3．幾何概型和貝特朗悖論【3】

拋硬幣、擲骰子之類(lèi)游戲中涉及的概率是離散的，拋擲結(jié)果的數(shù)目有限（2或6）。或者用更數(shù)學(xué)一點(diǎn)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，此類(lèi)隨機(jī)事件的結(jié)果所構(gòu)成的“樣本空間”是離散的、有限的。如果硬幣或骰子是對(duì)稱(chēng)的，每個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率基本相等。這一類(lèi)隨機(jī)事件被稱(chēng)為古典概型。數(shù)學(xué)家們將古典概型推廣到某些幾何問(wèn)題中，使得隨機(jī)變量的結(jié)果變成了連續(xù)的，數(shù)目成為無(wú)限多，這種隨機(jī)事件被稱(chēng)之為“幾何概型”。古典概型向幾何概型的推廣，類(lèi)似于從有限多個(gè)整數(shù)向“實(shí)數(shù)域”的推廣。了解幾何概型很重要，因?yàn)榕c之相關(guān)的“測(cè)度”概念（長(zhǎng)度、面積等），是現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。

布豐投針問(wèn)題，是第一個(gè)被研究的幾何概型。

18世紀(jì)的法國(guó)，有一位著名的博物學(xué)家喬治·布豐伯爵（George Buffon,1707—1788）。他研究不同地區(qū)相似環(huán)境中的各種生物族群，也研究過(guò)人和猿的相似之處，以及兩者來(lái)自同一個(gè)祖先的可能性。他的作品對(duì)現(xiàn)代生態(tài)學(xué)影響深遠(yuǎn)，他的思想對(duì)達(dá)爾文創(chuàng)建進(jìn)化論影響很大。

難得的是，布豐同時(shí)也是一位數(shù)學(xué)家，是最早將微積分引入概率論的人之一。他提出的布豐投針問(wèn)題（圖1-3-1）是這樣的：

用一根長(zhǎng)度為L的針，隨機(jī)地投向相隔為D的平行線（L＜D），針壓到線的概率是多少？

……布豐投針問(wèn)題中，求的也是概率，但這時(shí)投擲的不是硬幣或骰子，而是一根針。硬幣投下去只有“正反”兩種基本結(jié)果，每種概率為1/2。骰子有6種結(jié)果，每一個(gè)面出現(xiàn)概率為1/6。我們現(xiàn)在分析一下布豐投針的結(jié)果。按照?qǐng)D1-3-1（a）所示的數(shù)學(xué)模型，針投下之后的狀態(tài)可以用兩個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述，針的中點(diǎn)的位置x，以及針與水平方向所成的角度q。x在-D/2到D/2之間變化，q在0到2π間變化。因?yàn)?span id="8nygvcr" class="italic">x和q的變化是連續(xù)的，所以其結(jié)果有無(wú)限多。古典概型中的求和在幾何概型中要用積分代替，使用積分的方法不難求出布豐的針壓線的概率：

因?yàn)椴钾S投針中的概率是對(duì)于x和q的二重積分，所以概率的計(jì)算可以簡(jiǎn)化為如圖1-3-1（b）所示的幾何圖形的面積計(jì)算，即所求概率等于圖1-3-1（b）中陰影面積與矩形面積之比。

布豐投針的結(jié)果提供了一個(gè)用概率實(shí)驗(yàn)來(lái)確定圓周率π的方法（蒙特·卡羅法）。從公式（1-3-1）可得：

當(dāng)投擲針的次數(shù)（樣本數(shù)）足夠大，得到的概率P足夠精確時(shí)，便可以用公式（1-3-2）來(lái)計(jì)算π。的確有些出乎意料，真沒(méi)想到用一根針丟來(lái)丟去也能丟出一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)來(lái)！

從上面的介紹可知，幾何概型將古典概型中的離散隨機(jī)變量擴(kuò)展到了連續(xù)隨機(jī)變量，求和變成積分，變量的樣本空間從離散和有限擴(kuò)展到無(wú)窮。幾何概型和古典概型都使用“等概率假設(shè)”。然而，只要涉及無(wú)窮大，便經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生一些怪異的結(jié)果。布豐投針問(wèn)題中條件清楚，沒(méi)有引起什么悖論。著名的幾何概型悖論是法國(guó)學(xué)者貝特朗（Joseph Bertrand,1822—1900）于1889年提出的貝特朗悖論。

貝特朗提出的問(wèn)題是：在圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)度超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)L的概率。奇怪之處在于，這個(gè)問(wèn)題可以有3種不同的解答，結(jié)果完全不同但聽(tīng)起來(lái)卻似乎都有道理。

求解貝特朗問(wèn)題中的概率，不需要真用微積分，只需要利用幾何圖形的對(duì)稱(chēng)性便能得到答案。與計(jì)算布豐投針問(wèn)題中概率的情況類(lèi)似（圖1-3-1（b）），一般來(lái)說(shuō)，可以將幾何概率的計(jì)算變換成幾何圖形的計(jì)算，即計(jì)算弧長(zhǎng)或線段的長(zhǎng)度，或者是面積或體積。從下面計(jì)算貝特朗問(wèn)題的3種不同方法，讀者可以更為深入地理解這點(diǎn)。

方法1：首先假設(shè)弦的一端固定在圓上某一點(diǎn)（比如A），如圖1-3-2（a），弦的另一端在圓周上移動(dòng)。移動(dòng)端點(diǎn)落在弧BC上的弦，長(zhǎng)度均超過(guò)圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)L，而其余弦的長(zhǎng)度都小于L。由于對(duì)稱(chēng)性，BC弧長(zhǎng)占整個(gè)圓周的1/3，所以可得弦長(zhǎng)大于L的概率為BC弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比，即P=1/3。

方法2：首先選擇圓的一個(gè)直徑，比如圖1-3-2（b）中的AD。過(guò)該直徑上的任何點(diǎn)做直徑的垂線，與圓相交形成弦。從圖1-3-2（b）中可以看出：當(dāng)直徑上動(dòng)點(diǎn)的位置在B和C之間時(shí)，所得弦的弦長(zhǎng)大于正三角形的邊長(zhǎng)L，動(dòng)點(diǎn)位置在BC之外的弦的弦長(zhǎng)小于L。因?yàn)榫€段BC的長(zhǎng)度是整個(gè)直徑的一半，所以由此可得弦長(zhǎng)大于L的概率為P=1/2。

方法3：如圖1-3-2（c）所示，作一個(gè)半徑只有所給圓的半徑的1/2的同心圓（稱(chēng)為小圓），稱(chēng)所給的圓為“大圓”。考慮大圓上任意弦的中點(diǎn)的位置可知：當(dāng)中點(diǎn)位于小圓內(nèi)部時(shí)，弦長(zhǎng)符合大于L的要求。因?yàn)樾A的面積是大圓面積的1/4。所以，概率也為P=1/4。

以上3種方法聽(tīng)起來(lái)都很有道理，但得出3種不同的結(jié)果，這是怎么回事呢？

按照傳統(tǒng)解釋?zhuān)P(guān)鍵在于“隨機(jī)”選擇弦的方法。方法不同，“等概率假設(shè)”的應(yīng)用區(qū)間也不一樣。方法1假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布（即等概率）；方法2假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布；方法3則假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布。圖1-3-3給出了3種解法中弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)的分布情形。圖1-3-4則是用3種方法直接畫(huà)出弦，以比較弦在圓內(nèi)的分布情形。也可以說(shuō)，貝特朗悖論不是悖論，只是問(wèn)題中沒(méi)有明確規(guī)定隨機(jī)選擇的方法，方法一旦定好了，問(wèn)題自然也就有了確定的答案。

概率論中的悖論很多，基于經(jīng)驗(yàn)的直覺(jué)判斷很多時(shí)候往往并不靠譜。下一節(jié)將要介紹的本福特定律，也是一條初看起來(lái)有些奇怪、不合直覺(jué)的定律，不過(guò)這條定律用處很大，有時(shí)候甚至還能幫助偵破“財(cái)務(wù)造假”。