1.1　復數及其運算

1.1.1　復數的概念

在中學代數中已經知道，一元二次方程x2+1=0在實數范圍內無解.為求解此類方程，引入了新的數i，規定i2=-1，且稱i為虛數單位.從而方程x2+1=0的根記為，由此引入復數的定義.

定義1.1.1　設x，y為任意實數，則稱z=x+iy為復數，其中x稱為z的實部，記為Re（z）=x，y稱為z的虛部，記為Im（z）=y.

當x=0，y≠0時，則z=iy稱為純虛數；當y=0時，則z=x為實數，因此復數是實數概念的推廣.

若記=x-iy，則稱它為復數z=x+iy的共軛復數.例如，復數z=5+2i的共軛復數為z=5-2i，且有，

兩個復數相等即當且僅當它們的實部和虛部分別相等.如設z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，則z1=z2?x1=x2，y1=y2.當一個復數為0時，當且僅當它們的實部和虛部同時為0.

注意　兩個不全為實數的復數不能比較大小.

1.1.2　復數的表示法

由于復數z=x+iy由一對有序實數（x，y）所唯一確定，它與xOy平面上坐標為（x，y）的點是一一對應的，也與從原點指向點（x，y）的平面向量是一一對應的，因此在該平面上可用上述點和向量來表示復數z=x+iy（圖1.1.1），所以常把“點z”或“向量z”作為“復數z”的同義詞.此時，稱表示復數z=x+iy的xOy平面為復平面或z平面，其中x軸上的點表示的是實數，稱x軸為實軸；y軸上的點表示的是純虛數，稱y軸為虛軸.當y≠0時，點z與關于實軸對稱.

定義1.1.2　在復平面中，稱向量z的長度為復數z的模或絕對值，記為

　　　（1.1.1）

當z≠0時，我們把向量z與x軸正向的交角θ稱為復數z的輻角，記為Arg（z）=θ，于是有

x=rcosθ，　y=rsinθ.　　　（1.1.2）

注意　z=0的輻角不確定，即Arg（0）無意義.當z≠0時，其輻角Arg（z）有無窮多個，它們彼此相差2π的整數倍，可是滿足條件-π<Arg（z）≤π的輻角值卻只有一個，稱該值為其輻角的主值，記為arg（z），于是有

-π<arg（z）≤π，　　　（1.1.3）

Arg（z）=arg（z）+2kπ　（k=0，±1，±2，…）.　　　（1.1.4）

且當z=x+iy≠0時，有

　　　（1.1.5）

其中

一對共軛復數z和在復平面的位置是關于實軸對稱的（圖1.1.1），因而，如果z不在原點和負實軸上，還有

復數z=x+iy通常稱為復數的代數表達式.由式（1.1.2）和歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，可分別寫出其三角式和指數式，即

z=r（cosθ+isinθ），　z=reiθ.　　　（1.1.6）

因此，復數的表示法基本有三種

①z=x+iy（代數形式）；

②z=r（cosθ+isinθ）（三角形式）；

③z=reiθ （指數形式）.

這三種表示法可以互相轉換，以適應討論不同問題的需要.

【例1.1.1】　將化為三角式和指數式.

解　r=|z|=2且

由式（1.1.6）得z的三角式為

而z的指數式為

1.1.3　復數的四則運算

設兩個復數為z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，它們的加、減、乘、除運算定義如下：

z1±z2=x1±x2+i（y1±y2）；

z1·z2=（x1x2-y1y2）+i（x1y2+x2y1）；

不難證明，復數的加、減、乘運算和實數的情形一樣，也滿足交換率、結合律和分配率：

z1+z2=z2+z1，　z1z2=z2z1；

z1+（z2+z3）=（z1+z2）+z3，　z1（z2z3）=（z1z2）z3；

z1（z2+z3）=z1z2+z1z3.

共軛復數有以下主要性質：

（1）

（2）

（3）

（4）

由于復數可以看作平面向量，所以當z1≠0且z2≠0時，其和、差運算可以在復平面上按照平行四邊形法則或三角形法則來表示（圖1.1.2）.

|z1-z2|就是點z1與z2之間的距離（圖1.1.3），因此有

|z1+z2|≤|z1|+|z2|，|z1-z2|≥||z1|-|z2||.　　　（1.1.7）

對于非零復數zk=rk（cosθk+isinθk）　（k=1，2），利用三角函數的和、差公式，容易驗證z1z2和z1/z2的三角式分別為

z1z2=r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］；

z1/z2=（r1/r2）［cos（θ1-θ2）+isin（θ1-θ2）］.

由此可以看出，

|z1z2|=|z1||z2|， |z1/z2|=|z1|/|z2|；　　　（1.1.8）

Arg（z1z2）=Arg（z1）+Arg（z2），Arg（z1/z2）=Arg（z1）-Arg（z2）.　　　（1.1.9）

注意　式（1.1.9）中等式兩邊是多值的，它們成立是指兩邊輻角值的集合相等，其中右端輻角的和（差）運算是指Arg（z1）的每個值可以加上（減去）Arg（z2）的任意一個值，另外，由于兩個主值輻角的和或差可能超出主值的范圍，因此對輻角的主值而言，等式不一定成立.

另外，對于z1=z2=z=r（cosθ+isinθ）和任意自然數n有

zn=rn（cosnθ+isinnθ）.　　　（1.1.10）

其中，zn表示n個相同復數z的乘積，稱為z的n次冪.

如果定義，那么當n為負整數時上式也是成立的.

特別地，當z的模r=1，即z=cosθ+isinθ時，可得到棣莫弗（De Moivre）公式：

（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ.　　　（1.1.11）

1.1.4　復數的n次方根

定義1.1.3　設有非零的已知復數z，若存在復數w使z=wn，則稱w為復數z的n次方根，記為

為了求出根w，令z=r（cosθ+isinθ），w=ρ（cosφ+isinφ）.

根據式（1.1.10）有

ρn（cosnφ+isinnφ）=r（cosθ+isinθ），

于是

ρn=r，nφ=θ+2kπ　（k=0，±1，±2，…）；

即

其中是算術根，故所求方根為

　　　（1.1.12）

當k=0，1，2，…，n-1時，可得到n個不同的根，而當k取其他整數值時，以上的根會重復出現.例如k=n時，wn=w0.

從幾何上易看出，的n個不同的根就是以原點為中心，為半徑的圓的內接正n邊形的n個頂點，任意兩個相鄰根的輻角都相差

【例1.1.2】　求

解　因為，，所以

即

k=0時， ；

k=1時， ；

k=2時， ；

k=3時， .

這四個根是內接于圓心在原點，半徑為的圓的內接正方形的四個頂點（圖1.1.4）.