1．帕斯卡和法國數學：概率論的誕生

17世紀時，從意大利開始的文藝復興運動已經席卷歐洲，也波及法國，給這里帶來了科學與藝術的蓬勃發展和革命。法國數學界人才濟濟、群星璀璨，人們稱其為數學之邦，它也不愧是概率論之故鄉。

談及17世紀的法國數學，不可不提一位舉足輕重的人物：馬蘭·梅森（Marin Mersenne,1588—1648），見圖1-1-1。梅森也是一位數學家，但他的貢獻主要不是在學術方面，這方面能列得出來的只有一個“梅森素數”。梅森出身于法國的農民家庭，不是貴族卻成為許多愛好科學的貴族間的聯系紐帶。梅森少年時畢業于耶穌會學校，是笛卡兒的同校學長，于1611年進入修道院，成為法國天主教的一名教士。1626年，他把自己在巴黎的修道室，辦成了科學家們的聚會場所和交流信息中心，稱為“梅森學院”。這個聯系和組織人才的“科學沙龍”，實際上是后來開明君王路易十四所創建并給予豐厚贊助的“巴黎皇家科學院”的前身（圖1-1-2）。因此，梅森為法國科學（特別是數學）的發展做出了巨大的貢獻。

梅森見多識廣、才華不凡，性格隨和，平易近人，在他的身邊很快聚集起一批優秀的學者，他們定期到修道室聚會。此外，當時的梅森科學沙龍還經常使用通信方式互相聯系，或單獨與梅森聯系，報告交流研究成果和新思想，因此人們稱它為“移動的科學刊物”。梅森去世后的遺產中留下了與78位學者之間的珍貴信函，其中包括笛卡兒、伽利略、費馬、托里拆利、惠更斯等歐洲各國多個領域的科學家。例如，笛卡兒有20多年隱居荷蘭，在那里完成了他在哲學、數學、物理學、生理學等領域的許多主要著作，此期間只有梅森定期與他保持通信聯系。

我們熟悉的笛卡兒，全名為勒內·笛卡兒（René Descartes, 1596—1650），就是那位以說出“我思故我在”而聞名于世的現代哲學之父及解析幾何的奠基人，于1596年出生在法國北部的都蘭城。笛卡兒的父親是當地的一個議員，母親在他1歲多時因肺結核去世，并將這個當時被列為不治之癥的疾病傳染給了他，因此，這個貴族家庭對體弱多病的笛卡兒寵愛有加。

另一位法國數學家，布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal,1623—1662）誕生于法國中部一個叫克萊蒙費朗的小城市中的小貴族家庭。帕斯卡比笛卡兒小了27歲，但兩位數學家的童年卻有不少共同之處。都是母親早逝、父親富有、身體羸弱、智力過人。其實不僅僅是童年生活，兩位學者的學術生涯也有不少共同點，都是興趣廣泛、博學多思，他們除了在科學上的許多領域做出杰出貢獻之外，也都在人文和哲學方面取得了非凡的成就。并且，在成名之后，笛卡兒和帕斯卡兩人都不約而同地選擇了半隱居式的生活。帕斯卡于39歲時在巴黎英年早逝，笛卡兒活得也不長，不過這位“現代哲學之父”之死頗具傳奇性。笛卡兒原本是企圖追求“安寧和平靜”的隱居生活，平生的習慣是喜歡“睡懶覺”，躲在暖和的被窩里思考數學和哲學問題。據說他的解析幾何坐標概念的靈感就是在做了“三個奇怪的夢”之后得來的。可是，笛卡兒在晚年，被瑞典的克里斯汀女王看中，召見其給她講哲學晨課。女王喜歡早起，可憐的已經年過五旬的笛卡兒只好違背他多年的作息習慣，每天早上5點爬起來給女王上課，最后因為適應不了北歐嚴寒多雪的冬天，于1650年得肺炎去世了！

生活在法國南部的著名律師和業余數學家皮埃爾·費馬（Pierre de Fermat,1601—1665）也是通過書信的方式與梅森及其他數學同行保持聯系，他的不少數學成果都是在這些書信中誕生的。

還有荷蘭人克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens,1629—1695），他是著名的物理學家、天文學家和數學家。他曾經師從笛卡兒，后來又通過書信交流成為梅森學院重要成員。梅森去世后，巴黎皇家科學院成立，惠更斯為首任院長，在巴黎待了近20年。

· 神童帕斯卡

才華橫溢的帕斯卡參加梅森學院聚會時才14歲，而當時的笛卡兒卻已經過了不惑之年。兩人身世相仿，關系卻并不融洽，反倒像是有些嫉妒的陰影摻雜其中。

科學神童帕斯卡在他11歲那年，創作了一篇關于身體振動發出聲音的文章，使得懂數學的議員父親提高了警惕，他禁止兒子在15歲前繼續追求數學知識，以免他荒廢拉丁語和希臘文的學習。但有一天，12歲的帕斯卡用一塊木炭在地板上畫圖，發現了歐幾里得幾何的第32命題：三角形的內角和等于兩直角。從那時起，父親改變了想法，讓小帕斯卡繼續獨自琢磨幾何問題，后來還帶著他旁聽并參加梅森修道院每周一次的科學聚會。

帕斯卡在16歲時寫了一篇被稱作神秘六邊形的短篇論文《圓錐曲線專論》。文章中證明了一個圓錐曲線內接六邊形的三對對邊延長線的交點共線，這個結論現在被稱為“帕斯卡定理”，見圖1-1-3（a）。文章被寄給梅森神父后得到眾學者的極大贊賞，只有笛卡兒除外。笛卡兒不常親臨巴黎的聚會，但看了帕斯卡的手稿后，一開始拒絕相信這是出自一個16歲少年之手，認為是帕斯卡的父親所寫。后來，盡管梅森再三保證這是小帕斯卡的文章，笛卡兒仍然不屑一顧地聳聳肩膀，表明沒什么大不了的。但實際上，帕斯卡定理對射影幾何早期的發展起了很大的推動作用，向人們展示了射影幾何學深刻、優美、直觀的一面。

帕斯卡也喜歡研究物理問題，曾針對真空及大氣壓的性質進行實驗。17世紀40年代，伽利略的弟子托里拆利（Torricelli,1608—1647）發明了用水銀柱測量氣壓的方法，確定大氣壓強使得水銀柱大約上升76cm。實驗結果激發了當時的物理學家們思考和討論大氣壓力及空氣重量的問題。年輕的帕斯卡首先重復了托里拆利的實驗，繼而進一步猜測：如果將氣壓計放在一個高高的塔頂上，其中水銀柱上升的高度將比76cm低，因為空氣更為稀薄。而空氣再稀薄下去便是“真空”。帕斯卡計劃用實驗來證實他的這些想法。1647年，正好笛卡兒難得地來到巴黎并拜訪了這位小天才，據說這是兩人唯一的一次會晤。笛卡兒同意帕斯卡的部分觀點，卻對真空存在問題的實驗和研究不以為然。笛卡兒認為真空不存在，也不能用實驗來驗證，之后還向其他人嘲笑帕斯卡，說他“頭腦中的真空太多了”。不過，在那次會面中，年輕的帕斯卡也不服輸，更不畏懼笛卡兒的權威。他批駁了笛卡兒的某些哲學觀念，他認為：“心靈有其自己的思維方式，是理智所不能把握的。”

第二年，1648年9月19日，帕斯卡的姐夫在多姆山上按照帕斯卡的設計進行了氣壓計實驗，證明在山腳和山頂，氣壓計水銀柱的高度相差一個不小的數目：3.15英寸！（約為8cm）帕斯卡自己則在巴黎的一個52米高的塔頂上重復了類似的實驗，見圖1-1-3（b）。實驗成功地證實了帕斯卡關于水銀柱高度隨著海拔高度的增加而減少的猜測，震動了科學界。后人為紀念帕斯卡的貢獻，將氣壓的單位用“帕”（帕斯卡名字的另一個字）來命名。

之后幾年，帕斯卡又做了一系列物理實驗，研究了液體壓強的規律，不斷取得新發現，并有多項重大發明。帕斯卡總結了這些實驗，于1654年發表論文《論液體的平衡》，提出了著名的帕斯卡定律：密閉液體任一部分的壓強，將大小不變地向液體的各個方向傳遞。如圖1-1-4（a）所示，左邊是液面面積較小（面積為A1）的活塞，右邊液面的面積（A2）是左邊的10倍（A2=10A1）。如果在左邊的活塞上施加一個不太大的力F1，因為壓強P可以大小不變地通過液體從左邊傳遞到右邊（P1=P2），就將在右邊液面得到一個比F1大10倍的升力（F2=P2A2=10F1）。這個如今看來十分簡單的原理成為液壓起重機以及所有液壓機械的工作基礎。

說到重大發明，不可忽略帕斯卡設計的計算器，那是帕斯卡在未滿19歲時為了減輕他父親重復計算稅務收支的一項發明。雖然巨大、笨重、難以使用，且只能做加減法，卻可以列為最早的、首次確立計算機器概念的機械計算器之一，算是我們現在人手一件的電子計算器的老祖宗了（圖1-1-4（b））。

也許是因為身體不好的原因，長期與病魔的斗爭使得帕斯卡心力交瘁。也有人認為帕斯卡這顆非比尋常的敏感靈魂被當時病態的宗教所扭曲。總之，帕斯卡在生命的最后幾年里，不再進行科學和數學的研究，而是將時間貢獻給了神學和哲學，不過其間他也寫出了被法國大文豪伏爾泰稱為“法國第一部散文杰作”的《思想錄》。在這部處處閃現思想火花的文集中，帕斯卡以浪漫思維的方式、清明如水的文筆，探討若干宗教和哲學問題。與笛卡兒提出理性計算的邏輯不同，帕斯卡提出心靈的邏輯：“思想形成了人的偉大”。可惜這本書尚未完成，39歲的帕斯卡便溘然長逝，真正到天國尋找他的上帝去了。

帕斯卡對數學還有一個大的貢獻：與費馬一起開拓了概率論這個重要的數學分支，下面就談談概率論的誕生。

· 概率論的誕生

當時歐洲國家的貴族盛行賭博之風，賭博方式倒是特別簡單：擲骰子或者拋硬幣。不過，如此簡單的賭具中卻蘊藏著不一般的數學原理，因為這里涉及的游戲結果是與眾不同的一類變量。比如說拋硬幣，硬幣有正反兩面，拋出的硬幣落下后的結果不確定，可能是正面，也可能是反面。結果的正反是隨機的、難以預料的，卻按照一定的概率出現，因而被稱為“隨機變量”。現在，我們把研究隨機變量及其概率的數學理論稱為“概率論”。

話說當年的法國有一位叫德·梅雷的貴族，在擲骰子游戲之余，也思考一點相關的數學問題。他苦思不得其解時，便向以聰明著稱的帕斯卡請教。1654年，他向帕斯卡請教了一個親身經歷的“分賭注問題”。故事大概如此：梅雷和賭友各自出32枚金幣，共64枚金幣作為賭注。擲骰子為賭博方式，如果結果出現“6”，梅雷贏1分；如果結果出現“4”，對方贏1分；誰先得到10分，誰就贏得全部賭注。賭博進行了一段時間后，梅雷已得了8分，對方也得了7分。但這時，梅雷接到緊急命令，要立即陪國王接見外賓，于是只好中斷賭博。那么，問題就來了，這64枚金幣的賭注應該如何分配才合理呢？

這個問題實際上是在15、16世紀時就已經被提出過，稱之為“點數分配問題”，意思就是說，在一場賭博半途中斷的情況下，應該如何分配賭注？人們提出各種方案，但未曾得到大家都認為合理的答案。

就上面梅雷和賭友的例子來說。將賭注原數退回顯然不合理，沒有考慮賭博中斷時的輸贏情況，相當于白賭了一場。將全部賭注歸于當時的贏家也不公平，比如當時梅雷比對方多得一分，但他還差2分才能贏，而對方差3分，如果繼續賭下去的話，對方也有贏的可能性。

帕斯卡對這個問題十分感興趣。直觀而言，上面所述的兩種方案顯然不合理，賭博中斷時的梅雷應該多得一些，但到底應該多得多少呢？也有人建議以當時兩人比分的比例來計算：梅雷8分，對方7分，那么梅雷得全部賭注的8/15，對方得7/15。這種分法也有問題，比如說，如果甲乙雙方只賭了一局就中斷了，甲贏得1分，乙得0分。按照剛才的分法，甲拿走全部賭注，顯然又是極不合理的分法。

帕斯卡從直覺意識到，中斷賭博時賭注的分配比例，應該由當時的輸贏狀態與雙方約定的最終判據的距離有關。比如說，梅雷已經得了8分，距離10分的判據差2分；賭友得了7分，還差3分到10分。因此，帕斯卡認為需要研究從中斷賭博那個“點”開始，如果繼續賭博的各種可能性。為了盡快地解決這個問題，帕斯卡以通信的方式與住在法國南部的費馬討論【1】。費馬不愧是研究純數學的數論專家，很快列出了“梅雷問題”中賭博繼續下去的各種結果。

梅雷原來的問題是擲骰子賭“6點”或“4點”的問題，但可以簡化成拋硬幣的問題：甲乙兩人拋硬幣，甲賭“正”，乙賭“反”，贏家得1分，各下賭注10元，先到達10分者獲取所有賭注。如果賭博在“甲8分、乙7分”時中斷，問應該如何分配這20元賭注。圖1-1-5（a）顯示了費馬的分析過程：從賭博的中斷點出發，還需要拋4次硬幣來決定甲乙最后的輸贏。這4次隨機拋擲產生16種等概率的可能結果。因為“甲贏”需要結果中出現2次“正”，“乙贏”需要結果中出現3次“反”，所以在16種結果中，有11種是“甲贏”,5種是“乙贏”。換言之，如果賭博沒有中斷，而是從中斷點的狀態繼續到底的話，可以算出甲贏的概率是11/16，乙贏的概率是5/16。賭博的中斷使得雙方按照這種比例失去了最后贏得全部賭注的機會，因此，按此比例來分配賭注應該是合理的方法。所以，根據費馬的分析思路，甲方應該得20元×11/16=13.75元，乙方則得剩余的，或20元×5/16=6.25元。

帕斯卡十分贊賞費馬思路的清晰，費馬的計算也驗證了帕斯卡自己得到的結論，雖然他用的是與費馬完全不一樣的方法。帕斯卡在解決這個問題的過程中提出了離散隨機變量的“期望值”的概念。期望值是用概率加權后得到的平均值。如圖1-1-5（b）所示，帕斯卡計算出從甲方的觀點，“期望”能得到的賭注分配為13.75元，與費馬計算的結果一致。

“期望”是概率論中的重要概念，期望值是概率分布的重要特征之一，它常被用在與賭博相關的計算中。例如，美國賭場有一種輪盤賭。其輪盤上有38個數字，每一個數字被選中的概率都是1/38。顧客將賭注（比如1美元）押在其中一個數字上，如果押中了，顧客得到35倍的獎金（35美元），否則賭注就沒了，即損失1美元。那么，如何計算顧客“贏”的期望值呢？

根據期望值的定義“概率加權求平均”進行計算，圖1-1-6顯示了計算結果：顧客贏錢的期望值是一個負數，約等于-0.0526美元。也就是說，對賭徒而言，平均起來每賭1美元就會輸掉5美分，相當于賭場贏了5美分，所以賭場永遠不會虧！

從研究擲骰子開始，帕斯卡不僅僅引入了“期望”的概念，還發現了“帕斯卡三角形”（即中國古書中所記載的“楊輝三角形”）（圖1-1-7），雖然楊輝的發現早于帕斯卡好幾百年，但是帕斯卡將此三角形與概率、期望、二項式定理、組合公式等聯系在一起，與費馬一起為現代概率理論奠定了基礎，對數學做出了不凡的貢獻。1657年，荷蘭科學家惠更斯在帕斯卡和費馬工作的基礎上，寫成了《論賭博中的計算》一書，被認為是關于概率論的最早系統論著。不過，人們仍然將概率論的誕生日，定為帕斯卡和費馬開始通信的那一天——1654年7月29日。