習題二

1.填空題

（1）設，其中B，E都是n階矩陣。則當且僅當B2=_____時，A2=A。

（2）已知α=（1，2，3），，A=α'β，則An=______。

（3）設A，B都是n階矩陣。則A2-B2=（A+B）（A-B）成立的充要條件是____。

（4）設B=（b1，b2，b3，b4'），且矩陣X使得，則矩陣X=_______。

（5）設，則A-1=_______。

（6）設矩陣，則（A*）-1=_______。

2.選擇題

（1）設A是n階矩陣，經若干次矩陣的初等變換得到矩陣B，那么（?。?/p>

（A）必有｜A｜=｜B｜

（B）必有｜A｜≠｜B｜

（C）若｜A｜>0，則｜B｜>0

（D）若｜A｜=0，則｜B｜=0

（2）設A是n階對稱陣，B是n階反對稱陣，則下列矩陣中為反對稱陣的是（?。?。

（A）BAB

（B）ABA

（C）ABAB

（D）BABA

（3）設A，B，C均為n階矩陣，且ABC=E，則必有（　）。

（A）ABC=E

（B）CBA=E

（C）BAC=E

（D）BCA=E

（4）設A，B，C為n階方陣，且AB=BC=CA=E，則A2+B2+C2=（?。?。

（A）3E

（B）2E

（C）E

（D）0

（5）設A為n階可逆矩陣，則（-A）*等于（?。?。

（A）-A*

（B）A*

（C）（-1）nA*

（D）（-1）n-1A*

3.已知

求A'B和AB-2BA。

4.求下列矩陣的乘積

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

5.計算

（1）

（2）

（3）

（4）

6.求所有與矩陣A可交換的矩陣

（1）

（2）

7.設

（a，b，c互不相同）

證明：與A可交換的矩陣必為對角矩陣。

8.設A與B是n階矩陣，并且滿足AB=BA，證明

（1）（A+B）2=A2+2AB+B2

（2）（AB）k=AkBk（k是非負整數）

9.已知線性變換

利用矩陣乘法，求從x1，x2，x3到z1，z2的線性變換。

10.已知矩陣

問：將A乘上什么矩陣，才能得到

（1）

（2）（a11　a12　a13）

（3）

（4）（a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33）

11.計算

并由此證明

12.設A是反對稱矩陣，B是對稱矩陣，證明：

（1）A2是對稱矩陣；

（2）AB-BA是對稱矩陣；

（3）AB是反對稱矩陣的充要條件是AB=BA。

13.求下列各矩陣的逆矩陣

（1）/>

（2）

（3）

（4）

14.證明：

（1）若A2=O，則（E-A）-1=E+A；

（2）若A2-A+E=O，則A-1=E-A；

（3）若Ak=O，則（E-A）-1=E+A+A2+…+Ak-1。

15.求下列n階矩陣的逆矩陣

（1）

（2）

其中ai≠0（i=1，2，…，n）。

16.已知AP=PB，其中

求A及A6。

17.設A為三階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，/>，求｜（3A）-1-2A*｜的值。

18.已知n階矩陣A滿足A2-3A-2E=O，E為n階單位矩陣，試證A可逆，并求A-1。

19.用初等變換法求下列矩陣的逆矩陣

（1）

（2）

（3）

（4）

20.設A，B滿足AB=A+2B，其中，試求矩陣B。

21.設4階矩陣A=（α　γ2　γ3　γ4）及B=（β　γ2　γ3　γ4），其中α，β，γ2，γ3，γ4都是4行1列的矩陣，又已知行列式｜A｜=4，｜B｜=1，試求行列式｜A+B｜的值。

22.已知3階矩陣A的逆矩陣，試求其伴隨矩陣A*的逆矩陣。

23.試用初等行變換的方法求解方程組

（1）

（2）

24.用初等變換法求解下列矩陣方程

（1）

（2）

25*.設有分塊矩陣/>，其中A是n階可逆矩陣，D是m階矩陣，證明

det（R）=｜A｜｜D-CA-1B｜

26*.試用MATLAB符號運算的方法計算下列矩陣的行列式

并用因式分解函數命令factor簡化所得到的結果。