本章主要內容

1.復數

令，x，y均為實數，則z=x+iy稱為復數.x稱為z的實部，記為Re（z）=x，y稱為z的虛部，記為Im（z）=y.

復數z=x+iy的模記為.復數z=x+iy的輻角記為，k=0，±1，±2，…，其中為z輻角主值.主值范圍規定為-π<arg（z）≤π，其計算公式為

注意　z=0時，|z|=0，而輻角不定.

用復數的模和輻角表示復數有指數形式z=reiθ，根據歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，又有復數的三角形式z=r（cosθ+isinθ），因此復數的形式基本有三種：

①z=x+iy （代數形式）；

②z=reiθ（指數形式）；

③z=r（cosθ+isinθ） （三角形式）.

這三種形式可以互相轉換.代數形式便于加減運算，指數形式便于乘除運算，而三角形式常常作為一個復數計算的最后結果表達式.

2.復數相等

設z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，則z1=z2?x1=x2，y1=y2.

3.不等式和恒等式

（1）z=x+iy，|x|≤|z|，|y|≤|z|，|z|≤|x|+|y|；

（2）|z1+z2|≤|z1|+|z2|，|z1-z2|≥||z1|-|z2||；

（3）|z1+z2|2≤（|z1|+|z2|）2，

4.共軛復數

設z=x+iy，則為z的共軛復數.z與互為共軛復數，

（1）；

（2）；

（3）

5.四則運算

（1）z1±z2=x1±x2+i（y1±y2）；

（2）z1·z2=（x1x2-y1y2）+i（x1y2+x2y1）；

（3）　（z2≠0）.

6.棣莫弗（De Moivre）公式

（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ.

7.復數的n次方根

設z=wn，記為

則

8.設函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y），A=u0+iv0，z0=x0+iy0，則的充要條件是

9.極限四則運算法則

若，則有

（1）；

（2）；

（3）

10.連續性

若，則稱函數f（z）在z0處連續；若f（z）在區域D內處處連續，則稱函數f（z）在區域D內連續； f（z）在z0處連續的充要條件是f（z）的實部與虛部均在（x0，y0）連續.

11.連續性運算法則

連續函數的和、差、積、商（分母不為零）仍是連續函數；連續函數的復合函數仍是連續函數.