納什均衡：如何賺得最多，如何虧得最少

你正在圖書館枯坐，一位陌生美女主動過來和你搭訕，并要求和你一起玩?zhèn)€數(shù)學(xué)游戲。

美女提議：“讓我們各自亮出硬幣的一面，或正或反。如果我們都是正面，那么我給你3元，如果我們都是反面，我給你1元，剩下的情況你給我2元就可以了?！?

那么該不該和這位姑娘玩這個游戲呢？

這基本是廢話，當然該。

問題是：這個游戲公平嗎？

我們來分析一下，按照游戲規(guī)則，你和美女每局可能出現(xiàn)的收益情況如下表所示：

nm 美女出正面 美女出反面

你出正面 +3，-3 -2，+2

你出反面 -2，+2 +1，-1

假設(shè)你出正面的概率是x，反面的概率是1-x；美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y。為了使利益最大化，應(yīng)該在對手出正面或反面的時候我們的收益都相等，由此列出方程就是：3x+（-2）×（1-x）=（-2）×x+1×（1-x）

解方程得x=3/8。

同樣，美女的收益，列方程

-3y+2（1-y）=2y+（-1）×（1-y）

解方程得y也等于3/8，而美女每次的期望收益則是2（1-y）-3y=1/8元。這告訴我們，在雙方都采取最優(yōu)策略的情況下，平均每次美女贏1/8元。

其實只要美女采取了（3/8，5/8）這個方案，即按照3/8的概率出正面、5/8的概率出反面，不論你再采用什么方案，都是不能改變局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是（3+3+3-2-2-2-2-2）/8=-1/8元；如果全部出反面，每次的期望收益也是（-2-2-2+1+1+1+1+1）/8=-1/8元。而任何策略無非只是上面兩種策略的線性組合，所以期望還是-1/8元。

但是當你也采用最佳策略（3/8，5/8）時，至少可以保證自己輸?shù)米钌?。否則，你肯定就會被美女采用的策略針對，從而賠得更多。

事實上，每一種游戲依具其規(guī)則的不同都會存在納什均衡，使每人都賺得最多或虧得最少。

納什均衡的創(chuàng)立者是約翰·納什。他在經(jīng)濟學(xué)圈外，是因為那部獲奧斯卡獎的影片《美麗心靈》才被大家了解的。這個被精神分裂癥困擾了30多年的天才曾被很多學(xué)術(shù)獎項和機構(gòu)排斥在門外，他的諾貝爾獎得來的更是艱難。他在20世紀80年代中期就出現(xiàn)在候選人的名單當中，卻因為兩派意見相差太大而被擱置了近10年。1994年，他終于在投票中以微弱優(yōu)勢通過，獲得當年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。

納什的研究奠定了現(xiàn)代非合作博弈論的基石，后來的博弈論研究基本上都是沿著這條主線展開的。

然而，納什的發(fā)現(xiàn)卻遭到馮·諾依曼的斷然否定，在此之前他還受到愛因斯坦的冷遇。

但是，骨子里挑戰(zhàn)權(quán)威的本性，使納什堅持了自己的觀點，終成一代大師。他對非合作博弈的最重要貢獻是闡明了包含任意人數(shù)局中人和任意偏好的一種通用解概念，也就是不限于兩人零和博弈，該解概念就是納什均衡。

在經(jīng)濟生活中，納什均衡其實就在人們身邊。每逢周末和節(jié)假日是超市人最多的時候，假如你懷抱著一堆東西站在收銀臺旁邊一隊長長的隊伍的最后邊，你是準備抱著這堆東西找個最短的隊來排，還是就近找個隊排？

在這里，假設(shè)超市里的每個人都有一個理性的預(yù)期——盡快地離開超市。因此所有的隊都會一樣長，你用不著費勁地去找最短的那個隊伍。

購物者只要看到旁邊的隊人少，就會很快排進較短的隊中，如此一來較短的隊也變長了，一直持續(xù)到兩個隊人數(shù)差不多。相鄰的兩個隊是這樣，同理，所有的隊都會變得人數(shù)差不多。所以，還是就近選擇最好。

由此可見，均衡是指一種均勢的狀態(tài)，是各方參與者在理性預(yù)期的指導(dǎo)下綜合博弈的結(jié)果。假如我們理解了其中的奧妙，生活就不會平添許多無謂的煩惱。