3.2　復(fù)函數(shù)積分的概念和性質(zhì)

一元實(shí)函數(shù)的定積分是某種確定形式的積分和的極限.把這種積分和極限的概念推廣到定義在復(fù)平面內(nèi)一條有向曲線上的復(fù)函數(shù)情形，便得到復(fù)函數(shù)積分的概念.

3.2.1　復(fù)函數(shù)積分的定義

定義3.2.1　設(shè)C是復(fù)平面內(nèi)可求長(zhǎng)的光滑（或逐段光滑）的有向曲線段，其起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，函數(shù)在C上處處有定義.把曲線C任意分成個(gè)小弧段，記分點(diǎn)為

在每個(gè)小弧段上任取一點(diǎn)（圖3.2.1），并作和式

其中，記為的長(zhǎng)度，，當(dāng)時(shí)，如果對(duì)曲線C的任意分法及的任意取法，上述和式的極限都存在且相等，則稱(chēng)函數(shù)沿曲線C可積，且稱(chēng)此極限值為函數(shù)沿曲線C的積分，記作

　　　（3.2.1）

其中C稱(chēng)為積分路徑，為被積函數(shù)，為積分變量.若C為閉曲線，積分可記為

3.2.2　復(fù)函數(shù)積分存在的條件及其計(jì)算公式

我們知道實(shí)函數(shù)積分存在的充分條件是其被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，那么，對(duì)復(fù)函數(shù)的積分是否也有類(lèi)似的結(jié)論呢？為此我們從復(fù)函數(shù)積分的定義出發(fā)進(jìn)行討論.

設(shè)，

于是

根據(jù)復(fù)數(shù)列極限與實(shí)數(shù)列極限的關(guān)系定理知：

存在的充要條件是和都存在.再由二元實(shí)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義知

于是得

定理3.2.1（復(fù)函數(shù)積分與實(shí)函數(shù)積分的關(guān)系定理）　復(fù)函數(shù)沿有向曲線C可積的充要條件是式（3.2.2）右端的兩個(gè)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分都存在，且有

　　　（3.2.2）

根據(jù)二元實(shí)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分存在的充分條件及函數(shù)連續(xù)的充要條件可得復(fù)函數(shù)積分存在的充分條件.

推論（復(fù)函數(shù)積分存在的充分條件）　若函數(shù)在光滑或逐段光滑的有向曲線段C上連續(xù)，則沿曲線C可積.

如果有向光滑曲線C由參數(shù)方程給出，起點(diǎn)和終點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著參數(shù)和，且，則有向光滑曲線C上參數(shù)從變到，記作.規(guī)定參數(shù)增加的方向?yàn)?span id="osezxvf" class="italic">C的正方向，于是由曲線積分的計(jì)算方法可將計(jì)算式（3.2.2）化為更簡(jiǎn)單的形式.即

　　　（3.2.3）

【例3.2.1】　設(shè)C為正向圓周，為整數(shù)，試證

　　　（3.2.4）

證　由題設(shè)知C的參數(shù)方程為，參數(shù)，則有

，

于是

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)n≠0時(shí)，

注意　本題結(jié)果在后面的積分計(jì)算中經(jīng)常用到，可作為積分公式使用，它的特點(diǎn)是積分結(jié)果與積分路徑圓周的中心及半徑無(wú)關(guān).

3.2.3　復(fù)函數(shù)積分的性質(zhì)

利用復(fù)函數(shù)積分的定義可以推出下列與一元實(shí)函數(shù)定積分類(lèi)似的性質(zhì).

若復(fù)函數(shù)和沿其積分路徑C可積，則有

①沿C的反向曲線可積，且

②對(duì)任意復(fù)常數(shù)，函數(shù)沿C可積，且

③沿C可積，且

④（復(fù)函數(shù)積分對(duì)積分路徑的可加性）設(shè)曲線C是由光滑曲線依次連接而成的分段光滑曲線，沿可積，則

⑤（積分的估值性質(zhì)）設(shè)曲線C的長(zhǎng)度為，在曲線C上處處有|f（z）|≤M，則有

【例3.2.2】　用性質(zhì)⑤估計(jì)的值.

解　在圓周上有

又圓周的長(zhǎng)度，于是由性質(zhì)⑤得

【例3.2.3】　計(jì)算積分，其中曲線C為：

（1）從原點(diǎn)至2+i的直線段；

（2）從原點(diǎn)沿實(shí)軸至2，再由2垂直向上至2+i；

（3）從原點(diǎn)沿虛軸至i，再由i沿水平方向向右至2+i.

解　（1）直線段C復(fù)參數(shù)方程為，參數(shù)，，，于是

（2）設(shè)從原點(diǎn)沿實(shí)軸至2的直線段為C1，其復(fù)參數(shù)方程為z=x，參數(shù)x：0|→2，dz=dx；由2垂直向上至2+i的直線段為C2，其復(fù)參數(shù)方程為z=2+iy，參數(shù)y：0|→1，dz=idy.于是

（3）設(shè)從原點(diǎn)沿虛軸至i的直線段為C1，其復(fù)參數(shù)方程為z=iy，參數(shù)y：0|→1，dz=idy；由i沿水平方向向右至2+i的直線段為C2，其復(fù)參數(shù)方程為z=x+i，參數(shù)x：0|→2，dz=dx.于是

【例3.2.4】　計(jì)算積分，其中曲線C為：

（1）從點(diǎn)A（0，1）到點(diǎn)B（1，2）的拋物線y=x2+1［圖3.2.2（a）］；

（2）從點(diǎn)A（0，1）到點(diǎn)N（1，1）再到點(diǎn)B（1，2）的折線段ANB［圖3.2.2（b）］.

解　（1）拋物線y=x2+1的復(fù)參數(shù)方程為z=x+i（x2+1），參數(shù)x：0|→1，z=x-i（x2+1），dz=（1+2xi）dx，于是

（2）線段的復(fù)參數(shù)方程為z=x+i，參數(shù)x∶0|→1；線段的復(fù)參數(shù)方程為z=1+iy，參數(shù)y∶1|→2，所以

從以上兩個(gè)例子可以看出，函數(shù)f（z）=z的積分與積分路徑無(wú)關(guān)，而函數(shù)f（z）=（）2的積分與積分路徑有關(guān).那么，在什么條件下復(fù)變函數(shù)的積分與積分路徑無(wú)關(guān)呢？這正是下一節(jié)要討論的問(wèn)題.