2.1　解析函數(shù)的概念

2.1.1　復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

（1）導(dǎo)數(shù)的定義

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義在敘述形式上與一元實(shí)函數(shù)相同，即

定義2.1.1　設(shè)函數(shù)w=f（z）在點(diǎn)z0的某個(gè)鄰域Nδ（z0）內(nèi)有定義，且z0+Δz∈Nδ（z0），若極限

存在，則稱f（z）在點(diǎn)z0可導(dǎo)，并稱此極限值為f（z）在z0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記作

否則，稱f（z）在z0點(diǎn)不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.于是有

　　　（2.1.1）

或        

　　　（2.1.2）

如果f（z）在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f（z）在D內(nèi)可導(dǎo).

【例2.1.1】　求f（z）=zn（n為正整數(shù)）的導(dǎo)數(shù).

解　因?yàn)?/p>

所以

f'（z）=nzn-1 .

【例2.1.2】　證明在z平面上處處不可導(dǎo).

證　對(duì)z平面上任意一點(diǎn)z，

當(dāng)z+Δz沿水平（Δy=0）趨于z時(shí)上式極限為1；當(dāng)z+Δz沿豎直（Δx=0）趨于z時(shí)上式極限為-1，所以不存在，即在z平面上處處不可導(dǎo)（圖2.1.1）.

顯然在z平面上處處連續(xù)的，故復(fù)函數(shù)的連續(xù)性不能保證它的可導(dǎo)性.

【例2.1.3】　若函數(shù)w=f（z）在z0可導(dǎo)，試證f（z）在z0點(diǎn)連續(xù).

證　由于

所以f（z）在z0點(diǎn)連續(xù).

（2）可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系

由例2.1.3和例2.1.2易知可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系：函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)必在該點(diǎn)連續(xù)，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)未必在該點(diǎn)可導(dǎo).

（3）求導(dǎo)法則

因?yàn)閺?fù)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則也和一元實(shí)函數(shù)的極限運(yùn)算法則一樣，所以利用導(dǎo)數(shù)的定義容易證明下列求導(dǎo)法則：

①［f（z）±g（z）］'=f'（z）±g'（z）；

②［f（z）g（z）］'=f'（z）g（z）+f（z）g'（z）；

③；

④{f［g（z）］}'=f'（w）g'（z），其中w=g（z）；

⑤，其中w=f（z）與z=φ（w）是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且φ'（w）≠0.

（4）微分的定義

由導(dǎo)數(shù)的定義2.1.1知，函數(shù)w=f（z）在點(diǎn)z0可導(dǎo)等價(jià)于

　　　　　　（2.1.3）

或

Δw=f（z0+Δz）-f（z0）=f'（z0）Δz+ρ（Δz）Δz.　　　（2.1.4）

上式中f'（z0）Δz是函數(shù)改變量Δw的線性主部，而|ρ（Δz）Δz|是|Δz|的高階無窮小.于是同一元實(shí)函數(shù)微分的定義類似，有下面定義.

定義2.1.2　設(shè)函數(shù)w=f（z）在點(diǎn)z0處有導(dǎo)數(shù)f'（z0），則稱f'（z0）Δz為函數(shù)w=f（z）在點(diǎn)z0處的微分，記作

　

　　（2.1.5）

這時(shí)也稱函數(shù)w=f（z）在點(diǎn)z0處可微.

如果f（z）在區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)z處可微，則稱f（z）在D內(nèi)可微.

特別地，當(dāng)f（z）=z時(shí)，由式（2.1.5）得dz=Δz，于是有

即

由此可見，函數(shù)w=f（z）在z0點(diǎn)可導(dǎo)與可微是等價(jià)的.

2.1.2　解析函數(shù)的概念

（1）解析函數(shù)的定義

在很多理論和實(shí)際問題中，需要研究的不是只在個(gè)別點(diǎn)可導(dǎo)的函數(shù)，而是在某個(gè)區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)的函數(shù)，即解析函數(shù).

定義2.1.3　若函數(shù)f（z）在點(diǎn)z0的某個(gè)鄰域內(nèi)（包含點(diǎn)z0）處處可導(dǎo)，則稱f（z）在點(diǎn)z0解析，也稱它在該點(diǎn)全純或正則.當(dāng)f（z）在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析時(shí)，簡稱它在D內(nèi)解析，或稱f（z）是D內(nèi)的解析函數(shù).

若函數(shù)f（z）在點(diǎn)z0不解析，則稱z0為f（z）的奇點(diǎn).

【例2.1.4】　討論函數(shù)的解析性.

解　利用導(dǎo)數(shù)定義，當(dāng)z≠0時(shí)，

即f（z）在復(fù)平面上除去點(diǎn)z=0的區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)，因而解析.但在點(diǎn)z=0處，f（z）無定義，當(dāng)然不可導(dǎo)，所以z=0是的奇點(diǎn).

根據(jù)復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則，不難證明.

定理2.1.1　在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)）仍在D內(nèi)解析.解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然是解析函數(shù).

由此定理可知，所有z的多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的；任何一個(gè)有理分式函數(shù)P（z）/Q（z）　［P（z），Q（z）為多項(xiàng)式］除去使Q（z）=0的點(diǎn)外處處解析.

（2）函數(shù)解析與可導(dǎo)之間的關(guān)系

由定義2.1.3可知，函數(shù)在一點(diǎn)處解析和在一點(diǎn)處可導(dǎo)是兩個(gè)不同的概念.函數(shù)的解析點(diǎn)必是它的可導(dǎo)點(diǎn)，反之則不然.但是函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)是等價(jià)的，因而，例2.1.1中的f（z）=zn（n為正整數(shù)）在整個(gè)復(fù)平面上解析，而例2.1.2中的卻處處不解析.