2.3　時間序列的相關性

序列相關性，又稱自相關（Autocorrelation），是指總體回歸模型的隨機誤差項之間存在相關關系。在計量經濟學中指對于不同的樣本值，隨機干擾之間不再是完全相互獨立的，而是存在某種相關性。

在回歸模型的古典假定中，假設隨機誤差項是無自相關的，即在不同觀測點之間是不相關的。如果該假定不能滿足，就稱存在自相關，即不同觀測點上的誤差項彼此相關。

自相關的程度可用自相關系數去表示，根據自相關系數的符號可以判斷自相關的狀態，如果小于0，則Xt與Xt-1為負相關；如果大于0，則Xt與Xt-1為正關；如果等于0，則Xt與Xt-1不相關。

2.3.1　自相關的分類

我們按自相關表現形式分類，可以將其分為以下兩種類型。

（1）如果誤差項只與其滯后一期的值相關，則稱誤差項存在一階自相關。即：

（2）如果誤差項與其滯后若干期（大于1期）的值相關，則誤差項存在高階自相關。即：

計量經濟學中最常見的自相關形式為一階線性自回歸形式，即：其中，α1稱為自回歸系數；vt是滿足標準OLS假定的隨機誤差項。

根據最小二乘原理和相關系數的定義，可以得到：

即在大樣本條件下，一階自回歸系數等于這二個變量的相關系數。由此，誤差項的一階線性自回歸形式可寫為：

如相關系數大于0，則稱誤差項存在正自相關；如相關系數小于0，則稱誤差項存在負自相關。

注意：自相關不是指兩個或兩個以上的變量之間的相關關系，而是指一個變量前后期數值之間存在的相關關系。

2.3.2　自相關的來源

1.經濟變量固有的慣性

大多數經濟時間序列數據都有一個明顯的特點——慣性，表現為滯后值對本期值具有影響。例如，GDP、價格指數、生產、就業與失業等時間序列都呈周期性，如周期中的復蘇階段，大多數經濟序列均呈上升勢，序列在每一時刻的值都高于前一時刻的值，似乎有一種內在的動力在驅使這一勢頭繼續下去，直至某些情況（如利率或課稅的升高）出現才把它拖慢下來。

2.模型設定的偏誤

所謂模型設定偏誤（Specification Error）是指所設定的模型“不正確”。主要表現為在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數形式有偏誤。

例如，本來應該估計的模型為：

但在模型設定中做了下述回歸：

因此如果X3確實影響Yt，則隨機誤差項中有一個重要的系統性影響因素，使其呈序列相關性。

2.3.3　自相關的檢驗

1.圖示法

由于殘差項ei可以作為隨機誤差項εi的近似估計，因此如果εi存在序列相關，必然由殘差項ei反映出來。因此可利用ei的變化圖來判斷隨機誤差項εi的序列相關性，如圖2-3所示。

2.德賓?沃森（Durbin-Watson）檢驗法

D-W檢驗是德賓（J.Durbin）和沃森（G.S.Watson）于1951年提出的一種檢驗序列自相關的方法。

該方法的使用條件是：

① 解釋變量X 非隨機，或者在重復抽樣中被固定；

該方法的檢驗假設是：

即隨機誤差項不存在一階序列相關

即隨機誤差項存在一階序列相關

構造的統計量是：

該統計量的分布與給定樣本中的X值有復雜的關系，因此其精確的分布很難得到。但是，Durbin和Watson成功地導出了臨界值的下限d L和上限dU，且這些上下限只與樣本的容量n 和解釋變量的個數k有關，而與解釋變量X的取值無關。

進行DW檢驗的步驟如下：

① 計算D.W.統計量的值；

② 根據樣本容量n和解釋變量數目k查閱D.W.分布表，得到臨界值dL和dU；

③ 按照表2-1的準則考察計算得到的D.W.值，以判斷隨機誤差項是否存在一階自相關。

用坐標圖可以更直觀地表示DW檢驗規則，如圖2-4所示。

容易證明，當D.W.值在2左右時，模型不存在一階自相關。

如果存在完全一階正相關，即ρ=1，則D.W.≈0；

如果存在完全一階負相關，即ρ= ?1，則D.W.≈4；

如果完全不相關，即ρ=0，則D.W.≈2。

注意：

① 從判斷準則可以看到，存在一個不能確定的D.W.值區域，這是這種檢驗方法的一大缺陷。

② D.W.檢驗雖然只能檢驗一階自相關，但在實際計量經濟學問題中，一階自相關是出現最多的一類序列相關。

③ 經驗表明，如果不存在一階自相關，一般也不存在高階序列相關。

所以在實際應用中，對于序列相關問題一般只進行D.W.檢驗。

3.LM檢驗（或BG檢驗）

此方法不僅適用于一階自相關檢驗，也適用于高階自相關的檢驗。

檢驗步驟：

（1）用OLS對回歸模型進行，得到殘差序列et；

（2）運用殘差序列和樣本觀測值中的解釋變量，建立如下輔助回歸模型并進行OLS估計，得到樣本可決系數

LM檢驗的檢驗假設為：

（3）構造LM統計量：

（4）查分布表，求得臨界值：

若則拒絕原假設，說明隨機誤差存在序列相關性，反之不能拒絕原假設。

2.3.4　自相關的解決方法

如果隨機誤差項被檢驗證明存在序列相關性，首先應分析產生自相關的原因，如果是由于模型設定偏誤，則應修改模型的數學形式。

怎樣查明自相關是由模型設定偏誤引起的？一種方法是用殘差對解釋變量進行較高次冪回歸，然后對新殘差作DW檢驗，如果此時自相關消失，則說明模型設定存在偏誤。

如果模型產生自相關的原因是模型中省略了重要解釋變量，則解決方法就是找出被省略了的解釋變量，將其作為解釋變量列入模型。怎樣查明此種自相關呢？一種方法是用殘差et對那些可能影響被解釋變量而未被列入模型的解釋變量進行回歸，并作顯著性檢驗，從而確定該解釋變量的重要性。

只有當以上兩種引起自相關的原因都消除以后，才能認為隨機誤差項“真正”存在自相關，此時需要對原模型進行變換，使變換以后的模型的隨機誤差項的自相關得以消除，進而利用普通最小二乘法估計回歸參數。

最常用的方法是廣義最小二乘法（GLS：Generalized Least Squares），這種方法對原模型進行適當變換以消除誤差項的自相關，進而利用OLS來估計回歸參數，相應的回歸參數估計結果稱為廣義最小二乘估計量。