3.1* 　對坐標的曲線積分

3.1.1　二重積分的概念和性質

（1）曲頂柱體的體積

設有一立體，它的底是xOy面上的閉區域D，它的側面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f（x，y），這里f（x，y）≥0且在D上連續（圖3.1.1）.這種立體叫做曲頂柱體.現在我們來討論如何定義并計算上述曲頂柱體的體積V.

我們知道，平頂柱體的高是不變的，它的體積可以用公式

體積=高×底面積

來定義和計算.關于曲頂柱體，當點（x，y）在區域D上變動時，高度f（x，y）是個變量，因此它的體積不能直接用上式來定義和計算.關于求曲邊梯形面積的方法，原則上可以用來解決目前的問題.

首先，用一組曲線網把D分成n個小閉區域Δσ1，Δσ2，…，Δσn.分別以這些小閉區域的邊界曲線為準線，作母線平行于z軸的柱面，這些柱面把原來的曲頂柱體分成n個細曲頂柱體.當這些小閉區域的直徑很小時，由于f（x，y）連續，對同一個小閉區域來說，f（x，y）變化很小，這時細曲頂柱體可近似看作平頂柱體.我們在每個Δσi（這個小閉區域的面積也記作Δσi）中任取一點（ξi，ηi），以f（ξi，ηi）為高而底為Δσi的平頂柱體（圖3.1.2）的體積為f（ξi，ηi）Δσi （i=1，2，…，n）.這n個平頂柱體體積之和可以認為是整個曲頂柱體的體積的近似值.令n個小閉區域的直徑中的最大值（記作λ）趨于零，取上述和的極限，所得的極限便自然地定義為上述曲頂柱體的體積V，即

（2）平面薄片的質量

設有一平面薄片占有xOy面上的閉區域D，它在點（x，y）處的面密度為μ（x，y），這里μ（x，y）>0且在D上連續.現在要計算該薄片的質量m.

我們知道，如果薄片是均勻的，即面密度是常數，那么薄片的質量可以用公式

質量=面密度×面積

來計算.現在面密度μ（x，y）是變量，薄片的質量就不能直接用上式來計算.但是上面用來處理曲頂柱體體積問題的方法完全適用于本問題.

由于μ（x，y）連續，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區域Δσi直徑很小，這些小塊就可以近似地看做均勻薄片.在Δσi上任取一點（ξi，ηi），則

可以看做第i個小塊的質量的近似值（圖3.1.3）.通過求和、取極限，便得出

（3）二重積分的定義

上面兩個問題的實際意義雖然不同，但所求量都歸結為同一形式的和的極限.在物理、力學、幾何和工程技術中，有許多物理量或幾何量都可歸結為這一形式的和的極限.由此可抽象出二重積分的定義.

定義3.1.1　設f（x，y）是有界閉區域D上的有界函數.將閉區域D任意分成n個小閉區域

Δσ1，Δσ2，…，Δσn，

其中Δσi表示第i個小閉區域，也表示它的面積.在每個Δσi上任取一點（ξi，ηi），作乘積f（ξi，ηi）Δσi （i=1，2，…，n），并作和Δσi.如果當各小閉區域的直徑中的最大值λ趨于零時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數f（x，y）在閉區域D上的二重積分，記作，即

其中，f（x，y）叫做被積函數，f（x，y）dσ叫做被積表達式，dσ叫做面積元素，x與y叫做積分變量，D叫做積分區域，叫做積分和.

在二重積分的定義中對閉區域D的劃分是任意的，如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網來劃分D，那么除了包含邊界點的一些小閉區域外，其余的小閉區域都是矩形閉區域.設矩形閉區域Δσi的邊長為Δxj和Δyk，則Δσi=ΔxjΔyk.因此在直角坐標系中，有時也把面積元素dσ記作dxdy，而把二重積分記作

其中，dxdy叫做直角坐標系中的面積元素.

注意　①如果函數f（x，y）在閉區域D上連續，則函數f（x，y）在D上的二重積分存在.

②如果f（x，y）≥0，被積函數f（x，y）可解釋為曲頂柱體的頂在點（x，y）處的豎坐標，所以二重積分的幾何意義就是曲頂柱體的體積.如果f（x，y）<0，柱體就在xOy面的下方，二重積分的絕對值仍等于柱體的體積，但二重積分的值是負的.如果f（x，y）在D的若干部分區域上是正的，而在其他的部分區域上是負的，那么，f（x，y）在D上的二重積分就等于xOy面上方的柱體體積減去xOy面下方的柱體體積.

（4）二重積分的性質

比較定積分與二重積分的定義可以看出，二重積分與定積分有類似的性質（證明略），現敘述于下.

性質1　設α，β為常數，則

性質2　如果閉區域D被有限條曲線分為有限個部分閉區域，則在D上的二重積分等于在各部分閉區域上的二重積分的和.

例如D分為兩個閉區域D1與D2，則

這個性質表明二重積分對于積分區域具有可加性.

性質3　如果在D上，f（x，y）=1，σ為D的面積，則

這性質的幾何意義是很明顯的，因為高為1的平頂柱體的體積在數值上就等于柱體的底面積.

性質4　如果在D上，f（x，y）≤g（x，y），則有

特別地，由于

-|f（x，y）|≤f（x，y）≤|f（x，y）|，

又有

性質5　設M，m分別是f（x，y）在閉區域D上最大值和最小值，σ是D的面積，則有

上述不等式是對于二重積分估值的不等式.

性質6（二重積分的中值定理）　設函數f（x，y）在閉區域D上連續，σ是D的面積，則在D上至少存在一點（ξ，η），使得

3.1.2　對坐標的曲線積分的概念和性質

設一個質點在xOy面內受到力的作用，從點A沿光滑曲線弧L移動到點B，其中函數P（x，y），Q（x，y）在L上連續.要計算在上述移動過程中變力F（x，y）所做的功（圖3.1.4）.

我們知道，如果力F是恒力，且質點從A沿直線移動到B，那么恒力F所做的功W等于向量F與向量的數量積，即

現在F（x，y）是變力，且質點沿曲線L移動，功W不能直接按以上公式計算.為了克服這個困難，可以用曲線弧L上的點M1（x1，y1），M2（x2，y2），…，Mn-1（xn-1，yn-1）把L分成n個小弧段，取其中一個有向小弧段來分析：由于光滑而且很短，可以用有向直線段來近似代替它，其中Δxi=xi-xi-1，Δyi=yi-yi-1.又由于函數P（x，y），Q（x，y）在L上連續，可以用上任意取定的一點（ξi，ηi）處的力

來近似代替這小弧段上各點處的力.這樣，變力F（x，y）沿有向小弧段所做的功ΔWi可以認為近似地等于恒力F（ξi，μi）沿所做的功：

于是

用λ表示n個小弧段的最大長度，令λ→0取上述和的極限，所得到的極限自然地被認為變力F沿有向曲線弧所做的功，即

這種和的極限在研究其他問題時也會遇到，為了研究此類問題引入如下定義.

定義3.1.2　設L為xOy面內從點A到點B的一條有向光滑曲線弧，函數P（x，y）、Q（x，y）在L上有界.在L上沿L的方向任意插入一點列M1（x1，y1），，y2），…，Mn-1（xn-1，yn-1），把L分成n個有向小弧段

設Δxi=xi-xi-1，Δyi=yi-yi-1，點（ξi，μi）為上任意取定的點.如果當各個小弧段長度的最大值λ→0時，的極限總存在，則稱此極限為函數P（x，y）在有向曲線弧L上對坐標x的曲線積分，記作.類似地，如果總存在，則稱此極限為函數Q（x，y）在有向曲線弧L上對坐標y的曲線積分，記作.即

其中P（x，y）、Q（x，y）叫做被積函數，L叫做積分弧段.

注意　①當P（x，y）、Q（x，y）在有向光滑曲線弧L上連續時，對坐標的曲線積分都存在.

②應用上經常出現的是

這種合并起來的形式，為簡便起見，上式可以寫成

也可寫成向量形式

其中為向量值函數，

例如，上面討論的變力F所做的功W可以表示成

根據對坐標曲線積分的定義，可以導出對坐標曲線積分的一些性質.為了表達簡便起見，我們用向量形式表達，并假定其中的函數在有向光滑曲線弧L上連續.

性質1　設α，β為常數，則

性質2　若有向曲線弧可分成兩段光滑的有向曲線弧和，則

性質3　設是有向光滑曲線弧，是的反向曲線弧，則

注意　對坐標的曲線積分，必須注意積分弧段的方向.

3.1.3　對坐標的曲線積分的計算

定理3.1.1　設函數、在有向曲線弧上有定義且連續，的參數方程為

當參數單調地由變到時，點從的起點沿運動到終點，、在以及為端點的閉區間上具有一階連續導數，且，則曲線積分存在，且

=　　　（3.1.1）

證　在上取一列點，它們對應于一列單調變化的參數值

根據對坐標的曲線積分的定義，有

設點對應于參數值，即，這里在與之間.由于

應用微分中值定理，有，其中，在于之間.于是

因為函數在閉區間（或）上連續，我們可以把上式中的換成，從而

上式右端的和式的極限就是定積分，由于函數連續，這個定積分是存在的，因此上式左端的曲線積分也存在，并且有

同理可證

把以上兩式相加，得

這里下限對應于的起點，上限對應于的終點.

式（3.1.1）表明，計算對坐標的曲線積分時，只要把、、、依次換為、、、，然后從的起點所對應的參數到的終點所對應的參數作定積分就行了，這里必須注意，下限對應于的起點，上限對應于的終點，不一定小于

如果由方程或給出，可以看做參數方程的特殊情形，例如，當由方程給出時，式（3.1.1）成為

這里下限對應于的起點，上限對應于的終點.

【例3.1.1】　計算，其中為（圖3.1.5）.

（1）拋物線上從到的一段弧；

（2）拋物線上從到的一段弧；

（3）有向折線，這里依次是點

解　（1）化為對的定積分.從0變到1.所以

（2）化為對的定積分.從0變到1.所以

（3）

在上，

在上，x=1，y從0變到1.所以

從而　

從此例可以看出，雖然沿不同路徑，但曲線積分的值卻是相等的.

3.1.4　曲線積分與路徑無關的條件

（1）格林公式

在一元函數積分學中，牛頓-萊布尼茨公式

表示在區間上的積分可以通過它的原函數在這個區間端點上的值來表達.

下面將介紹的格林（Green）公式告訴我們，在平面閉區域D上的二重積分可以用過沿閉區域D的邊界曲線L上的曲線積分來表示.對于區域D的邊界曲線L，我們規定L的正向如下：當觀察者沿L的這個方向行走時，D內在他近處的那一部分總在他的左邊.例如，D是邊界曲線L和l所圍成的復連通區域（圖3.1.6），作為D的正向邊界，L的正向是逆時針方向，而l的正向是順時針方向.

定理3.1.2　設閉區域D由分段光滑的曲線L圍成，函數P（x，y）及Q（x，y）在D上具有一階連續偏導數，則有

　　　（3.1.2）

其中L是D的取正向的邊界曲線.

式（3.1.2）叫做格林公式.

（2）平面上曲線積分與積分路徑無關的條件

在物理、力學中要研究所謂勢場，就是要研究場力所做的功與路徑無關的情形.在什么條件下場力所做的功與路徑無關？這個問題在數學上就是要研究曲線積分與積分路徑無關的條件.為了研究這個問題，先要明確給出曲線積分與積分路徑無關的定義.

定義3.1.3　設G是一個區域，P（x，y）和Q（x，y）在區域G內具有一階連續的偏導數.如果對于G內任意指定的兩個點A、B以及G內從點A到點B的任意兩條曲線L1，L2（圖3.1.7）等式

恒成立，就說曲線積分在G內與路徑無關，否則便說與路徑有關.

由定義3.1.3可以看出，如果曲線積分與路徑無關，那么

由于

所以        

從而        

這里是一條有向閉曲線.因此，在區域內由曲線積分與積分路徑無關可推得在內沿閉曲線的曲線積分為零.反過來，如果在區域內沿任意閉曲線的曲線積分為零，也可推得在內曲線積分與積分路徑無關.由此得出結論：曲線積分在內與路徑無關等價于沿內任意閉曲線的曲線積分為零.利用格林公式可推得如下定理.

定理3.1.3　設區域是一個單連通域，函數和在區域內具有一階連續的偏導數，則曲線積分在內與路徑無關（或沿內任意閉曲線的曲線積分為零）的充要條件是

在內恒成立.