習　題　1

1.設z1=3+4i，z2=-2+3i，計算2z1+3z2.

2.設z=x+iy，　（z≠-1），求Re（w），Im（w）.

3.將下列復數化為三角表示式和指數表示式：

（1）5i ；

（2） ；　　　　　（3）-2；

（4）；　　（5）-2+5i；

（6）-2-i.

4.計算下列各式：

（1） ；

（2）；

（3）；

（4）；

（5），求z2，z3，z4；

（6）；

（7）；

（8）

5.設z=eit，證明：

（1）；

（2）

6.證明　

7.設平面上的點z1，z2和z3滿足條件z1+z2+z3=0且|z1|=|z2|=|z3|=1，證明這三點是內接于圓周|z|=1的正三角形頂點.

8.求方程z3+8=0的所有根，并求微分方程y?+8y=0的一般解.

9.指出下列方程所表示的曲線，并作圖.

（1）|z+2|+|z-2|=6；

（2）|z+2|-|z-2|=3；

（3）Im（z+2i）=3；

（4）

10.指出下列方程所表示的曲線（t為實參數），并寫出直角坐標系下的方程：

（1）z=-3+4eit；

（2）z=2+i+3eit；

（3）z=t（1+i）；

（4）z=acost+ibsint （a，b為實數）；

（5）；

（6）

11.指出下列點集的平面圖形，是否是區域或閉區域，是否有界？

（1）|z|≤|z-4|；

（2）0<arg（z-1）<且Re（z）<3；

（3）|z-5|=6；

（4）0≤arg（z-1）≤；

（5）2≤|z|≤3；

（6）|z+2|+|z-2|≤6；

（7）Re（z）>3；

（8）<arg（z-1）<0.

12.做出下列區域的圖形，并指出是否為單連通域和有界域.

（1）|z+2i|>1；

（2）0<arg（z-1）<；

（3）1<|z-i|<3；

（4）|3z+i|<3；

（5）去掉z=iy（0≤y≤2）的復平面.

13.試證arg（z）在原點和負實軸上不連續.

14.填空題

（1）設z1=3+4i，z2=-2+3i，則2z1+3z2=（　　）.

（2）設z=x+iy，，則Re（w）=（　　），Im（w）=（　　）.

（3）在復平面內，方程|z+i|=2表示（　　　　　　）曲線.

（4）在復平面內，方程表示（　　　　　　）.

（5）的三角表示式為（　　　　　　）.

（6）的4個根分別為（　　　　　　）.

（7）設函數f（z）在有界閉區域上連續，則f（z）在上達到它的（　　）.

（8）w3=z是（　　　　　　）函數.

（9）連續函數的和、差、積函數仍然是（　　　　　　）.

（10）函數f（z）在z0點連續，則（　　　　　　）.

15.單項選擇題

（1）z1=3+4i，z2=-2+3i，則2z1+3z2=（　　）.

（A）17i

（B）7i

（C）1+7i

（D）12+17i

（2）函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在z0=x0+iy0連續的條件是（　　）.

（A）u（x，y）在（x0，y0）連續　　　　　（B）v（x，y）在（x0，y0）連續

（C）u（x，y），v（x，y）均在（x0，y0）連續　　　　　（D）以上都不對

（3）z=1+i，則z的三角表達式為（　　）.

（A）

（B）

（C）

（D）

（4），則z的指數表達式為（　　）.

（A）

（B）

（C）

（D）