第三節　行列式的性質

前面用對角線法則來計算二、三階行列式，對于較高階的行列式（四階以上）不適用對角線法則.學習了n階行列式的定義后，從理論上講可以利用定義來計算任一個n階行列式.但這種方法在實際操作中有很大的困難.因此需要尋求計算行列式的新方法.首先要學習行列式的有關性質，然后應用相關的性質，簡化行列式的計算.

一、行列式的性質

定義1-3-1　將行列式D的行與列互換后得到的行列式，稱為D的轉置行列式，記為DT.

如果 　

則 

性質1　將行列式轉置，行列式的值不變，即D=DT.

證　因為在D中第i行第j列的元素aij就是DT中第j行第i列的元素bji，即aij=bji，所以由行列式定義可得

由此性質可知，行列式的行與列的地位是同等的，對行成立的性質，對列也成立.下面行列式的性質都具有這個特點，因此一般僅對行給出證明.

性質2　交換行列式的兩行（列）對應元素的位置，行列式的值改變符號.

證　設上式左邊行列式為D，右邊為D1，且D1的第i行第j列的元素為bij，則D的s行、t行與D1的t行、s行的元素之間有關系：

asj=btj，atj=bsj（j=1，2，…，n）

此外，由aij=bij（i≠s，t；j=1，2，…，n），注意到對換改變排列的奇偶性和行列式的定義，得

例如，，由D交換1，2行，得

推論　如果行列式中有兩行（列）的對應元素相同，則此行列式的值為零.

因為將行列式D中相同的兩行交換，得到的D1與D相同，又根據性質2，D=-D1，所以D=0.

性質3　用數k乘行列式的某一行（列），等于用數k乘此行列式.

推論1　如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，則公因子可以提到行列式外面.

推論2　如果行列式有兩行（列）的對應元素成比例，則行列式的值等于零.

性質4　如果將行列式中的某一行（列）的每一個元素都寫成兩個數的和，則此行列式可以寫成兩個行列式的和.即若

，則D=D1+D2.

推論3　如果將行列式某一行（列）的每個元素都寫成m數（m為大于2的整數）的和，則此行列式可以寫成m個行列式的和.

性質5　將行列式某一行（列）的所有元素同乘以數k后加于另一行（列）對應位置的元素上，行列式的值不變.即

，用k乘D的第s行元素后加到第i行的對應元素上，得

【例1-3-1】　計算行列式.

解：因為第一列與第二列對應元素成比例，根據性質3的推論2，該行列式的值為零.

【例1-3-2】　證明奇數階反對稱行列式的值為零.

反對稱行列式為

其特點是元素aij=-aji（i≠j），aii=0（i=j）.

　　證

當n為奇數時，D=-D，即D=0.

【例1-3-3】　設，求.

二、化行列式為上（下）三角形行列式

前面用行列式的定義，計算出三角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積.學習了行列式的性質之后，可以利用這些性質，把行列式化成三角形行列式進行計算.

先來看一下化為上三角形行列式的步驟：如果第一列第一個元素為0，則把第一行與其他行（或第一列與其他列）交換，使第一列的第一個元素不為0；然后把第一行分別乘以適當的數加到其他各行，使第一列除第一個元素外其余元素皆為0；用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式；依次做下去，直至將它化為上三角形行列式.該行列式的值等于主對角線上元素的乘積.

【例1-3-4】　計算行列式.

【例1-3-5】　計算n階行列式.

解：