1.2　復(fù)平面上的曲線(xiàn)和區(qū)域

1.2.1　復(fù)平面上的曲線(xiàn)方程

平面曲線(xiàn)有直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程兩種形式.復(fù)平面上的曲線(xiàn)也可寫(xiě)成相應(yīng)的兩種復(fù)數(shù)形式.

（1）直角坐標(biāo)方程

設(shè)z=x+iy，xOy面上曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為

F（x，y）=0.　　　（1.2.1）

由 或 得到復(fù)平面上曲線(xiàn)C的方程為

　　　（1.2.2）

（2）參數(shù)方程

令z=x+iy，z（t）=x（t）+iy（t），則由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義知，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程：

x=x（t），y=y（t）　（α≤t≤β）等價(jià)于復(fù)數(shù)形式

z=x（t）+iy（t）　或　z=z（t）.　　　（1.2.3）

例如圓周的參數(shù)方程x=x0+Rcost，y=y0+Rsint　（0≤t≤2π），其等價(jià)的復(fù)數(shù)形式為

z=z0+R（cost+isint） 或 z=z0+Reit.

其中t∈［0，2π］，z0=x0+iy0.

【例1.2.1】　將直線(xiàn)方程3x+2y=1化為復(fù)數(shù)形式.

解　將代入方程，得

此即為所給直線(xiàn)方程的復(fù)數(shù)形式.

同理可得，直線(xiàn)x=1的復(fù)數(shù)形式為Re（z）=1或.又如圓周（x-x0）2+（y-y0）2=R2可表示為

|z-z0|=R.　　　（1.2.4）

其中z0=x0+iy0為圓心，|z-z0|為動(dòng)點(diǎn)z到定點(diǎn)z0的距離.由此可以看出，用復(fù)數(shù)z表示曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，可以直接寫(xiě)出其軌跡方程.如動(dòng)點(diǎn)z到定點(diǎn)z1和z2的距離之和為2a的軌跡為橢圓（|z1-z2|<2a），其方程為

|z-z1|+|z-z2|=2a.　　　（1.2.5）

【例1.2.2】　指出下列方程表示什么曲線(xiàn).

（1） |z-2i|=|z+2|；

（2） ；

（3） z=（1+i）t+z0（-∞<t<+∞）；

（4） z=（1+i）t+z0（t>0）.

解　（1）將z=x+iy代入方程|z-2i|=|z+2|得x2+（y-2）2=（x+2）2+y2，整理化簡(jiǎn)為y=-x，表示z平面上第二、四象限的角平分線(xiàn).事實(shí)上，方程顯然表示到點(diǎn)2i和-2等距離的動(dòng)點(diǎn)軌跡，即為連接2i和-2兩點(diǎn)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)［圖1.2.1（a）］.

（2）將代入方程得x=2，表示z平面上垂直于實(shí)軸的一條直線(xiàn)［圖1.2.1（b）］.

（3）設(shè)z=x+iy，z0=x0+iy0，代入方程z=（1+i）t+z0 得x=x0+t，y=y0+t它表示z平面上過(guò)點(diǎn)z0，其方向平行于向量1+i的直線(xiàn).

（4）同理可得，方程（4）只是方程（3）中直線(xiàn)的半直線(xiàn).由于點(diǎn)z滿(mǎn)足arg（z-z0）=arg［（1+i）t］= （t>0），因此它是從點(diǎn)z0出發(fā)傾角為arg（1+i）=的射線(xiàn)［不包含點(diǎn)z0，見(jiàn)圖1.2.1（c）］.顯然其方程可簡(jiǎn)寫(xiě)為arg（z-z0）=

1.2.2　簡(jiǎn)單曲線(xiàn)與光滑曲線(xiàn)

設(shè)x（t），y（t）為區(qū)間［α，β］上的兩個(gè)實(shí)變量連續(xù)函數(shù)，則由復(fù)數(shù)方程（1.2.3）在復(fù)平面上決定的點(diǎn)集C稱(chēng)為復(fù)平面上的一條連續(xù)曲線(xiàn).

定義1.2.1　若連續(xù)曲線(xiàn)C：z=z（t）對(duì)［α，β］上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)t1及t2（且不同時(shí)為［α，β］的端點(diǎn)），總有z（t1）≠z（t2），則稱(chēng)該曲線(xiàn)為簡(jiǎn)單曲線(xiàn)或若當(dāng)曲線(xiàn)；若簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，即z（α）=z（β），則稱(chēng)它為簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)（圖1.2.2）.

定義1.2.2　若x'（t），y'（t）均在［α，β］上連續(xù)，且不同時(shí)為零［即z'（t）=x'（t）+y'（t）在［α，β］上連續(xù)且z'（t）≠0］，則稱(chēng)曲線(xiàn)C：z=z（t）=x（t）+y（t） （α≤t≤β）為光滑曲線(xiàn)；由有限條光滑曲線(xiàn)依次連接所組成的曲線(xiàn)稱(chēng)為分段光滑曲線(xiàn).

如直線(xiàn)、圓周等都是光滑曲線(xiàn)，而連接直線(xiàn)段所構(gòu)成的折線(xiàn)是逐段光滑曲線(xiàn).

1.2.3　區(qū)域

為了給出區(qū)域的概念，首先引入平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念.

（1）鄰域

設(shè)P0為定點(diǎn)，δ為某個(gè)正常數(shù)，則稱(chēng)平面上以P0為中心，δ為半徑的圓內(nèi)部的點(diǎn)的集合{P| |P-P0|<δ}為點(diǎn)P0的一個(gè)δ鄰域，記作Nδ（P0）；而稱(chēng)滿(mǎn)足不等式0<|P-P0|<δ的點(diǎn)集為點(diǎn)P0的一個(gè)去心鄰域，記作

（2）內(nèi)點(diǎn)

設(shè)G為平面上的點(diǎn)集，若P0∈G且存在P0的一個(gè)鄰域Nδ（P0）?G，則稱(chēng)P0為G的內(nèi)點(diǎn).

（3）邊界點(diǎn)

如果點(diǎn)P的任何一個(gè)鄰域內(nèi)既含有屬于G的點(diǎn)，又含有不屬于G的點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)P為G的邊界點(diǎn).G的所有邊界點(diǎn)所組成的集合稱(chēng)為G的邊界.

（4）聚點(diǎn)

如果對(duì)任意給定的δ>0，點(diǎn)P的去心鄰域（P）內(nèi)總有G中的點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)P是G的聚點(diǎn).

（5）開(kāi)集

若點(diǎn)集G內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)G為開(kāi)集.

（6）連通集

如果點(diǎn)集G內(nèi)的任何兩點(diǎn)，都可用完全屬于G的折線(xiàn)連接起來(lái)，則稱(chēng)G為連通集.

定義1.2.3　若平面點(diǎn)集D是連通的開(kāi)集，稱(chēng)點(diǎn)集D為區(qū)域.

區(qū)域D連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱(chēng)為閉區(qū)域，簡(jiǎn)稱(chēng)為閉域，記作.可見(jiàn)閉區(qū)域不是區(qū)域，區(qū)域不包含它的任何邊界點(diǎn)，區(qū)域的邊界可能由幾條曲線(xiàn)和一些孤立的點(diǎn)所組成.

（7）有界域和無(wú)界域

如果一個(gè)區(qū)域D可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的某個(gè)確定的圓內(nèi)部，則稱(chēng)D是有界域，否則稱(chēng)D是無(wú)界域.

例如，集合{（x，y）|1<x2+y2<3}是有界域；集合{（x，y）|x+y>0}是無(wú)界域，集合{（x，y）|x+y≥0}是無(wú)界閉區(qū)域.可見(jiàn)，閉區(qū)域也不一定是有界的.

（8）單連通域和多連通域

簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)有一個(gè)明顯特征，它把整個(gè)平面分成沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)區(qū)域，一個(gè)是有界域稱(chēng)為它的內(nèi)部，另一個(gè)是無(wú)界域稱(chēng)為它的外部，它們都以該曲線(xiàn)為邊界，而不包含該曲線(xiàn)上的點(diǎn).下面介紹單連通域和多連通域的概念.

定義1.2.4　設(shè)D是平面上的一個(gè)區(qū)域，如果D中的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)的內(nèi)部總是完全屬于D，則稱(chēng)D為單連通區(qū)域，否則稱(chēng)D為多連通區(qū)域.

單連通域D具有這樣的特征：屬于D的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)，在D內(nèi)可以經(jīng)過(guò)連續(xù)的變形而收縮成一點(diǎn)，多連通域則不具有這一特征.

如整個(gè)復(fù)平面、半平面Im（z）>a或Re（z）>b等都是單連通域，除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面區(qū)域-π<arg（z）<π也是單連通域（圖1.2.3）.

任一去心鄰域、環(huán)形域及圖1.2.4所示的區(qū)域都是多連通域.