3.1 傅里葉變換

傅里葉變換是非常重要的數學分析工具，同時也是一種非常重要的信號處理方法，在圖像處理領域，它也是一類應用最為廣泛的正交變換，它除了許多在工程上具有重要意義的獨特性質之外，還具有快速算法（FFT）。傅里葉變換是線性系統分析的有力工具，在數字圖像處理與分析中，圖像增強、圖像恢復、圖像編碼壓縮、圖像分析與描述等每一種處理手段和方法都可以應用圖像變換方法。例如，在進行圖像低通濾波、高通濾波時，可以借助于傅里葉變換將在空間域中解決的問題轉換到頻率域中解決。圖像處理中的變換方法一般都是保持能量守恒的正交變換，而且在理論上，它的基本運算是嚴格可逆的。借助于傅里葉變換理論及其物理解釋，并結合其他技術學科可以解決或解釋大多數圖像處理問題。

3.1.1 連續傅里葉變換

1. 一維連續傅里葉變換

若f（x）為一維連續實函數，則它的傅里葉變換可定義為

一般情況下，實函數f（x）經過傅里葉變換之后，變換函數F（u）是一個復函數。傅里葉變換是一個線性積分變換，因此應討論積分變換本身的存在性問題。傅里葉變換在數學上的定義是嚴密的，它需要滿足如下狄利克萊條件：

（1）具有有限個間斷點。

（2）具有有限個極值點。

（3）絕對可積。

即只要滿足上述條件的函數，其傅里葉變換與逆變換一定是存在的。實際應用中，絕大多數函數都是滿足狄利克萊可積條件的。任何圖像數字化信號或相關圖像信號一般都被截為有限延續且有界的信號（函數），因此，常用的圖像信號和函數也都存在傅里葉變換。如果已知F（u），則其反變換（傅里葉逆變換）為f（x）。傅里葉逆變換定義為

除了積分函數和積分變量的區分之外，正變換和反變換在形式上的另一個重要區別是冪次方的符號不同。

函數f（t）和F（u）稱為傅里葉變換對。即對于任一函數f（x），其傅里葉變換F（u）是唯一的；反之，對于任一函數F（u），其傅里葉逆變換f（x）也是唯一的。

連續函數f（x）的傅里葉變換F（u）是一個復函數，因此F（u）可以表示為

F（u）=R（u）+jI（u）

式中，R（u）和I（u）分別表示F（u）的實部和虛部，F（u）也可以表示為指數形式，即

式中

式中，|F（u）|稱為F（u）的模，也稱為函數f（x）的傅里葉譜；?（u）為F（u）的相角，稱為相位譜。

令

則E（u）稱為函數f（x）的能量譜或功率譜。

2. 二維連續傅里葉變換

若f（x，y）為二維連續函數，并滿足可積條件，則它的傅里葉變換可定義為

式中，u是對應于x軸的空間頻率變量；v是對應于y軸的空間頻率變量。

一般情況下，F（u，v）是關于實變量u、v的復值函數。由于一幅圖像可用二維函數f（x，y）表示，所以F（u，v）也就是二維圖像f（x，y）的傅里葉變換或傅里葉頻譜。

如果已知F（u，v），且F（u，v）滿足可積條件，則其傅里葉逆變換定義為

這時F（u，v）和f（x，y）稱為傅里葉變換對。類似于一維傅里葉變換，二維傅里葉頻譜也可以表示為

式中，R（u，v）和I（u，v）分別表示F（u，v）的實部和虛部。F（u，v）也可以表示為指數形式，即

式中

式中，|F（u，v）|稱為F（u，v）的模，也稱為函數f（x，y）的幅值譜；?（u，v）為F（u，v）的相角，稱為相位譜。

令

則E（u，v）稱為函數f（x，y）的能量譜或功率譜。

一維連續函數的傅里葉變換的許多結論都可以很容易地根據定義推廣到二維傅里葉變換。

例如，對于二維函數

其幾何圖形如圖3-1所示。

根據傅里葉變換的定義，二維圖像f（x，y）傅里葉變換為

因此，可得函數f（x，y）的傅里葉頻譜為

若Tx與Ty相等，則二維函數f（x，y）的頻譜F（u，v）的幾何圖形可以通過將一維矩形信號的頻譜旋轉一周實現，或者說，一維矩形信號的頻譜是二維頻譜F（u，v）的徑向剖面圖形。

3.1.2 離散傅里葉變換

離散傅里葉變換（DFT）是指對離散序列進行傅里葉變換。由于計算機能處理的數據為數字量或者說離散量，而且二維數字圖像已經將連續圖像離散化為像素點，因此，連續函數的傅里葉變換在計算機上無法直接使用。因此，為了能在計算機上實現數字圖像的傅里葉變換，必須將連續函數離散化。連續函數的傅里葉變換是波形分析的有力工具，離散函數的傅里葉變換將數學與計算機技術緊密聯系在一起，為傅里葉變換這一強有力的數學工具開辟了一條寬闊的實用之道，使傅里葉變換這一數學工具將發揮更大的作用。

1. 一維離散傅里葉變換

前面介紹了一維連續函數f（x）的傅里葉變換，f（x）是在—∞～+∞無限區間上連續，函數值f是連續的，計算機無法直接對連續函數進行運算。因此，必須對連續函數f（x）進行離散化處理。

若以Δx為采樣間隔，從—∞～+∞對f（x）進行等間隔采樣，則可將連續函數離散化。一般情況下不會對這無窮多個采樣值進行同樣的關注，若以某個起點x0開始的采樣值是所關注的值，則稱該起點x0的采樣值為離散采樣序列的第1個樣本值，其余采樣點以此類推，（x0+Δx）點的采樣值為第2個采樣值，（x0+2Δx）點的采樣值為第3個采樣值……［x0+（N—1）Δx］點處的采樣值為第N個采樣值。這樣就得到了具有N個采樣值的離散序列。將N個采樣值排列如下：

f（x0），f（x0+Δx），f（x0+2Δx），…，f［x0+（N—1）Δx］

上述序列可以表示為

f（x0+nΔx），n=0，1，2，3，…，N—1

由于x0是一個確定的起點時刻，Δx是采樣間隔，這兩個量都是常量，上述序列的表達式中只有n是變量，因此，離散采樣序列可以直接表示為f（n），即

為了和數字圖像的其他表示方法一致，可以將x代替n，即序列可以表示為

由此可得一維離散序列f（x）（x=0，1，2，3，…，N—1）的傅里葉變換定義為

式中

F（u）=F（u0+uΔu），u=0，1，2，3，…，N—1

若已知頻率序列F（u）（u=0，1，2，3，…，N—1），則離散序列F（u）的傅里葉逆變換定義為

式中，f（x）和F（u）稱為傅里葉變換對；Δx和Δu分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔，兩者之間滿足

令

離散傅里葉變換可以寫為如下形式：

正變換：

逆變換：

根據歐拉公式，傅里葉變換可以寫為

由此可知，離散序列f（x）的傅里葉變換F（u）依然是離散序列，而且通常情況下是一個復數序列，與連續傅里葉變換類似，F（u）可以表示為

F（u）=R（u）+jI（u）

式中，序列R（u）和I（u）分別表示離散序列F（u）的實序列和虛序列，序列F（u）還可以表示為指數形式，即

式中

式中，|F（u）|稱為F（u）的模，又稱為序列f（x）的頻譜或傅里葉幅度譜；?（u）稱為F（u）的相角，或稱為序列f（x）的相位譜。

令

則頻譜的平方E（u）稱為序列f（x）的能量譜或功率譜。

2. 二維離散傅里葉變換

根據一維離散傅里葉變換的定義和二維連續傅里葉變換理論，對于一個具有M×N個樣本值的二維離散序列f（x，y）（x=0，1，2，3，…，M—1；y=0，1，2，3，…，N—1），其傅里葉變換為

式中

F（u，v）=F（u0+uΔu，v0+vΔv），u=0，1，2，3，…，M—1；v=0，1，2，3，…，N—1

若已知頻率二維序列F（u，v）（u=0，1，2，3，…，M—1；v=0，1，2，3，…，N—1），則二維離散序列F（u，v）的傅里葉逆變換定義為

式中，u是對應于x軸的空間頻率分量；v是對應于y軸的空間頻率分量。

f（x，y）和F（u，v）稱為傅里葉變換對，Δx和Δu分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔，兩者之間滿足

根據歐拉公式，二維離散序列f（x，y）的傅里葉變換F（u，v）依然是二維離散復數序列，F（u，v）可以表示為

F（u，v）=R（u，v）+jI（u，v）

式中，序列R（u，v）和I（u，v）分別表示離散序列F（u，v）的實序列和虛序列。則同樣可得二維序列f（x，y）的頻譜（傅里葉幅度譜）、相位譜和能量譜（功率譜）分別為

3.1.3 二維DFT的性質

根據傅里葉變換的定義，二維傅里葉變換具有與一維傅里葉變換相似的特性。數字圖像處理中需要應用很多二維離散傅里葉變換的性質，充分理解和掌握這些性質是非常必要的。二維離散傅里葉變換的主要特點如下。

1. 線性特性

如果二維離散函數f1（x，y）和f2（x，y）的傅里葉變換分別為F1（u，v）和F2（u，v），則存在以下線性性質：

應用線性性質時應注意，k1F1（u，v）+k2F2（u，v）不能超過圖像顯示器所允許的最大值，否則可能造成圖像信息損失。

2. 比例性質

如果二維離散函數f（x，y）的傅里葉變換為F（u，v），則存在以下比例性質：

式中，若取

則比例特性表現為

3. 平移性質

如果二維離散函數f（x，y）的傅里葉變換為F（u，v），則存在以下平移性質：

對于逆變換，也存在同樣的性質：

二維傅里葉變換的移位特性表明，當用乘以f（x，y），然后再進行乘積的離散傅里葉變換時，可以使空間頻率域u-v平面坐標系的原點從（0，0）平移到（u0，v0）的位置。同樣，對于傅里葉逆變換，當用乘以F（u，v），并求此乘積的離散傅里葉反變換，可以使空間域x-y平面坐標系的原點從（0，0）平移到（x0，y0）的位置。逆變換的移位特性還表明，圖像f（x，y）平移之后為f（x—x0，y—y0），但平移之后的傅里葉幅度譜沒有發生任何變化，而僅僅是相位譜產生了一定的相移特性。

二維離散傅里葉變換的移位特性在數字圖像處理中具有重要的應用價值。例如，為方便地觀察數字圖像的傅里葉變換結果，經常需要將空間頻率平面坐標系的原點（0，0）移到（M/2，N/2）的位置，此時，可以取值為

根據移位特性，則對應于空間域乘以因子

這時移位特性表現為

式（3-38）表明，將f（x，y）乘以一個簡單的因子（—1）x+y，然后對乘積進行傅里葉變換，就可以將空間域頻率平面坐標系的原點平移到空間頻率域的M×N方陣中心。

例3-1：傅里葉變換的頻譜分布特性

對如圖3-2（a）所示圖像進行傅里葉變換，圖3-2（b）為未進行移位的傅里葉變換幅值譜，幅值譜圖的四個角為低頻點，圖3-2（c）為先進行移位再進行傅里葉變換的幅值譜，頻譜的中心位于幅值譜圖的中心點，圖3-2（d）為圖3-2（c）幅值譜的三維顯示，圖3-2（e）為三維幅值譜沿u頻率軸剖面。

4. 可分離性

如果M×N二維離散函數f（x，y）的傅里葉變換為F（u，v），則存在以下可分離性質：

二維傅里葉變換的可分離特性表明，一個二維傅里葉變換可通過二次一維傅里葉變換來完成，即第一次先對y進行一維傅里葉變換

然后，再在此基礎上對x進行一維傅里葉變換

上述過程也可以先對y進行傅里葉變換，然后再對x進行變換。變量分離步驟如圖3-3所示。

根據分離性質可以表示為

若已知頻率二維序列F（u，v），則二維可分離性對傅里葉逆變換同樣適應。

逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅里葉變換：

5. 周期性

如果二維離散函數f（x，y）的傅里葉變換為F（u，v），則傅里葉變換及其逆變換存在如下周期特性：

式中，k1、k2均為正整數。

6. 共軛對稱性

如果二維離散函數f（x，y）的傅里葉變換為F（u，v），則傅里葉變換存在共軛對稱性：

且

7. 旋轉不變性

如果二維離散函數f（x，y）的傅里葉變換為F（u，v），則二維傅里葉變換對之間存在旋轉不變性。考慮到極坐標表示二維圖形的旋轉特性的方便性，為此，將空間域和空間頻率域都改為用極坐標表示。在空間域直角坐標與極坐標的變換關系為

這樣，圖像f（x，y）可以表示為f（r，θ）。同樣，空間頻率域的F（u，v）采用極坐標可以表示為F（ρ，?）。二維離散傅里葉存在如下旋轉特性：

即如果f（x，y）旋轉一個角度θ0，則對應的傅里葉變換F（u，v）也同樣旋轉相同的角度θ0。反之亦然。

例3-2：傅里葉變換的旋轉不變性

如圖3-4所示是傅里葉變換旋轉不變性的示例，圖3-4（a）為原始圖像，圖3-4（b）是對原始圖像進行離散傅里葉變換的結果，圖3-4（c）為將原始圖像旋轉45°角，圖3-4（d）為旋轉之后的傅里葉變換，可以看出圖3-4（b）與圖3-4（d）之間同樣是45°的旋轉關系。

8. 微分性質

如果二維離散函數f（x，y）的傅里葉變換為F（u，v），則傅里葉變換具有如下微分性質。

9. 平均值性質

如果M×N二維離散函數f（x，y）的傅里葉變換為F（u，v），函數的平均值定義如下：

則二維離散傅里葉變換具有如下性質：

即

也就是說，二維離散函數的平均值等于其傅里葉變換在頻率原點處值的1/MN。

10. 卷積定理

如果二維離散函數f（x，y）和h（x，y）的傅里葉變換分別為F（u，v）和H（u，v），則f（x，y）和h（x，y）之間的卷積可以通過其傅里葉變換F（u，v）和H（u，v）進行計算。

反過來，也存在如下關系：

11. 相關定理

如果二維離散函數f（x，y）的傅里葉變換為F（u，v），則傅里葉變換對自相關和互相關運算分別具有如下特性：

1）互相關

2）自相關

12. 帕薩瓦（Parseval）定理

如果M×N二維離散函數f（x，y）的傅里葉變換為F（u，v），則傅里葉變換具有如下性質：

帕薩瓦定理表明，進行二維傅里葉變換后函數的能量沒有改變。

3.1.4 圖像傅里葉變換綜合實例

相對于一維信號的傅里葉變換，二維傅里葉變換有一些新特性。為了全面理解和掌握傅里葉變換，現給出一例傅里葉變換的綜合實例。

例3-3：傅里葉變換的綜合實例

如圖3-5（a）所示為原始圖像，圖3-5（b）所示為傅里葉變換的幅值譜，假定相位為常數0，由幅值譜進行傅里葉逆變換的重建圖像如圖3-5（c）所示；圖3-5（d）是傅里葉變換的相位譜，假定幅值為常數，由相位譜逆變換的重建圖像如圖3-5（e）所示；由幅值譜和相位譜逆變換的重建圖像如圖3-5（f）所示。

本實驗結果表明，基于相位譜和幅值譜逆變換的圖像3-5（f）和原始圖像3-5（a）誤差不大，假定相位為常數0，由幅值譜進行傅里葉逆變換的重建圖像3-5（c）和原始圖像完全不一樣，而假定幅值為常數，由相位譜逆變換的重建圖像3-5（d），雖然與原始圖像在灰度值方面有較大的誤差，但圖像的基本輪廓和邊緣卻相似。