2.5 最優價格問題

市場經濟下，商品和服務的價格是商家和服務部門的敏感問題。為了獲得最大的利潤，經營者總希望商品能賣個好價錢，但定價太高會影響銷量，從而影響利潤。為此，就需要在兩者之間尋求一個平衡點，這就是最優價格的問題。

解題思路

假設某種商品每件成本為q元，售價為p元，銷售量為x，則總收入與總支出為I=px和C=qx。在市場競爭的情況下，銷售量依賴于價格，故設x=f（p）, f在經濟學上稱為需求函數。一般來說，f是p 的減函數（但在市場不健全或假貨充斥的時候，可能會出現不符合常識的現象），于是收入和支出都是價格的函數，利潤為：

U（p）=I（p）-C（p）

使利潤達到最大的最優價格p（*）可以由得到：

經濟學中稱dI/dp為邊際收入，dC/dp為邊際支出，前者指的是當價格改變一個單位時收入的改變量，后者指的是當價格改變一個單位時支出的改變量。最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到，這也是經濟學中的一條定律。

為了得到進一步的結果，需假設需求函數的具體形式。如果設它為線性函數，f（p）=a-bp，其中a, b＞0，且每件產品的成本與產量無關，則利潤為：

U（p）=（p-q）（a-bp）

用微分法或初等數學方法可求出使U（p）最大的最優價格p*為：

模型結果分析 參數a可理解為產品免費供應時的需求量，稱為“絕對需求量”, b=dx/dp為價格上漲一個單位時銷售量下降的幅度，同時也是價格下跌一個單位時銷售量上升的幅度，它反映市場需求對價格的敏感程度。實際工作中a, b可由價格p 和銷售量x 的統計數據用最小二乘法擬合來確定。