本章主要內(nèi)容

1.導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）， 存在，稱f（z）在z處可導(dǎo)，且

應(yīng)特別注意Δz→0的方式是任意的.若在某種方式下，上述極限不存在，或某兩種方式下極限不相等，則f（z）不可導(dǎo).

若f（z）在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f（z）在D內(nèi)可導(dǎo).

2.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

f（z）在z0處可導(dǎo)，則 f（z）在z0處連續(xù)，反之未必成立.

3.求導(dǎo)法則

設(shè)f（z），g（z）可導(dǎo)，C為常數(shù)，則有

（1）［f（z）±g（z）］'=f'（z）±g'（z）；

（2）［f（z）g（z）］'=f'（z）g（z）+f（z）g'（z）；

（3）

（4）{f［g（z）］}'=f'（w）g'（z），其中w=g（z）；

（5），其中w=f（z）與z=φ（w）是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且φ'（w）≠0；

（6）（C）'=0.

4.解析函數(shù)

若函數(shù)f（z）在點(diǎn)z0的某個(gè)鄰域內(nèi)（包含點(diǎn)z0）處處可導(dǎo)，則稱f（z）在點(diǎn)z0解析.

若f（z）在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，稱f（z）是D內(nèi)的解析函數(shù).

5.解析與可導(dǎo)的關(guān)系

f（z）在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)與f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析等價(jià)；而f（z）在z0可導(dǎo)與f（z）在z0解析不等價(jià)，即函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)未必在此點(diǎn)解析.

6.奇點(diǎn)

若f（z）在z0不解析，稱z0為f（z）的奇點(diǎn).

7.解析的充要條件

函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是二元實(shí)函數(shù)u（x，y）和v（x，y）在D內(nèi)任一點(diǎn)z=x+iy可微且滿足柯西-黎曼方程

若函數(shù)u（x，y）和v（x，y）在D內(nèi)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且滿足柯西-黎曼方程，則f（z）在D內(nèi)解析.

若f（z）在區(qū)域D內(nèi)不滿足柯西-黎曼方程，顯然，f（z）在D內(nèi)不解析.

8.函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在D內(nèi)某點(diǎn)z0=x0+iy0可導(dǎo)的充要條件

函數(shù)f（z）在D內(nèi)某一點(diǎn)z0=x0+iy0處可導(dǎo)的充要條件是u（x，y），v（x，y）在點(diǎn)z0=x0+iy0可微且滿足柯西-黎曼方程.

9.若f（z）解析，則f'（z）亦解析，且f（z）具有任意階導(dǎo)數(shù)（此論斷將在復(fù)變積分中證實(shí)）.

10.初等函數(shù)

（1）指數(shù)函數(shù)　對(duì)任意的復(fù)數(shù)z=x+iy，規(guī)定函數(shù)w=ex（cosy+isiny）為復(fù)數(shù)z的指數(shù)函數(shù)記作w=ez=ex（cosy+isiny）或exp（z）=ex（cosy+isiny）.

ez是以2πi為基本周期的周期函數(shù)，在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)解析，且 （ez）'=ez.

（2）對(duì)數(shù)函數(shù)　把指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù).

Lnz=ln|z|+iarg（z）+2kπi的主值對(duì)數(shù)lnz=ln|z|+iarg（z） ，

lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析，且

（3）冪函數(shù)　對(duì)于任意復(fù)數(shù)α及復(fù)變量z≠0，定義冪函數(shù)w=zα為

zα的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析且（zα）'=αzα-1.