習　題　2

1.試根據定義，討論f（z）=|z|2的可導性.

2.利用定義求下列函數的導數：

（1）f（z）=z2 ；

（2）

3.下列函數何處可導？何處解析？

（1）f（z）=x2-iy；

（2）f（z）=xy2+ix2y；

（3）f（z）=sinxchy+icosxshy；

（4）f（z）=2x3+3y3i；

（5）f（z）=z2+2iz；

（6）

4.指出下列函數的奇點：

（1）

（2）

5.求下列函數的導數并指明其解析域：

（1）f（z）=（z+3）6；

（2）f（z）=sinz+3iz；

（3） 

（4）

6.判斷下列命題真假：

（1）若f（z）在z0連續，則f（z）在z0可導.

（2）若f（z）在z0可導，則f（z）在z0解析.

（3）如果z0是f（z）的奇點，則f（z）在z0不可導.

（4）若z0是f（z）與g（z）的一個奇點，則z0也是f（z）+g（z）和f（z）/g（z）的一個奇點.

（5）若u（x，y），v（x，y）可微，則f（z）=u+iv可導.

（6）

（7）在復平面內，函數ez，z3，sinz，cosz解析，而不解析.

（8）lnz在復平面內處處解析.

7.若f（z）=u+iv是z的解析函數，而且

u-v=（x-y）（x2+4xy+y2），

試求u（x，y）與v（x，y）.

8.如果f（z）=u+iv在區域D內解析，并且滿足下列條件之一，試證f（z）在D內是一個常數.

（1）u為常數或v為常數；

（2）|f（z）|在區域D內是一常數；

（3）f（z）恒為實數；

（4）在區域D內解析；

（5）argf（z）在區域D內是一常數；

（6） au+bv=c，其中a，b，c為不全為零的實常數.

9.設f（z）=my3+nx2y+i（x3+lxy2）為解析函數，試求m，n，l的值.

10.試證明柯西-黎曼方程的極坐標形式是

11.試證明：

（1）；

（2）

（3）

12.求解下列方程：

（1） cosz=0；?。?）ez+1=0；　（3）sinz+cosz=0；?。?）cosz=ishz.

13.在復變函數中洛必達（L·Hospital）法則仍然成立.若f（z），g（z）在點z0解析，且f（z0）=g（z0）=0，g'（z0）≠0，試證

14.求Ln（-i），Ln（-3+4i）的值及其主值.

15.求，，3i，（1+i）i的值.

16.求，1-i，ii，（3-4i）1+i的值.

17.實三角函數公式幾乎都適用于復變三角函數，試證：

（1）sin2z=2sinzcosz；

（2）

（3）

（4）cos（z+π）=-cosz；

（5）|cosz|2=cos2x+sh2y；

（6）|sinz|2=sin2x+sh2y.

18.對雙曲函數求證下列公式成立：

（1）ch2z-sh2z=1；

（2）ch2z+sh2z=ch2z；

（3）sh（z1+z2）=shz1chz2+chz1shz2；

（4）ch（z1+z2）=chz1chz2+shz1shz2.

19.用13題的結果證明下列極限：

（1）；

（2）；

（3）

20.填空題

（1）若函數f（z）在z0點解析，則（　?。?

（2）函數f（z）在z0點的導數為0，則（　　）.

（3）函數f（z）在z0點可導，則（　?。?

（4）指數函數ez在整個復平面內處處（　　），且是以（　　）為基本周期的周期函數.

（5）對數函數在（　　　　　　?。┑膹推矫鎯忍幪帲ā　。?

（6）sinz和cosz在整個復平面內處處（　　），且是以（　　）為周期的周期函數.

（7）在復數域內斷言|sinz|≤1和|cosz|≤1是（　　?。?

（8）函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析的充要條件是（　　　）.

（9）函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在點z0=x0+iy0處可導的充要條件是（　?。?

（10）如果函數f（z）在點z0的某個鄰域內處處可導，則f（z）在點z0處（　?。?

21.單項選擇題

（1）下列說法正確的是（　?。?

（A）若f（z）在z0處可導，則f（z）在z0處解析

（B）若f（z）在z0處連續，則f（z）在z0解析

（C）若f（z）在z0處可導，則f（z）在z0處連續

（D）若f（z）在z0處解析，則f（z）僅在z0處可導

（2）函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）的柯西黎曼條件是（　　）.

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）若f（z）在z0處可導，則（　?。?

（A） f（z）在z0處解析

（B） f（z）在z0處連續

（C）f（z）在z0處未必連續

（D） 以上都不對

（4）函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析的條件是（　?。?

（A）u（x，y），v（x，y）在區域D內可微

（B）在區域D內

（C）在區域D內u（x，y），v（x，y）可微且

（D）以上都不對

（5）若f（z）在z0處解析，則（　?。?

（A） f（z）僅在z0處可導

（B） f（z）在z0不可導

（C）f（z）在z0的某個鄰域內可導

（D） 以上都不對

（6）函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在z0=x0+iy0處可導的充要條件是（　?。?

（A）u（x，y），v（x，y）在（x0，y0）可微

（B）在z0處

（C）在z0處u（x，y），v（x，y）可微且

（D）f（z）在z0解析

（7）函數f（z）在z0處解析的條件是f（z）在z0的某個鄰域內（　　）.

（A）處處可導

（B）連續

（C） 未必處處可導

（D）只在z0處可導

（8）若f（z）在z0處解析，則f（z）在z0處（　?。?

（A）連續未必可導　?。˙） 可導未必連續

（C）連續　　（D） 不可導

（9）函數f（z）在z0處連續的充要條件是f（z）在z0（　?。?

（A）可導　?。˙）存在

（C）

（D）解析

（10）若f（z）在z0處解析，則f（z）在z0處（　　）.

（A）連續未必可導　?。˙） 可導未必連續

（C）可導并連續　?。―） 僅連續