第一節(jié)　n階行列式

在討論一般n階行列式之前，先簡(jiǎn)單回顧一下二、三階行列式。

一、二、三階行列式

在初等數(shù)學(xué)中，二、三階行列式的概念是在線性方程組的求解中提出的。例如，對(duì)于一個(gè)二元線性方程組

　　 （1.1） 　　

利用消元法，在兩個(gè)方程的兩邊分別同乘以a22或a12，方程成為

當(dāng)a11a22-a12a21≠0時(shí)，兩式相減消去變量x2而求得x1的解；同理也可求得x2的解。其一組解為

　　 （1.2） 　　

從二元線性方程組解的形式可以發(fā)現(xiàn)，如果引入記號(hào)

　　 （1.3） 　　

則式（1.2）可表示為

其中分母D是方程組的系數(shù)行列式，而D1，D2是用方程組右端的常數(shù)列分別替換系數(shù)行列式的第一列和第二列所得到的行列式。

我們把按照式（1.3）來(lái)規(guī)定其值的，由a，b，c，d四個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩行、兩列的式子

稱為二階行列式。用二階行列式來(lái)表示二元線性方程組的解，其形式確實(shí)簡(jiǎn)潔明了。

【例1.1】　解線性方程組

解　由于方程組的系數(shù)行列式，又用方程組右端的常數(shù)列分別替換系數(shù)行列式的第一列和第二列，有

所以方程組的解為

類似地，如果在求解三元方程組

的過(guò)程中引入下列三階行列式的記號(hào)，并規(guī)定其值

　　 （1.4） 　　

則當(dāng)三元線性方程組的系數(shù)行列式

時(shí)，用消元法求解這個(gè)方程組同樣可得

　　 （1.5） 　　

式中，Dj（j=1，2，3）是用常數(shù)項(xiàng)b1，b2，b3替換D中的第j列所得的三階行列式，即

在式（1.4）中三階行列式的展開式可以用所謂主、副對(duì)角線法則得到

其中每一條實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積帶正號(hào)，而每一條虛線上的三個(gè)元素的乘積帶負(fù)號(hào)。所得六項(xiàng)的代數(shù)和就是三階行列式的值。

【例1.2】　計(jì)算行列式

解

D=1×2×1+1×（-1）×1+0×3×3-1×2×3-1×3×1-0×（-1）×1=-8

但是需要指出的是：主、副對(duì)角線法則不易于向一般的n階行列式推廣。例如，在下列4階行列式中

a11a22a34a43這一項(xiàng)是來(lái)自于不同行與不同列的4個(gè)元素的乘積，但是其中元素a11，a22在主對(duì)角線方向上，而a34，a43則在副對(duì)角線方向上。該項(xiàng)應(yīng)該帶有什么符號(hào)？這用主、副對(duì)角線法則就不好確定了。

事實(shí)上，二、三階行列式還有這樣一個(gè)規(guī)律，它們都可以按第一行展開得到行列式的值。例如對(duì)三階行列式有

　　 （1.6） 　　

式中，A11，A12，A13分別是第一行元素a11，a12，a13的代數(shù)余子式

　　 （1.7） 　　

這一展開的規(guī)律啟示我們：對(duì)一般的n階行列式，可以像式（1.6）、式（1.7）那樣，用低階行列式的值去定義高階行列式的值。這樣的定義方式具有內(nèi)在的一致性。對(duì)于用這種方法定義的各階行列式必然會(huì)有許多共同的性質(zhì)和統(tǒng)一的計(jì)算方法。

二、n階行列式

現(xiàn)給出n階行列式的歸納式定義。

定義1.1　由n×n個(gè)數(shù)aij（i，j=1，2，…，n）組成的具有n行n列的式子

叫做n階行列式（Determinant），并且規(guī)定其值為：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，D=｜a11｜=a11；

　　 （1.8） 　　

其中A1j=（-1）1+jM1j，而

并稱M1j為行列式D的元素a1j的余子式（Cofactor），A1j為行列式D的元素a1j的代數(shù)余子式（Algebraic Cofactor）。

由行列式的定義，它的值為n2個(gè)元素aij（i，j=1，2，…，n）的乘積構(gòu)成的和式，稱該和式為行列式的展開式。顯然其有下面的性質(zhì)：

性質(zhì)　n階行列式D的展開式中有n！個(gè)項(xiàng)，每項(xiàng)都是來(lái)自于行列式的不同行不同列的n個(gè)元素的乘積。

證　對(duì)該性質(zhì)不難用歸納法給予證明。

（1）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；

（2）假設(shè)對(duì)n-1階行列式結(jié)論也成立。則對(duì)n階行列式D，由式（1.8）

和歸納假定可知，行列式D的第一行每個(gè)元素a1j的代數(shù)余子式A1j均為n-1階行列式，因而它的展開式中有（n-1）！個(gè)項(xiàng)，而且每一項(xiàng)都是來(lái)自于除第一行和第j列以外的n-1個(gè)不同行、不同列的元素的乘積。將D的第一行n個(gè)元素的所有代數(shù)余子式A1j代入展開式（1.8）中，易知這樣產(chǎn)生的所有項(xiàng)都互不相同，并且可得到：n階行列式D的展開式中確實(shí)有n×（n-1）！=n！個(gè)項(xiàng)，且每項(xiàng)都是來(lái)自于不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積。

綜合上述，性質(zhì)得證。

此外，我們實(shí)際上還可證明：在行列式的展開式中帶正號(hào)的項(xiàng)和帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半。（證明過(guò)程留給讀者）

【例1.3】　計(jì)算n階上三角行列式（Upper triangular determinant）

解　由行列式定義，按第一行展開時(shí)，元素a12，a13，…，a1n的余子式皆等于零。所以

Dn=a11×（-1）1+1×M11=a11×M11

并且元素a11的余子式M11仍然是上三角的，以此類推，得

Dn=a11a22…ann

特別地，對(duì)下列（主）對(duì)角行列式（Diagonal determinant），有

【例1.4】　計(jì)算n階行列式

解　這是依照副對(duì)角線的n階下三角行列式。由n階行列式的定義，可以得到

Dn=a1n×（-1）1+n×M1n

注意到上式右端中元素a1n的余子式M1n是位于原行列式左下角的那個(gè)n-1階行列式，而且有與n階行列式Dn同樣的形式，反復(fù)利用行列式定義去展開，有

值得注意的是：這個(gè)n行列式Dn的值并不總等于（-1）a1na2（n-1）…an1。

【例1.5】　計(jì)算4階行列式

我們還看到，該行列式的第4行中的零元素比第1行中的零元素還要多。如果能夠按照第4行去展開，那計(jì)算不是更加簡(jiǎn)單嗎？事實(shí)上，若按行列式的第四行元素去展開行列式，就得到

這與按n階行列式定義計(jì)算的結(jié)果是一致的。

行列式不但可以按第一行元素展開，而且也可以按第一行以外的任一行或者任一列去展開，其結(jié)果都是相同的，即有

定理1.1　n階行列式D等于它的任一行（列）元素與它們所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

　　 （1.9） 　　

或

　　 （1.10）