第四節(jié)　行列式按行（列）展開(kāi)定理

較高階的行列式一般不容易計(jì)算，但二、三階行列式可以比較容易地由對(duì)角線法則計(jì)算出它的值，那么能否將一個(gè)四階或四階以上的行列式通過(guò)降階化為二、三階行列式進(jìn)行計(jì)算呢？以下給出這種方法.

一、按一行（列）展開(kāi)行列式

定義1-4-1　在n階行列式D=｜aij｜中去掉元素aij所在的第i行和第j列后，余下的n-1階行列式，稱(chēng)為D中元素aij的余子式，記為Mij.即

Aij=（-1）i+jMij稱(chēng)為aij的代數(shù)余子式.

【例1-4-1】　寫(xiě)出四階行列式的元素a23的余子式和代數(shù)余子式.

引理　若n階行列式D=｜aij｜中的第i行中有一個(gè)元素aij≠0，其余元素都為零，則

D=aijAij.

證　先證i=1，j=1的情形.此時(shí)

由于在D的第一行元素中，除了a11外其余都為零，所以在D中含有a1j（j≠1）的項(xiàng)都為零，因此根據(jù)行列式的定義，得

再證一般情形，此時(shí) 　

現(xiàn)將第i行依次與第i-1，i-2，…，2，1行互換后，再將第j列依次與第j-1，j-2，…，2，1列互換，由行列式性質(zhì)2，得

再由前述情形得

D=（-1）i+jaijMij=aijAij

定理1-4-1　n階行列式D=｜aij｜等于它的任意一行（列）的各個(gè)元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin　?。?span id="z7f79ua" class="italic">i=1，2，…，n）　?。?-4-1）

或

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj　?。?span id="wpfh49i" class="italic">j=1，2，…，n）　　（1-4-2）

以上兩公式為行列式按某一行（列）展開(kāi)公式.

證　僅證式（1-4-1）.

如對(duì)三階行列式，它的第一行元素與對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式的乘積之和：

由于n階行列式的代數(shù)余子式均為n-1階的行列式，那么這一定理的結(jié)論表明：可將一個(gè)n階行列式化為若干n-1階行列式來(lái)計(jì)算.因此在計(jì)算較高階的行列式時(shí)，必要的話可多次利用展開(kāi)公式，將行列式逐次降階，直至化為三階或二階行列式來(lái)計(jì)算.

【例1-4-2】　分別按第一行與第二列展開(kāi)行列式.

解：按第一行展開(kāi)

按第二列展開(kāi)

運(yùn)用展開(kāi)公式計(jì)算行列式時(shí)，往往按零元素較多的行（列）展開(kāi)以簡(jiǎn)化計(jì)算，或通過(guò)行列式的性質(zhì)把某一行（列）的元素盡可能多地化為零，再展開(kāi).

【例1-4-3】　計(jì)算行列式.

【例1-4-4】　討論當(dāng)k為何值時(shí).

所以當(dāng)k≠1且k≠2且k≠-2時(shí)，

二、行列式按某k行（列）展開(kāi)

定義1-4-2　在n階行列式D中，任意選k行和k列，位于這些行和列交叉處的k2個(gè)元素，按原來(lái)相對(duì)位置不變排成一個(gè)k階行列式M，稱(chēng)為行列式D的一個(gè)k階子式.

在D中劃去k行和k列后，余下的元素按原來(lái)相對(duì)位置不變排成地一個(gè)n-k階行列式N稱(chēng)為k階子式M的余子式.

如果k階子式M中所在的行與列的行標(biāo)和列標(biāo)分別為i1，i2，…，ik和j1，j2，…，jk，則稱(chēng)

為k階子式M的代數(shù)余子式.

例如，在四階行列式中，如果選定第一、第二行和第三、第四列，就可以確定行列式D的一個(gè)二階子式，M的余子式為，M的代數(shù)余子式為.

定理1-4-2　拉普拉斯（Laplace）定理

在行列式D中任意取定k行（1≤k≤n），則行列式D等于由這k行元素組成的所有k階子式M1，M2，…，Mt與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式A1，A2，…，At的乘積之和.即

證明略.

【例1-4-5】　用拉普拉斯定理計(jì)算行列式.

解：因?yàn)樵谛辛惺街邪吹谌⒌谒男姓归_(kāi)的全部二階子式為

所以由定理1-4-2得.

【例1-4-6】　計(jì)算2n階行列式

因?yàn)榍?span id="cnwsdfx" class="italic">n列和后n行交叉位置上的元素都是零，按前n行展開(kāi)，得

類(lèi)似地，如果｜A｜和｜B｜如上所設(shè)，同樣也有