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  • 線性代數
  • 石琦 楊月梅
  • 920字
  • 2020-02-26 13:59:14

第五節 克萊姆法則

在二、三元線性方程組求解的過程中,引進了二、三階行列式,當系數行列式D≠0時,二、三元線性方程組的解可表示為,那么對n元線性方程組有同樣的結論.現在解決了計算較高階的行列式的問題,就可以用n階行列式解線性方程組了.

一、克萊姆法則

含有n個方程的n元線性方程組的一般形式為:

   (1-5-1)   

由它的系數構成的行列式

稱為該方程組的系數行列式.

定理1-5-1 克萊姆法則)線性方程組(1-5-1)當其系數行列式D≠0時,有且僅有唯一解.

   (1-5-2)   

是將系數行列式中第j列元素對應地換為常數項列后得到的行列式.

證 以行列式D的第jj=1,2,…n)列的代數余子式A1jA2j,…,Anj分別乘方程組(1-5-1)的第一、第二、…、第n個方程,然后相加,得

       (a11A1j+a21A2j+…+an1Anjx1+…+(a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnjxj+…+(a1nA1j+a2nA2j+…+annAnjxn

       =b1A1j+b2A2j+…+bnAnj

由式(1-4-1)和式(1-4-2),xj的系數等于Dxssj)的系數等于零。等號右端等于D中第j列元素乘以常數b1,b2,…,bn項替換后的行列式Dj,即

Djxj=D  (j=1,2,…n) ?。?-5-3)

如果方程組(1-5-1)有解,則其解必滿足方程組(1-5-3),而當D≠0時,方程組(1-5-3)只有形如式(1-5-2)的解

另一方面,將式(1-5-2)帶入方程組(1-5-1),容易驗證它滿足方程組(1-5-1),因此式(1-5-2)是方程組(1-5-1)的解。

綜上所述,當方程組(1-5-1)的系數行列式D≠0時,有且僅有唯一解

【例1-5-1】 解線性方程組

注意 克萊姆法則的應用條件是方程的個數與未知量個數相同,且系數行列式不等于零.

二、n元齊次線性方程組

方程組(1-5-1)中,如果常數項bi=0(i=1,2,…,n),即

   (1-5-4)   

稱為n元齊次線性方程組.顯然xj=0(j=1,2,…,n)是它的解,稱為零解(當然解).該齊次線性方程組也可能有非零解.

定理1-5-2 如果齊次線性方程組(1-5-4)的系數行列式D≠0,則它僅有零解.

證 因為D≠0,根據克萊姆法則,該齊次線性方程組有唯一解

又由于行列式Djj=1,2,…,n)中有一列的元素全為零,所以Dj=0(j=1,2,…,n),所以齊次線性方程組僅有零解.

由于逆否命題成立,所以如果該齊次方程組有非零解,則它的系數行列式D=0.后面還可以證明:如果D=0,則該齊次方程組有非零解.

【例1-5-2】 判定齊次線性方程組是否僅有零解.

所以方程組僅有零解.

【例1-5-3】 如果下列齊次線性方程組有非零解,k應取何值?

如果該齊次線性方程組有非零解,則D=0,即k=1.

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