廣義二項展開式

截至1665年，牛頓已經發現將二項式展開（他的說法是“化簡”）成級數的簡單方法。對他而言，這種化簡不僅是用另一種形式重建二項式的手段，同時也是通向流數術的大門。這個二項式定理是牛頓眾多數學發明的起點。

正如《前信》所述，眼前的問題是化簡二項式，而不管m/n“是整數還是分數，或者是正數還是負數”。在人們對指數還非常生疏的時代，這本身是一個非常大膽的思想，那時牛頓首次強調“用,,代替,,,用,,代替,,”。顯然，當時的讀者需要適當的提示。

牛頓不但發現了像這樣基本的二項式的展開形式，而且發現了像這樣復雜的二項式的展開形式。正如牛頓向萊布尼茨解釋的那樣，這種化簡服從規則

其中A，B，C, …分別代表前一項，我們將在下面舉例說明。這就是著名的牛頓二項式展開式，雖然這種形式或許是新奇的。

牛頓給出的例子。在這個例子中,,,。因此，

為了確定A, B, C及其他系數，我們可以利用它們都表示前一項的事實。于是，，給出

同樣，B表示前一項，即，由此得到

用類似的代入得到，然后得到。以這種方式從左到右繼續推導，牛頓得到

顯然，這種方法有一點遞歸的味道：從的系數求出的系數，而欲求的系數需要知道的系數，依此類推。雖然現代的讀者可能習慣于二項式定理的直接表述，但是牛頓的遞歸表示具有無可爭辯的吸引力，因為當用前一項來計算后一項的數值系數時，可以使計算過程得以簡化。

為明確起見，簡單的方法是用由P和Q表示的A, B, C, …的等價表達式代替A, B, C, …，然后約去式（1）兩端的公因子，就獲得現在的公式：

牛頓將這種簡化比作是從平方根到無窮小數的轉換，并且不遺余力地推崇這一運算的好處。他在1671年寫道：

這是一種產生無窮級數的簡便方法，所有復雜的項……都可以簡化為一類簡單的量，即分子和分母都是簡單項的分數的無窮級數，這樣將會消除那些其原始形式看起來幾乎難以逾越的困難。

的確，將數學家從不可逾越的難題中解脫出來是一件值得做的事情。

再舉一個有助于理解的例子——的展開式，在本章后面將要討論的一個結果中，將會展示牛頓對這個展開式的巧妙應用。我們首先將上式寫成，確定，，，并利用式（2）：

牛頓通過將級數平方并檢查其結果來“檢驗”式（3）這樣的展開式。如果我們也這樣做，并且限制取次數不超過的項，得到

其中全部系數奇跡般地變成了1（讀者不妨試試吧！）。自然，得到的乘積是公比為的無窮等比級數，由已有的公式可知，其和為。但是，如果級數（3）的平方為，那么，我們推斷級數本身必定是。妙極了！

牛頓將這樣的計算當作讓人信服他的普遍性結論的證明。他斷言“盡管我們這些凡人的推理能力非常有限，既不能表達也不能想象這些等式的所有項，就像我們無法確切知道那些量從何而來一樣”，但是“可以把對有限項等式的一般分析”推廣到這樣的無限項表達式。