2．似是而非的答案：概率論悖論

如今，“概率”一詞在我們的生活中隨處可見(jiàn)，被人們使用得越來(lái)越廣泛和頻繁。因?yàn)檫@是一個(gè)越來(lái)越多變的世界：一切都在變化，一切都難以確定。我們的世界可以說(shuō)是由變量構(gòu)成的，其中包括很多決定性變量。比如新聞?wù)f：“北京時(shí)間2016年11月3日20時(shí)43分，長(zhǎng)征五號(hào)在海南文昌成功發(fā)射”，這里的時(shí)間、地點(diǎn)都是確定的決定性變量。然而，我們的生活中也有許多難以確定的隨機(jī)變量，比如明天霧霾的程度，或某公司的股票值，等等，都是不確定的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量不是用固定的數(shù)值表達(dá)，而是用某個(gè)數(shù)值出現(xiàn)的概率來(lái)描述。正因?yàn)樘幪幎加须S機(jī)變量，所以處處都聽(tīng)見(jiàn)“概率”一詞。你打開(kāi)電視聽(tīng)天氣預(yù)報(bào)，看看今天會(huì)不會(huì)下雨，氣象預(yù)報(bào)員告訴你說(shuō)：今天早上8點(diǎn)鐘的“降水概率”是90%；你到手機(jī)上查詢股市中的某種股票，你得到的信息可能是這種股票3個(gè)月之后翻倍的概率是67%；你滿懷期望地買了50張彩票，朋友卻告訴你，傻瓜才去白花這50塊錢，因?yàn)槟阒歇?jiǎng)的概率只有一億分之一；你手臂上長(zhǎng)了一個(gè)“肉瘤”，醫(yī)生初步檢查后安慰你，這塊東西是惡性瘤的概率只有0.03%，萬(wàn)分之三而已……生活中“概率”這個(gè)詞太常見(jiàn)了，以至于人們不細(xì)想也大概知道是個(gè)什么意思，比如說(shuō)，最后一個(gè)例子中，0.03%的惡性概率的意思不就是說(shuō)，“10000個(gè)這樣的肉瘤中，只有3個(gè)才會(huì)是惡性的”嗎？因此，在經(jīng)典意義上，概率就可以被粗糙地定義為事件發(fā)生的頻率，即發(fā)生次數(shù)與總次數(shù)的比值。更準(zhǔn)確地說(shuō)，是總次數(shù)趨于無(wú)限時(shí)，這個(gè)比值趨近的極限。

雖然“概率”的定義不難懂，好像人人都會(huì)用，但你可能不知道，概率計(jì)算的結(jié)果經(jīng)常違背我們的直覺(jué)，概率論中有許多難以解釋、似是而非的悖論。不能完全相信直覺(jué)！我們的大腦會(huì)產(chǎn)生誤區(qū)和盲點(diǎn)，就像開(kāi)汽車的駕駛員視覺(jué)中有“盲點(diǎn)”，需要幾面鏡子來(lái)克服一樣，我們的思維過(guò)程中也有盲點(diǎn)，需要通過(guò)計(jì)算和思考來(lái)澄清。概率論是一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)與直覺(jué)相悖的奇怪結(jié)論的領(lǐng)域，連數(shù)學(xué)家也是稍有不慎便會(huì)錯(cuò)得一塌糊涂。現(xiàn)在，我們就首先舉例說(shuō)明經(jīng)典概率中的一個(gè)悖論，叫作“基本比率謬誤（base rate fallacy）”。

我們從一個(gè)生活中的例子開(kāi)始。王宏去醫(yī)院做化驗(yàn)，檢查他患上某種疾病的可能性。其結(jié)果居然為陽(yáng)性，把他嚇了一大跳，趕忙在網(wǎng)上查詢。網(wǎng)上的資料說(shuō)，檢查總是有誤差的，這種檢查有“1%的假陽(yáng)性率和1%的假陰性率”。這句話的意思是說(shuō)，在得病的人中做檢查，有1%的人是假陰性，99%的人是真陽(yáng)性。而在未得病的人中做檢查，有1%的人是假陽(yáng)性，99%的人是真陰性。于是，王宏根據(jù)這種解釋，估計(jì)他自己得了這種疾病的可能性（即概率）為99%。王宏想，既然只有1%的假陽(yáng)性率，99%都是真陽(yáng)性，那我在人群中已被感染這種病的概率便應(yīng)該是99%。

可是，醫(yī)生卻告訴他，他在普通人群中被感染的概率只有0.09 （9%）左右。這是怎么回事呢？王宏的思路誤區(qū)在哪里？

醫(yī)生說(shuō)：“99%？哪有那么大的感染概率啊。99%是測(cè)試的準(zhǔn)確性，不是你得病的概率。你忘了一件事：被感染這種疾病的正常比例是不大的，1000個(gè)人中只有一個(gè)人患病。”

原來(lái)這位醫(yī)生在行醫(yī)之余，也喜愛(ài)研究數(shù)學(xué)，經(jīng)常將概率方法用于醫(yī)學(xué)上。他的計(jì)算方法基本上是這樣的：因?yàn)闇y(cè)試的誤報(bào)率是1%,1000個(gè)人將有10個(gè)被報(bào)為“假陽(yáng)性”，而根據(jù)這種病在人口中的比例（1/1000=0.1%），真陽(yáng)性只有1個(gè)，所以，大約11個(gè)測(cè)試為陽(yáng)性的人中只有一個(gè)是真陽(yáng)性（有病）的，因此，王宏被感染的概率大約是1/11，即0.09（9%）。

王宏思來(lái)想去仍感到糊涂，但這件事激發(fā)了王宏去重溫他之前學(xué)過(guò)的概率論。經(jīng)過(guò)反復(fù)閱讀，再思考琢磨醫(yī)生的算法之后，他明白了自己犯了那種叫作“基本比率謬誤”的錯(cuò)誤，即忘記使用“這種病在人口中的基本比例（1/1000）”這個(gè)事實(shí)。

談到基本比率謬誤，我們最好是先從概率論中著名的貝葉斯定理【2】說(shuō)起。托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes,1701—1761）是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家，曾經(jīng)是個(gè)牧師。貝葉斯定理是他對(duì)概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)做出的最大貢獻(xiàn)，是當(dāng)今人工智能中常用的機(jī)器學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)框架，它的思想之深刻遠(yuǎn)超一般人所能認(rèn)知，也許貝葉斯自己生前對(duì)此也認(rèn)識(shí)不足。因?yàn)槿绱酥匾某晒皡s并未發(fā)表，是在他死后的1763年才由朋友發(fā)表的。

粗略地說(shuō)，貝葉斯定理涉及兩個(gè)隨機(jī)變量A和B的相互影響，如果用一句話來(lái)概括，這個(gè)定理說(shuō)的是：利用B帶來(lái)的新信息，應(yīng)如何修改B不存在時(shí)A的“先驗(yàn)概率”P（A），從而得到B存在時(shí)的“條件概率”P（A|B），或稱后驗(yàn)概率，如果寫成公式：

這里先驗(yàn)、后驗(yàn)的定義是一種約定俗成，是相對(duì)的。比如說(shuō)也可以將A、B反過(guò)來(lái)敘述，即如何從B的先驗(yàn)概率P（B），得到B的“條件概率”P（B|A），見(jiàn)圖中虛線所指。

不要害怕公式，通過(guò)例子，我們就能慢慢理解它。例如，對(duì)前面王宏看病的例子，隨機(jī)變量A表示“王宏得某種病”；隨機(jī)變量B表示“王宏的檢查結(jié)果”。先驗(yàn)概率P（A）指的是王宏在沒(méi)有檢查結(jié)果時(shí)得這種病的概率（即這種病在公眾中的基本概率0.1%）；而條件概率（或后驗(yàn)概率）P（A|B）指的是王宏“檢查結(jié)果為陽(yáng)性”的條件下得這種病的概率（9%）。如何從基本概率修正到后驗(yàn)概率的？我們待會(huì)兒再解釋。

貝葉斯定理是18世紀(jì)的產(chǎn)物，200來(lái)年用得好好的，卻不想在20世紀(jì)70年代遇到了挑戰(zhàn)，該挑戰(zhàn)來(lái)自于丹尼爾·卡尼曼（Daniel Kahneman,1934—）和特維爾斯基（Tversky）提出的“基本比率謬誤”。前者是以色列裔美國(guó)心理學(xué)家，2002年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主。基本比率謬誤并不是否定貝葉斯定理，而是探討一個(gè)使人困惑的問(wèn)題：為什么人的直覺(jué)經(jīng)常與貝葉斯公式的計(jì)算結(jié)果相違背？如同剛才的例子所示，人們?cè)谑褂弥庇X(jué)的時(shí)候經(jīng)常會(huì)忽略基礎(chǔ)概率。卡尼曼等人在他們的文章《思考，快與慢》中舉了一個(gè)出租車的例子，來(lái)啟發(fā)人們思考這個(gè)影響人們“決策”的原因。我們不想在這里深談基本比率謬誤對(duì)“決策理論”的意義，只是借用此例來(lái)加深對(duì)貝葉斯公式的理解。

假如某城市有兩種顏色的出租車：藍(lán)色和綠色（市場(chǎng)占有比例為15∶85）。一輛出租車夜間肇事后逃逸，但還好當(dāng)時(shí)有一位目擊證人，這位目擊者認(rèn)定肇事的出租車是藍(lán)色的。但是，他“目擊的可信度”如何呢？公安人員在相同環(huán)境下對(duì)該目擊者進(jìn)行“藍(lán)綠”測(cè)試得到：80%的情況下識(shí)別正確，20%的情況不正確。也許有讀者立刻就得出了結(jié)論：肇事車是藍(lán)色的概率應(yīng)該是80%吧。如果你做此回答，便是犯了與上面例子中王宏同樣的錯(cuò)誤，忽略了先驗(yàn)概率，沒(méi)有考慮在這個(gè)城市中“藍(lán)綠”車的基本比例。

那么，肇事車是藍(lán)色的（條件）概率到底應(yīng)該是多少呢？貝葉斯公式能給出正確的答案。首先我們必須考慮藍(lán)綠出租車的基本比例（15∶85）。也就是說(shuō)，在沒(méi)有目擊證人的情況下，肇事車是藍(lán)色的概率只有15%，這是“A=藍(lán)車肇事”的先驗(yàn)概率P（A）= 15%。現(xiàn)在，有了一位目擊者，便改變了事件A出現(xiàn)的概率。目擊者看到車是“藍(lán)”色的。不過(guò)，他的目擊能力也要打折扣，只有80%的準(zhǔn)確率，即也是一個(gè)隨機(jī)事件（記為B）。我們的問(wèn)題是求出在有該目擊證人“看到藍(lán)車”的條件下肇事車“真正是藍(lán)色”的概率，即條件概率P（A|B）。后者應(yīng)該大于先驗(yàn)概率15%，因?yàn)槟繐粽呖吹健八{(lán)車”。如何修正先驗(yàn)概率？需要計(jì)算P（B|A）和P（B）。

因?yàn)?span id="wisgvci" class="italic">A=藍(lán)車肇事、B=目擊藍(lán)色，所以P（B|A）是在“藍(lán)車肇事”的條件下“目擊藍(lán)色”的概率，即P（B|A）=80%。最后還要算先驗(yàn)概率P（B），它的計(jì)算麻煩一點(diǎn)。P（B）指的是目擊證人看到一輛車為藍(lán)色的概率，等于兩種情況的概率相加：一種是車為藍(lán)，辨認(rèn)也正確；另一種是車為綠，錯(cuò)看成藍(lán)。所以：

P（B）=15%×80%+85%×20%=29%

從貝葉斯公式：

可以算出在有目擊證人情況下肇事車輛是藍(lán)色的概率為41%，同時(shí)也可求得肇事車輛是綠車的概率為59%。被修正后的“肇事車輛為藍(lán)色”的條件概率41%大于先驗(yàn)概率15%很多，但是仍然小于肇事車為綠色的概率0.59。

回到對(duì)王宏測(cè)試某種病的例子，我們也不難得出正確的答案：

A：普通人群中的王宏感染某種病

B：陽(yáng)性結(jié)果

P（A）：普通人群中感染某種病的概率

P（B|A）：陽(yáng)性結(jié)果的正確率

P（A|B）：有了陽(yáng)性結(jié)果的條件下，王宏感染某種病的概率

P（B）：結(jié)果為陽(yáng)性的總可能性=檢查陽(yáng)性中的真陽(yáng)性+檢查陰性中的真陽(yáng)性

通過(guò)以上介紹的概率論中的基本比率謬誤，我們初步了解了概率論中十分重要的貝葉斯定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。