3.3 離散K-L變換

K-L變換（Karhunen-Loeve transform）是數字圖像處理中具有廣泛應用的一類重要變換，又稱為特征向量變換、主分量變換或霍特林變換。K-L變換既有連續形式的變換也有離散形式的變換，它是完全從圖像的統計性質出發實現的變換。數字圖像中應用的主要是離散K-L變換，它的重要優點是去相關性好，該變換在數據壓縮、圖像旋轉、遙感多光譜圖像的特征選擇和統計識別等方面具有重要意義。

3.3.1 K-L變換的基本原理

在實際應用中，二維圖像可以視為隨機場。一幅N×N的圖像f（x，y）在某個通信信道中傳輸了M次，由于受到隨機噪聲的干擾，接收到的可能是一個受干擾的圖像隨機變量的樣本集合：

{f1（x，y），f2（x，y），…，fM（x，y）}

對第i次獲得的圖像f（x，y），可以用N2×1維向量Xi表示：

Xi=［fi（0，0），fi（0，1），…，fi（0，N—1），fi（1，0），fi（1，1），…，fi（1，N—1），…，fi（N—1，0），fi（N—1，1），…，fi（N—1，N—1）］

若以Xij表示第i次獲得的圖像f（x，y）中的第j行的N個分量，則上式為

Xi=［Xi1，Xi2，…，XiN］T

根據概率論和數理統計知識，圖像隨機場信號的隨機變量之間的相關程度可以采用協方差矩陣表示，因此，向量X的協方差矩陣的定義為

式中，Cx是N2×N2對稱方陣，對角線上的元素Cnn表示第n個分量的方差，Cnm表示第n個元素與第m個元素之間的協方差；E表示數學期望運算；mx表示向量X的平均值。

向量X的平均值定義為

對于M幅數字圖像，向量X的均值mx可以用全部樣本的平均值近似計算，即

向量X的協方差矩陣Cx可以采用同樣的方法計算，即

式中，mx是N2個元素的向量。

Cx是N2×N2實對稱方陣，所以總可以求出協方差矩陣的N2個特征值及其對應的正交特征向量。設特征值λi（i=1，2，…，N2）對應的特征向量為ei（i=1，2，…，N2），并將特征值按遞減排序，即λ1＞λ2＞…＞。則定義K-L變換矩陣A如下：

式中，eij表示第i個特征向量的第j個分量。

于是，可得K-L變換形式為

向量Y的形式與X相同。該變換可直接理解為，由中心化圖像向量（X—mx）與變換矩陣A相乘即可得到變換后的圖像向量Y。

3.3.2 K-L變換的性質

由于K-L變換的變換矩陣A是由協方差矩陣Cx的特征向量組成，因此，K-L變換具有如下性質。

（1）變換后圖像向量Y的均值向量為0（0向量），即

（2）向量Y的協方差矩陣Cy可由A和Cx求得，公式為

（3）經過K-L變換后完全消除了元素之間的相關性，即協方差矩陣Cy是對角矩陣，且主對角線上的元素等于Cx的特征值，即

協方差矩陣Cy主對角線以外的元素全部為0，即變換圖像向量Y的各個元素是互不相關的，由于λi（i=1，2，…，N2）也是Cx的特征值，所以Cy和Cx具有完全相同的特征值和特征向量。

3.3.3 K-L變換的逆變換

與其他變換類似，K-L變換也有逆變換，即可以通過Y來重建X。由于矩陣A的各行都是正交歸一化矢量，所以有

A—1=AT

根據K-L變換形式可得

由于協方差矩陣特征值是由大到小排列的，在許多實際應用中，可以充分利用K-L變換的這個性質進行近似計算。例如，可以只取一部分特征值及其對應的特征向量，若取前n個特征值，則可以表示為

即可以只取前n個分量重建X的近似值

因此，可以得出Xn和X之間的均方誤差為

顯然，若k=N2，則均方誤差為0，即可以精確地重構X。由于特征值λi（i=1，2，…，N2）是單調遞減的，因此，可以通過取不同的n值來控制Xn和X之間的均方誤差，即完全可以根據誤差的要求來控制所取特征值的數量。因此，理論上K-L變換可以將均方誤差控制到任意小的程度，或者說可以實現均方誤差最小意義下的最優變換。

綜上所述，K-L變換具有許多優點，其最重要的優點是去相關性能非常好，它可以完全解除數據之間的相關性，因此，K-L變換可廣泛用于圖像數據的旋轉或壓縮處理。但K-L變換也具有自身的明顯缺點，這就是二維K-L變換不可分離的變換，不能通過在x與y方向上的兩次一維的K-L變換來完成二維K-L變換的運算。同時，K-L變換是一種和圖像數據有關的變換，在變換中，必須計算圖像數據的N2×N2協方差矩陣的特征值和特征向量，計算量非常龐大，因而K-L變換在實際圖像處理中并沒有得到所期望的普及程度。