3.2 離散余弦變換

DFT變換是頻譜分析的有力工具，但DFT變換是基于復數域的運算，因而給實際運算帶來了不便。因此，工程上特別需要各種在實數域內的變換，DCT變換就是其中一種。DCT變換除了具有一般正交變換的性質之外，還具有許多突出的優點。DCT變換陣的基向量很近似于Toeplitz矩陣的特征向量，很好地體現了人類語音信號及圖像信號的相關特性。因此，許多學者認為，在語音和圖像信號處理方面，DCT變換被認為是準最佳變換。而且，DCT變換還可以通過實偶函數的傅里葉變換建立與FFT變換之間的關系。

DCT變換由Ahmed和Rao于1974年首先提出，隨后就得到了廣泛的應用，在許多領域，DCT變換被認為是一種準最佳變換。在近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國際標準建議中，都將DCT變換作為其中的一個基本處理模塊。DCT變換除上述優點之外，還具有許多特點，如DCT為實數變換、變換矩陣確定（與變換對象無關）、具有多種快速算法，二維DCT還是一種可分離的變換等。

3.2.1 一維DCT變換

一維DCT的變換核定義為

式中

若f（x）（x=0，1，2，3，…，N—1）為N點離散序列，則一維DCT變換的定義為

式中，F（u）是第u個余弦變換系數；u是廣義頻率變量。

一維DCT逆變換定義為

根據式（3-65）和式（3-66）可以看出，一維DCT正變換與逆變換的核相同。與DFT變換一樣，DCT變換也可以寫成如下矩陣形式：

式中

3.2.2 二維DCT變換

一維DCT變換可以很方便地推廣到二維DCT變換，設二維離散圖像序列為{f（x，y）（x=0，1，…，M—1；y=0，1，…，N—1）}，則二維DCT正變換核為

其中，C（u）和C（v）的定義與式（3-64）相同。

二維DCT正變換為

二維DCT逆變換定義形式為

與一維DCT變換一樣，二維DCT變換也可以寫成如下矩陣形式：

根據式（3-69）和式（3-70）可以看出，二維DCT正變換與逆變換的核也相同，而且是可分離的，即可分離以后進行運算。

x，u=0，1，2，3，…，M—1；y，v=0，1，2，3，…，N—1

與DFT變換類似，根據可分離性原理，一次二維DCT變換可以通過二次一維DCT正變換完成。其算法流程如圖3-6所示。

3.2.3 DCT變換的快速算法

DCT變換根據定義也可以直接進行計算，但計算量非常大，在實際應用中很不方便。目前，基于DCT的快速算法有許多種，由于FFT算法是一個應用廣泛且非常成熟的快速算法，因此許多DCT算法也是基于FFT的原理建立起來的。具體步驟如下：

（1）將離散序列f（x）延拓為如下形式的2N點序列。

（2）根據一維DCT的定義，對延拓序列f1（x）進行DCT運算。

當u=0時

當u=1，2，3，…，N—1時，有

因此，DCT快速算法可以通過對延拓序列f1（x）進行FFT運算完成，即將N點的序列f（x）延拓為2N點的序列f1（x）后，對序列f1（x）進行FFT運算，再將結果乘以并取其實部，然后乘以就是DCT運算的結果。

對于DCT逆變換（又稱為IDCT），也可以采取類似的方法進行快速運算。

（1）將離散序列F（u）延拓為如下形式的2N點序列。

（2）根據一維IDCT的定義，對延拓序列F1（u）進行IDCT運算，公式為

3.2.4 二維DCT的頻譜分布

以圖像傅里葉變換為基礎，二維DCT的頻譜特性比較好理解，現以一個DCT變換實例來分析其頻譜分布。

例3-4：DCT變換實例

圖3-7（a）為原始圖像，圖3-7（c）為原始圖像旋轉45°角的圖像，圖3-7（b）和圖3-7（d）分別為圖3-7（a）和圖3-7（c）的DCT變換。對于DCT，頻率（0，0）點對應于頻譜原點（u=0，v=0），低頻在左上角，高頻在右下角，（M—1，N—1）點對應于高頻成分；DCT低頻系數值較大，高頻系數值較小，即能量主要集中在低頻，從左上角往右下角頻率升高、能量降低。根據DCT變換原理，其運算相當于對帶有中心偏移的實偶函數進行二維DFT運算，因此，DCT的頻譜分布與DFT相差一倍。