4．別相信直覺——概率論幫助偵破“財(cái)務(wù)造假”

· 本福特定律

法蘭克·本福特（Frank Benford,1883—1948）本來是一個(gè)美國電氣工程師，也是一名物理學(xué)家，在美國通用電氣公司實(shí)驗(yàn)室里工作多年直到退休。這位工程師在50多歲的時(shí)候，迷上了一個(gè)與概率有關(guān)的課題。課題得到的結(jié)論便是現(xiàn)在我們所說的“本福特定律”。事實(shí)上，本福特定律的最早發(fā)現(xiàn)者并不是本福特，而是美國天文學(xué)家西蒙·紐康（Simon Newcomb,1835—1909）。紐康于1877年成為美國航海天文歷編制局局長，并組織同行們重新計(jì)算主要的天文常數(shù)。繁雜的天文計(jì)算經(jīng)常需要用到對(duì)數(shù)表，但那個(gè)時(shí)代沒有互聯(lián)網(wǎng)，沒有阿里云，對(duì)數(shù)表只能被印成書本存于圖書館中。細(xì)心的紐康發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇怪的現(xiàn)象：對(duì)數(shù)表中包含以1開頭的數(shù)的那幾頁比其他頁破爛得多，似乎表明計(jì)算所用的數(shù)值中，首位數(shù)是1的概率更高。因此他在1881年發(fā)表了一篇文章，提到并分析了這個(gè)現(xiàn)象【4】，但沒有引起人們的注意。直到57年之后的1938年，本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象。說來令人奇怪，科學(xué)定律的發(fā)現(xiàn)有時(shí)候來自于一些小得不能再小的現(xiàn)象，本福特的發(fā)現(xiàn)便是如此：以1開頭的數(shù)字比較多，這也算是一個(gè)定律嗎？本福特發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象不僅僅存在于對(duì)數(shù)表中。也存在于其他多種數(shù)據(jù)中。于是，本福特檢查了大量數(shù)據(jù)而證實(shí)了這點(diǎn)【5】。

本福特定律是一個(gè)乍聽起來有點(diǎn)奇怪并違反直覺的現(xiàn)象，我們舉一個(gè)例子說明它。

設(shè)想某銀行有1000多個(gè)存儲(chǔ)賬戶，金額不等。比如說，小張有存款23587元、老李1345元、小何35670元、劉紅9000元、王軍450元……奇怪的本福特定律不感興趣存款金額本身，而感興趣這些數(shù)值的開頭第一位有效數(shù)字是什么，有效數(shù)字指的是這個(gè)數(shù)的第一個(gè)非零數(shù)字。例如8.1、81、0.81的第一位有效數(shù)字都是8。比如說，剛才幾個(gè)人存款數(shù)的第一位數(shù)字分別是2、1、3、9、4。所以，本福特定律也叫“首位數(shù)字定律”。

一個(gè)數(shù)的第一位（非零）數(shù)字可能是1到9之間的任何一個(gè)。現(xiàn)在，如果我問，在剛才那個(gè)銀行的上千個(gè)存款數(shù)據(jù)中，第一位數(shù)字是1的概率是多大？

不需要經(jīng)過很多思考，大部分人都會(huì)很快地回答：應(yīng)該是1/9吧。因?yàn)閺?到9,9個(gè)數(shù)字排在第一位的概率是相等的，每一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率都是1/9，在11%左右。

這個(gè)聽起來十分正常的思維方法，卻與許多自然得到的數(shù)據(jù)所遵循的規(guī)律不一樣。人們發(fā)現(xiàn)，很多情況下，第一個(gè)數(shù)字是1的概率要比靠直覺預(yù)料的11%大得多。數(shù)字越大，出現(xiàn)在第一位的概率就越小，數(shù)字9出現(xiàn)于第一位的概率只有4.6%左右。各個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第一位的概率遵循如圖1-4-1（a）所示的概率分布。

本福特和紐康都從數(shù)據(jù)中總結(jié)出首位數(shù)字為n的概率公式：P（n）=logd（1+1/n），其中d取決于數(shù)據(jù)使用的進(jìn)位制，對(duì)十進(jìn)制數(shù)據(jù)而言，d=10。因此，根據(jù)本福特定律，首位數(shù)是1的概率最大，log102=0.301，十成中占了三成；首位數(shù)是2的概率 log10（3/2）=0.1761；然后逐次減小，首位數(shù)是9的概率最小，只有4.6%。圖1-4-1（b）所示的是符合本福特首位數(shù)法則的幾個(gè)例子：人口統(tǒng)計(jì)、基本物理常數(shù)、斐波那契數(shù)、階乘。

本福特收集并研究了20229個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分成20組，包括如河流面積、人口統(tǒng)計(jì)、分子及原子質(zhì)量、物理常數(shù)等多種來源的資料。數(shù)據(jù)來源雖然千差萬別，卻基本上符合本福特的對(duì)數(shù)法則，見表1-4-1所示的數(shù)據(jù)表。表中的最后一行數(shù)值，是根據(jù)本福特的對(duì)數(shù)規(guī)則計(jì)算得到的每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)于首位的概率，讀者可以將它與真實(shí)數(shù)據(jù)相比較。

本福特定律適用范圍異常廣泛，自然界和日常生活中獲得的大多數(shù)數(shù)據(jù)都符合這個(gè)定律。盡管如此，但畢竟還是有其應(yīng)用范圍，主要是受限于如下幾個(gè)因素：①這些數(shù)據(jù)必須跨度足夠大，樣本數(shù)量足夠多，數(shù)值大小相差幾個(gè)數(shù)量級(jí)；②人為規(guī)則的數(shù)據(jù)不滿足本福特定律，比如說按照某種人為規(guī)則設(shè)計(jì)選定的電話號(hào)碼、身份證號(hào)碼、發(fā)票編號(hào)，為造假而人工修改過的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)等，都不符合本福特定律。彩票上的隨機(jī)數(shù)據(jù)也不符合本福特定律。

· 如何理解本福特定律

盡管本福特和紐康都總結(jié)出了首位數(shù)字的對(duì)數(shù)規(guī)律，但并未給出證明。直到1995年美國學(xué)者泰德·黑爾（Ted Hill）才從理論上對(duì)該定律做出解釋，進(jìn)行了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明【6】。雖然本福特定律在許多方面都得到了驗(yàn)證和應(yīng)用，但對(duì)于這種數(shù)字奇異現(xiàn)象人們依舊是迷惑不解。到底應(yīng)該如何直觀理解本福特定律？為什么大多數(shù)數(shù)據(jù)的首位數(shù)字不是均勻分布，而是對(duì)數(shù)分布的？

有人探求數(shù)“數(shù)”的方法，來直觀地理解本福特定律。他們的意思是說，當(dāng)你計(jì)算數(shù)字時(shí)，順序總是從1開始，1,2,3, …,9，如果到9就終結(jié)的話，所有數(shù)起首的機(jī)會(huì)都相同，但9之后的兩位數(shù)10至19，以1起首的數(shù)則大大多于其他數(shù)字。之后，在9起首的數(shù)出現(xiàn)之前，必然會(huì)經(jīng)過一堆以2,3,4, …,8起首的數(shù)。如果這樣的數(shù)法有個(gè)終結(jié)點(diǎn)，然后又重新從1開始的話，以1起首的數(shù)的出現(xiàn)率一般都應(yīng)該比較大。

可以用這種理解方法來解釋街道號(hào)碼（地址）一類的數(shù)據(jù)。一般來說，每條街道的號(hào)碼都是從1算起，街道長度有限，號(hào)碼排到某一個(gè)數(shù)就終止了。另一條街又有它自己的從1開始的號(hào)碼排列，這樣的話，看起來，1開頭的號(hào)碼是要多一些的。但這種解釋也太不“數(shù)學(xué)”了！況且，這種理解無法說明另一類數(shù)據(jù)為什么也符合本福特定律。比如說，“物理常數(shù)”的集合、出生率、死亡率等，就不是從1開始計(jì)算到有限長度就截止的那種數(shù)據(jù)了。

另一種解釋是認(rèn)為本福特定律的根源是由于數(shù)據(jù)的指數(shù)增長。指數(shù)增長的序列，數(shù)值小的時(shí)候增長較慢，由最初的數(shù)字1增長到另一個(gè)數(shù)字2，需要更多時(shí)間，所以出現(xiàn)率就更高了。舉個(gè)例子來深入說明這個(gè)道理，考慮你有100美元存到銀行里，年利是10%。在25年中，你每年的存款金額將是（美元，只保留了整數(shù)部分）：

100、110、121、133、146、161、177、195、214、236、259、285、314、345、380、418、459、505、556、612、673、740、814、895、985

這是一個(gè)指數(shù)增長的序列。在這組數(shù)據(jù)的25個(gè)數(shù)中，首位數(shù)字為1的有8個(gè)（32%）;2的4個(gè)；3的3個(gè)；…9的只有1個(gè)（4%）。那是因?yàn)閺氖孜粸?增加到首位為2，經(jīng)過了更長的時(shí)間（8年）；從首位為2，只經(jīng)過4年就變成了首位為3；而首位為9的話，下一年就不是9了。所以，指數(shù)增長規(guī)律的數(shù)列的確符合本福特定律。

讀者也許會(huì)有疑問：你上面的數(shù)列選擇從100開始，1打頭的比較多，如果從別的數(shù)字開始，規(guī)律是否會(huì)改變呢？你可以試驗(yàn)一下，從別的數(shù)開始得到的數(shù)列，也一樣符合本福特法則。比如說，將以上銀行金額乘以2之后得到的序列：

200、220、242、266、292、322、354、390、428、472、518、570、628、690、760、836、918、1010、1112、1224、1346、1480、1628、1790、1970

以1開頭的有8個(gè)，9開頭的只有1個(gè)，仍然是1起頭的數(shù)目最多。或者，你也可以將美元換算成人民幣（比如說：乘以6.7），得到的數(shù)據(jù)仍然會(huì)遵循本福特定律，這些事實(shí)說明本福特定律具有“尺度不變性”。

· 幫助偵破“數(shù)據(jù)造假”

不管你如何詮釋本福特定律，它是一個(gè)客觀存在，并且十分有用！由于大多數(shù)財(cái)務(wù)方面的數(shù)據(jù)，都滿足本福特定律，因此它可以用作檢查財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)是否造假。

美國華盛頓州曾偵破過一個(gè)當(dāng)時(shí)最大的投資詐騙案，金額高達(dá)1億美元。詐騙主謀凱文·勞倫斯及其同伙，以創(chuàng)辦高技術(shù)含量的連鎖健身俱樂部為名，從五千多個(gè)投資者手中籌集了大量資金。然后，他們挪用公款來滿足自身享樂，為他們自己買豪宅、豪華汽車、珠寶等。為了掩飾他們的不法行為，他們將資金在海外公司和銀行間進(jìn)行頻繁轉(zhuǎn)賬，并且人為做假賬，給投資者造成生意興隆的錯(cuò)覺。所幸當(dāng)時(shí)有一位會(huì)計(jì)師感覺不對(duì)頭，他將七萬多個(gè)與支票和匯款有關(guān)的數(shù)據(jù)收集起來，將這些數(shù)據(jù)首位數(shù)字發(fā)生的概率與本福特定律相比較，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)通過不了本福特定律的檢驗(yàn)。最后經(jīng)過了3年的司法調(diào)查，終于拆穿了這個(gè)投資騙局。2002年，勞倫斯被判坐牢20年。

2001年，美國最大的能源交易商安然公司宣布破產(chǎn)，并傳出公司高層管理人員涉嫌做假賬的傳聞。據(jù)說安然公司高層改動(dòng)過財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，因而他們所公布的2001—2002年每股盈利數(shù)據(jù)不符合本福特定律（圖1-4-2）【7】。此外，本福特定律也被用于股票市場(chǎng)分析、檢驗(yàn)選舉投票欺詐行為等。

美國稅務(wù)局也利用本福特定律來檢驗(yàn)報(bào)稅表，揪出逃稅、漏稅行為。據(jù)說有人曾經(jīng)用此定律來檢驗(yàn)美國前總統(tǒng)克林頓在任10年內(nèi)的報(bào)稅數(shù)據(jù)，不過沒有發(fā)現(xiàn)破綻。

概率論由研究賭博問題而誕生，又在不斷地提出和解決各種有趣的賭博問題中發(fā)展起來。下一節(jié)中將介紹大數(shù)定律以及更多與賭博有關(guān)的概率問題。