2.5　白噪聲

2.5.1　純隨機(jī)序列

拿到一個(gè)觀察值序列之后，首先判斷它的平穩(wěn)性。通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)，序列可以分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列兩大類。

對于非平穩(wěn)序列，由于它不具有二階矩平穩(wěn)的性質(zhì)，所以對它的統(tǒng)計(jì)分析要復(fù)雜一些，通常要進(jìn)行進(jìn)一步的檢驗(yàn)、變換或處理之后，才能確定適當(dāng)?shù)臄M合模型。

如果序列平穩(wěn)，情況就簡單多了，我們有一套非常成熟的平穩(wěn)序列建模方法。但是，并不是所有的平穩(wěn)序列都值得建模。只有那些序列值之間具有密切的相關(guān)關(guān)系，歷史數(shù)據(jù)對未來的發(fā)展有一定影響的序列，才值得我們花時(shí)間去挖掘歷史數(shù)據(jù)中的有效信息，用來預(yù)測序列未來的發(fā)展。

如果序列值彼此之間沒有任何相關(guān)性，那就意味著該序列是一個(gè)沒有記憶的序列，過去的行為對將來的發(fā)展沒有絲毫影響，這種序列我們稱之為純隨機(jī)序列。從統(tǒng)計(jì)分析的角度而言，純隨機(jī)序列是沒有任何分析價(jià)值的序列。

為了確定平穩(wěn)序列還值不值得繼續(xù)分析下去，我們需要對平穩(wěn)序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)。

2.5.2　白噪聲過程

時(shí)間序列分析的主要內(nèi)容是對時(shí)間序列建模，而時(shí)間序列模型中的隨機(jī)性往往是通過白噪聲（Whitenoise）過程來引入的。白噪聲過程可謂是構(gòu)建時(shí)間序列模型的基石。

定義：若滿足零均值、同方差和非自相關(guān)，即：

對所有的t和s≠t成立，則稱為白噪聲過程，通常可記作特別地，如果εt服從正態(tài)分布，則稱為正態(tài)白噪聲過程或高斯白噪聲過程。

從白噪聲過程的定義可以看出，它滿足平穩(wěn)性條件，因此白噪聲過程是一種特殊的平穩(wěn)性過程。白噪聲過程的顯著特點(diǎn)是高度的隨機(jī)性，也稱純隨機(jī)性，即各時(shí)刻隨機(jī)變量之間互不相關(guān)，因此就沒有必要構(gòu)建時(shí)間序列模型再去研究其相關(guān)關(guān)系。一般情況下，對一個(gè)時(shí)間序列進(jìn)行研究，當(dāng)各時(shí)刻隨機(jī)變量之間所有的相關(guān)關(guān)系都已經(jīng)通過建模被識別后，剩下的無須進(jìn)一步研究的部分通常都是白噪聲過程，也就是在這種意義上，白噪聲過程成了時(shí)間序列模型的基本構(gòu)件。

利用MATLAB根據(jù)定義可以很容易得到白噪聲的序列圖，比如產(chǎn)生均值為0，方差為1的白噪聲序列圖，如圖2-5所示。主要實(shí)現(xiàn)方法是通過mvnrnd(0,1,1000)命令產(chǎn)生均值為0，方差為1的1000個(gè)隨機(jī)數(shù)。

白噪聲序列雖然很簡單，但它在我們進(jìn)行時(shí)間序列分析中所起的作用卻非常大，它的兩個(gè)重要性質(zhì)我們在后面的分析過程中要經(jīng)常用到。

1.純隨機(jī)性

由于白噪聲序列具有如下性質(zhì)：

這說明白噪聲序列的各項(xiàng)之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，這種“沒有記憶”的序列就是我們說的純隨機(jī)序列。純隨機(jī)序列各項(xiàng)之間沒有任何關(guān)聯(lián)，序列在進(jìn)行完全無序的隨機(jī)波動(dòng)。一旦某個(gè)隨機(jī)事件呈現(xiàn)出純隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的特征，我們就認(rèn)為該隨機(jī)事件沒有包含任何值得提取的有用信息，我們就應(yīng)該終止分析了。

如果序列值之間呈現(xiàn)出某種顯著的相關(guān)關(guān)系：

就說明該序列不是純隨機(jī)序列，該序列間隔期的序列值之間存在一定程度的相互影響關(guān)系，這種相互影響的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)上稱為相關(guān)信息。我們分析的目的就是要想方設(shè)法把這種相關(guān)信息從觀察值序列中提取出來。一旦觀察值序列中蘊(yùn)含的相關(guān)信息被我們充分提取出來了，那么剩下的殘差序列就應(yīng)該呈現(xiàn)出純隨機(jī)的性質(zhì)了，所以純隨機(jī)性還是我們判斷相關(guān)信息是否提取充分的一個(gè)判別標(biāo)準(zhǔn)。

2.方差齊性

所謂方差齊性，就是指序列中每個(gè)變量的方差都相等，即：

如果序列不滿足方差齊性，我們就稱該序列具有異方差性質(zhì)。

在時(shí)間序列分析中，方差齊性是一個(gè)非常重要的限制條件。因?yàn)楦鶕?jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假設(shè)成立時(shí)，我們用最小二乘法得到的未知參數(shù)估計(jì)值才是準(zhǔn)確的、有效的。如果假設(shè)不成立，那么最小二乘估計(jì)值就不是方差最小線性無偏估計(jì)，擬合模型的預(yù)測精度會(huì)受到很大影響。

所以我們在進(jìn)行模型擬合時(shí)，檢驗(yàn)內(nèi)容之一就是要檢驗(yàn)擬合模型的殘差是否滿足方差齊性假定。如果不滿足，那就說明殘差序列還不是白噪聲序列，即擬合模型沒有充分提取隨機(jī)序列中的相關(guān)信息，這時(shí)擬合模型的精度是值得懷疑的。在這種情況下，我們通常需要使用適當(dāng)?shù)臈l件異方差模型來擬合該序列。