1.3.8）

通常把二元函數的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數的微分符合疊加原理.