逆級數

在描述把某些二項式化簡為形如的無窮級數的方法以后，牛頓進一步尋找通過z的項把x表示成級數的方法。用現在的術語，他是尋找逆級數關系。所得到的方法對代數學并未產生顯著影響，但是隨后將會看到，我們對它的關注是正確的。像牛頓的做法一樣，我們通過一個特例來描述求逆級數的過程。

讓我們從級數開始，首先將它改寫為

并且舍棄所有x的指數大于或等于2的項。自然，這樣剩下x-z=0,從而，逆級數開始于x=z。

牛頓認識到舍棄全部高階項會導致不準確的解。準確的答案應該具備x=z+p的形式，其中p是有待確定的級數。在式（4）中，用z+p代換x，得到

將上式展開并整理后，得到

下一步，舍棄p的2次方項、3次方項和更高次方項，再求解，得到

現在，牛頓實施第二輪刪除，舍棄分子和分母中除去z的最低次方項以外的所有z的高次方項。由此，p近似等于，所以，到這一步逆級數表示為x=z+p=z+z2。

但是p并非恰好等于z2。更準確地說，p=z2+q，其中q是有待確定的級數。為求出q，我們將其代入式（5），得到

展開并按q的乘方合并同類項，得到

同前面一樣，舍棄q的高于1次方的項，求解得到，然后舍棄分子分母中除去z的最低次方項以外的所有項，得到。至此，級數的形式變成了。

將代入式（6），可以繼續這一推導過程。對于代數的單調乏味有著非凡忍耐力的牛頓似乎可以將這樣的計算（幾乎）無限地延續下去。但是，牛頓最終也樂于回過頭來審視結果，尋找某種一般的表達形式。牛頓這樣寫道：“讓考察停留在這里，順便指出，當第5項或者第6項……為已知時，如果愿意的話，一般來說，通過觀察這一過程的相似性，可以把推導隨意進行下去”。

對于我們的例子，這種考察表明，是我們開始時的級數的逆級數。

這個結果在什么意義上是可靠的？畢竟，牛頓多次舍棄了絕大多數項，所以，這個答案的正確性還有多大的可信度呢？

下面的“檢驗”再次讓我們安心。原來的級數是公比為的等比級數，所以它的終極形式為。因此，我們看出是等比級數的和。這恰好是牛頓的推導過程給出的結果。一切推導看起來是有條不紊的。

到目前為止，所討論的方法（廣義二項展開式和逆級數）將成為牛頓手中強有力的工具。然而，在我們真正評價這位大師的成果之前，還有最后一項必備知識。