3.3　柯西積分定理

由上一節復變函數積分與實函數積分的關系式（3.2.2）可以看出，復變函數積分與積分路徑無關的充要條件是其右端的兩個對坐標的曲線積分和都與積分路徑無關.而當u，v具有一階連續偏導數時，兩個對坐標的曲線積分在單連通域D內與積分路徑無關（或沿D內任意閉曲線積分為零）的充要條件是

這恰是函數f（z）=u+iv在單連通域D內解析的必要條件.那么自然會問，f（z）在單連通域D內解析時，能否保證沿D內任意閉曲線積分為零呢？下面的定理回答了這一問題.

3.3.1　柯西積分定理

定理3.3.1（柯西積分定理）　若函數f（z）在單連通域D內解析，則f（z）沿D內任意閉曲線（可以不是簡單的）C積分為零，即

由此定理可以直接得出下面的常用結論.

若函數f（z）在簡單閉曲線C上及其內部解析，則一定有

因為在單連通域D內曲線積分與積分路徑無關和沿D內任意閉曲線積分為零是兩個等價的命題，所以上述定理又可表述為：

定理3.3.2　若函數f（z）在單連通域D內解析，則f（z）沿D內曲線C的積分與連接起點到終點的路徑無關，只與起點z0及終點z1（圖3.3.1）有關.

此時可寫作

其中z0和z1分別稱為積分的下限和上限，如果下限z0固定，讓上限z1變動，令z1=z，則積分是上限z的單值函數，記作

　　　（3.3.1）

同一元實函數的變上限的定積分類似，該式給出了被積函數與其原函數之間的關系，并且還提供了利用原函數計算復函數積分的計算公式.

3.3.2　解析函數的原函數及在積分計算中的應用

定理3.3.3　若f（z）=u+iv在單連通域D內解析，則式（3.3.1）中的函數F（z）必為D內的一個解析函數，并且F'（z）=f（z）.

為了討論解析函數積分的計算，首先引入原函數的概念.

定義3.3.1　對于區域D內確定的函數f（z），如果存在函數Φ（z）使得在區域D內恒有Φ'（z）=f（z），則稱Φ（z）為f（z）在區域D內的一個原函數，顯然原函數在區域D內一定解析.

由定理3.3.3可知，式（3.3.1）中的F（z）是函數f（z）在D內的一個原函數.

根據第2章例2.2.4，容易證明f（z）的任意兩個原函數相差一個常數.事實上，設G（z）和H（z）是f（z）的任意兩個原函數，那么

［G（z）-H（z）］'=G'（z）-H'（z）=f（z）-f（z）=0，

所以G（z）-H（z）=C，C為任意常數.

利用原函數的這個關系，可以推得與牛頓-萊布尼茨公式類似的解析函數的積分計算公式.

定理3.3.4　若函數f（z）在單連通域D內解析，G（z）為f（z）在區域D內的一個原函數，則對D內任意定點z0和z1有

【例3.3.1】　計算積分

解　顯然被積函數的奇點為z=±i，它們均在圓|z-4|=2的外部，于是被積函數在|z-4|=2上及其內部解析，由定理3.3.1知I=0.

【例3.3.2】　計算下列積分

（1）；（2）（沿圖3.3.2所示的曲線）.

解　（1）

（2）對數函數是多值的，若取定它的一個分支，它在除去原點及負實軸的復平面上是解析的，在該單連通域內，由于，故

3.3.3　復合閉路定理

所謂復合閉路是指一種特殊的有界多連通域D的邊界曲線Γ，它由若干條簡單閉曲線組成，可簡記為，其中簡單閉曲線C取正向（即逆時針方向）；取負向，它們都在C的內部且互不包含也互不相交（圖3.3.3）.Γ 的方向稱為多連通域D的邊界曲線的正向.

將柯西積分定理推廣到以上述復合閉路為邊界的多連通域的情形便得到下面定理.

定理3.3.5（復合閉路定理）　設D是以復合閉路為邊界的多連通域.若函數f（z）在D內及邊界Γ上解析，則

即        

　　　（3.3.2）

證　不失一般性，僅就n=2的情形證明.在區域D作割線段，將D分為D1和D2兩部分（圖3.3.3）.于是D1和D2的正向邊界P1P2mP3P4nP5P6eP1和P1e'P6P5n'P4P3m'P2P1都是簡單閉曲線，分別記為Γ1和Γ2.由定理所給的條件，f（z）在Γk（k=1，2）上及其內部解析，由定理3.3.1得

兩式相加（抵消割線段上的積分），得

即

注意　①n=1時，，這說明在區域的解析函數沿閉曲線的積分不因閉曲線在區域內作（不經過被積函數的奇點）連續變形而改變積分的值，這一重要性質稱為閉路變形原理.

例如，本章的例3.2.1中，當曲線C是以z0為中心的正向圓周時，所以由閉路變形原理可知，對于包含z0的任何一條正向簡單閉曲線C，都有

②利用閉路變形原理可以把函數沿各種不規則的簡單閉曲線的積分化簡為沿特殊圓周上的積分來計算.

【例3.3.3】　計算的值，C為包含圓周|z|=1在內的任何正向簡單閉曲線.

解　設C1及C2分別是C內以被積函數的兩個奇點z=0和z=1為圓心的兩個互不相交也互不包含的正向圓周（圖3.3.4），那么

若用閉路變形原理解答此題，則有