2.4　時(shí)間序列的運(yùn)算

人們常常通過(guò)建立模型來(lái)描述現(xiàn)象、事物隨時(shí)間推移的變化規(guī)律性，而常見(jiàn)的模型一般都是某種運(yùn)算的結(jié)果。

2.4.1　線(xiàn)性運(yùn)算和延遲運(yùn)算

1.線(xiàn)性運(yùn)算

設(shè)是兩個(gè)時(shí)間序列，a ，b是兩個(gè)常數(shù)，形如的時(shí)間序列可以看作由經(jīng)過(guò)線(xiàn)性運(yùn)算得到。

注意：不相關(guān)平穩(wěn)序列的線(xiàn)性運(yùn)算能保持平穩(wěn)性，其他的線(xiàn)性運(yùn)算不一定能保持平穩(wěn)性。

2.延遲運(yùn)算

假設(shè)已知時(shí)間序列和有如下關(guān)系這一關(guān)系式也可以用滯后算子（也稱(chēng)延遲算子）L表示為：

這意味著在各時(shí)間點(diǎn)上，時(shí)間序列和的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2-2所示。

因此，滯后算子L的作用就是將時(shí)間序列逐項(xiàng)推后一期。關(guān)于滯后算子，有下面的2種關(guān)系式成立：

其中，j為正數(shù)。稱(chēng)L為一步延遲算子，L2為二步延遲算子，…，　Lj為j 步延遲算子。

當(dāng)j=0時(shí)當(dāng)j=?i時(shí)，

另外，滯后算子具有如下性質(zhì)：

（1）對(duì)常數(shù)施加滯后算子仍為常數(shù)，即Lc=c，其中，c表示常數(shù)。

（2）滯后算子適用分配率，即

（3）滯后算子適用結(jié)合率，即

還可以通過(guò)線(xiàn)性運(yùn)算，構(gòu)造滯后算子多項(xiàng)式來(lái)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行更加復(fù)雜的運(yùn)算。典型的p階滯后算子多項(xiàng)式為：，則滯后算子多項(xiàng)式施加于時(shí)間序列時(shí)有：

特別地，當(dāng)p→∞，且滯后算子多項(xiàng)式中的系數(shù)時(shí)，則構(gòu)成特殊的無(wú)限期滯后算子多項(xiàng)式：

若則上式可記為：

此外還有線(xiàn)性延遲混合運(yùn)算，設(shè)，稱(chēng)Yt為的p階滑動(dòng)平均。

2.4.2　差分算子

1.一階差分

時(shí)間序列分析過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)用到差分運(yùn)算。對(duì)于時(shí)間序列差分運(yùn)算可以表示為：

其中，Δ為差分算子。對(duì)于差分后的時(shí)間序列來(lái)說(shuō)，它與原序列之間的關(guān)系如表2-3所示。

2.高階差分

差分后的序列仍然可以再次進(jìn)行差分，即這相對(duì)于原序列來(lái)說(shuō)是做了二次差分，方便起見(jiàn)差分后再差分記作并稱(chēng)之為二階差分。二階差分序列與原序列之間的關(guān)系可以表示為：

或

因此，可以認(rèn)為差分運(yùn)算沒(méi)有順序，如果考慮更高階的p階差分，有：

3.s步差分

另外，差分運(yùn)算還可以運(yùn)用于更多間隔的時(shí)間點(diǎn)之間。考慮：

其中，Δs稱(chēng)為s步差分。

s步差分的典型用處是測(cè)算季度或月度時(shí)間序列數(shù)據(jù)的同比變化，因此也稱(chēng)季節(jié)性差分。例如，一個(gè)季度時(shí)間序列每年有4個(gè)季度的數(shù)據(jù)，如果希望了解每年數(shù)據(jù)與上年同期相比的變化情況，則可以用四步差分序列來(lái)刻畫(huà)。時(shí)間序列與其四步差分序列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2-4所示。

4.聯(lián)合p階差分和s步差分

對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列來(lái)說(shuō)，除了可以單獨(dú)進(jìn)行p階差分和s步差分，有時(shí)還需要兩種差分運(yùn)算聯(lián)合進(jìn)行。例如，在后面的時(shí)間序列建模過(guò)程中經(jīng)常看到一階四步差分或一階十二步差分ΔΔ12的情況。值得注意的是，p階差分和s步差分聯(lián)合運(yùn)算時(shí)，沒(méi)有先后順序之分，即對(duì)于時(shí)間序列有