1.5　復數的應用

復數被廣泛應用于理論研究和工程實踐等領域，如流體力學、相對論、量子力學、應用數學、普通物理、系統分析、信號分析和電路分析等.例如應用數學中高斯關于“代數基本定理”的證明必須依賴于復數的理論.在求解微分方程時，可以利用拉普拉斯變換將微分方程轉變為代數方程求解，而拉普拉斯變換也是基于復數的一種積分變換；自動控制系統的穩定性分析，經常利用系統的傳遞函數的極點來判斷系統的穩定性，而極點就在復平面上；電路分析中求電路的正弦穩態響應時，利用相量法求解分析簡單方便，而相量分析法也是基于復數的分析方法；在物理學中如力、速度、加速度等向量都可以用復數來表示，用復數表示向量，可以用兩個復數之和表示兩個向量如力、速度的合成；在信號與系統分析中最重要的是傅里葉級數和傅里葉變換，可以說是信號與系統分析的核心和靈魂，其他的理論和原理都可以在此基礎上建立，在由周期信號的傅里葉級數到非周期信號的傅里葉變換過渡過程中，傅里葉級數的復指數表示形式起到橋梁作用，而傅里葉級數的復指數表示形式及所利用的歐拉公式都涉及復數和復變函數的知識，同樣，在信號分析與處理中非常重要的三大變換：傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換都是信號與某種類型的復指數函數相乘經過積分或求和運算而得到，這三種變換在進行變換時也涉及復數和復變函數.總之，無論是分析信號的頻譜，還是分析系統的頻率特性以及系統的穩定性，或者是設計數字濾波器，可以毫不夸張地說幾乎到處看到復數及復變函數應用的身影.如果沒有深刻理解復數的本質，要想真正理解和掌握信號與系統及數字信號處理，那是難以想象的.

下面以復數在平面電磁波和魚雷或艦艇平面運動中的應用為例，闡釋復數在電磁理論和軍事方面的應用.

1.5.1　復數在電磁理論中的應用

物理量用復數表示在電工學、量子力學等學科中有廣泛的應用，電磁場理論中也是如此.在很多實際情況下，電磁波的激發源往往以大致確定的頻率作正弦振蕩，因而輻射出的電磁波也以同一頻率作正弦振蕩.以一定頻率作正弦振蕩的電磁波滿足的基本方程是由麥克斯韋方程組導出的亥姆霍茲（Helmholtz）方程，平面電磁波是亥姆霍茲方程的基本解之一，它具有形式簡單，意義明確的特點.在研究電磁場的傳播和輻射時，一般采用復數形式表示平面電磁波，在用于表示偏振、吸收和計算等方面應用較多，其優點在于：在數學上復數的計算比三角函數方便，在物理上用復數表示一些物理量要比實數方便.

（1）復數振幅的應用

對于單色平面電磁波，它的表達式為E=E0cos（k·X-ωt），　　　（1.5.1）

它的復數形式是

　　　（1.5.2）

式（1.5.1）是式（1.5.2）取實部的結果.式（1.5.2）中，E0是與坐標x，y，z和時間t無關的常矢量.如果E0是實數矢量，式（1.5.2）僅表示一個線偏振的平面電磁波，而當E0是復數矢量時，式（1.5.2）不僅表示一個線偏振的平面電磁波，還能表示一個橢圓偏振的單色波.事實上，設復數振幅的形式為：

　　　（1.5.3）

式中，E0R和E0I都是與坐標x，y，z和時間t無關的實數常矢量，它們的方向一般不相同.這時式（1.5.2）可寫為

　　　（1.5.4）

實際電場可由式（1.5.4）取實部所得到，即為

　　　（1.5.5）

式（1.5.5）的第一項和第二項表示的是頻率相同，而振動方向和相位不同的兩個振動，相位差為.因此，其合振動是一個橢圓.

由此可見，對于形如式（1.5.2）的表達式來說，用實數振幅只能表示線偏振的電磁波，而用復數振幅則可以表示線偏振、橢圓偏振，當|E0R|=|E0I|時，表示圓偏振.用復數振幅可以方便地表示電磁波的極化情況.

（2）復波矢量的應用

電磁波在傳播的過程中因受空間介質的作用，電磁波的能量傳輸可能引起損失，也就是介質對電磁波產生吸收作用.式（1.5.2）所表達的平面電磁波，若波矢量k是實數矢量，因E0是與坐標x，y，z和時間t無關的常矢量，因此，波在空間各點的振幅都是相同的.也就是說，波在前進的過程中沒有能量損失.實數波矢量k只能表示介質不吸收電磁波的情形.導體對電磁波有吸收作用，電磁波在導體中傳播時有能量損失，即電磁波的振幅越來越小.若波矢量k是復數矢量，就可以表示這種情況.

事實上，設復數波矢量的形式為

k=kR+ikI　　　（1.5.6）

式中，kR和kI都是實數矢量，即三個分量都是實數.將式（1.5.6）代入式（1.5.2），得

上式中kI是實矢量，因而也是實數.顯然，這是一個振幅衰減因子，電磁波的振幅隨它的前進的距離X變化，如圖1.5.1所示.對于吸收介質來說，電磁波越往前傳播，振幅就越小，這就表示了吸收介質對電磁波的作用效果.導電介質中傳播的是一種衰減的電磁波，對電磁波而言，導體就是一種吸收介質.這是因為電磁波在導體中傳播時，激發電流產生焦耳熱損耗.

1.5.2　復數在軍事方面的應用

復變函數論是解決工程技術問題的有力工具，不僅在飛機飛行理論、熱運動理論、流體力學理論、電場和彈性理論等中的很多問題有著廣泛的應用，在其他領域如軍事工程中也有著重要的應用，例如利用復數的指數表示就可以巧妙地描述魚雷、水面艦船等武器或裝備的平面運動規律.

（1）在魚雷轉角運動描述中的應用

對于無誤差情形，理論上可以用一定的提前角直進射擊，使魚雷發射后作直線運動，直到預定相遇點與瞄準點相遇，這要求潛艇航向（魚雷發射管方向）正好與這樣一條假想的魚雷航向一致，因為實際上這一條件一般不太可能滿足，所以實際情況一般為轉角射擊，其原理為，潛艇以一定的航向勻速度直線運動，魚雷發射后要先作一定的變深、直航、轉向等運動，而后再作直航運動，以使預定相遇點與瞄準點于某一時刻相遇.假設魚雷出管后的變深，直航等運動可視為出管直航運動，魚雷的轉向運動可視為勻速圓周運動，目標、潛艇作勻速直線運動，且潛艇、魚雷、目標的運動可視為同一水平面上的運動.

下面利用復數的指數表示單獨研究魚雷的轉角運動規律，因為魚雷的轉角運動視為勻速圓周運動，若用復數的指數表示來描述該運動，不僅能簡單明確地描述問題，又能很大程度省去其他表示煩瑣的運算過程.現在的目的是求得魚雷在旋轉運動過程中任意時刻的位置P（t），如圖1.5.2所示.

已知魚雷的速度v，假設魚雷從t0時刻開始轉角，角速度為ω，則轉角的位置點為P（t0），轉角半徑為，從而轉角中心點O（t0）=P（t0）+R·，故魚雷在旋轉運動過程中任意時刻的位置

（2）在魚雷追蹤法導引彈道描述中的應用

除直航雷外，其他魚雷在最后有一個導引追蹤目標的階段，魚雷在該階段的運動軌跡完全取決于導引方式，分為聲自導、尾流自導和線導，每種導引方式又有相應的導引方法，所謂導引方法是魚雷在接近目標的過程中，魚雷速度矢量的變化規律，聲自導常用的導引法有追蹤法、固定提前角導引法、平行接近法、比例導引法和自動調整提前角導引法.所謂追蹤法導引是指魚雷在攻擊目標的導引過程中魚雷的速度矢量始終指向目標的一種導引方法.在追蹤法導引下的彈道一般稱為魚雷尾追式導引彈道，故魚雷進入尾追彈道后將時刻保持速度方向與當前位置點到目標的連線一致.在研究魚雷導引彈道時，通常在直角坐標系下，研究魚雷與目標的運動態勢，需要考慮舷角大小，即根據三角函數值的符號進行討論，計算比較麻煩，但若采用復數來描述尾追導引彈道，就得到了下面的一個簡潔明了的運動軌跡公式，從而為研究魚雷導引彈道問題提供了新的工具.

如圖1.5.3建立坐標系，假設目標以速率V沿x軸自O點開始作勻速直線運動，t時刻的位置為A（t）=（Vt，0），魚雷自O'開始以速率VT作跟蹤目標運動（VT>V），時刻t的位置為B（t）=（x（t），y（t））=x（t）+iy（t），魚雷速度方向指向目標，魚雷相對目標的舷角為X（t）（圖1.5.3為魚雷位于目標右舷情形），距離為D（t），X（0）=X0，D（0）=D0，則

B（t）=A（t）+D（t）eiX（t）.　　　（1.5.7）

有了上述表示式（1.5.7），就可以利用數學分析的方法和復數的性質對魚雷彈道進行分析，從而得到相應的軌跡方程.

將方程（1.5.7）兩邊求導得到B'（t）=A'（t）+D'（t）eiX（t）+iD（t）X'（t）eiX（t）而B'（t）表示魚雷的速度，根據魚雷速度方向指向目標，故由速度矢量的平行得到

A'（t）+D'（t）eiX（t）+iD（t）X'（t）eiX（t）=-VTeiX（t）.　　　（1.5.8）

將方程（1.5.8）寫成實部與虛部的分量形式得到：

　　　（1.5.9）

化簡得到D（t），X（t）所滿足的微分方程：

　　　（1.5.10）

這正是聲自導魚雷的追蹤導引彈道的數學模型.

以上所舉的有關復數應用的例子僅僅是復數表示的個別應用.事實上，凡是揭示平面運動規律的實際問題，都可以用復數的指數表示去描述，該描述簡潔明了，精確直觀，尤其是有關圓周運動的問題，該描述法更能體現其優越性，這不僅是反映復數指數表示內涵的重要體現，更能體現其應用性的一面，同時也顯示出其簡化計算的優點；不僅如此，該表示還有另外一個好處，那就是便于實現，具體講：一方面，可以直接在MATLAB中實現，因為MATLAB的運算域是復數，因此，當實際問題轉化成復數形式的數學模型后，就可以直接在MATLAB中進行求解實現，使用非常方便；另一方面，假若用戶要在其他高級語言比如C++中實現，可以通過建立一個“類”，實現運算符重載，再進行運算結果的實現，即使這樣也比直接用直角坐標表示再進行運算方便得多.