第1章 牛頓

艾薩克·牛頓（1642—1727）

艾薩克·牛頓不但是數(shù)學(xué)上的開(kāi)創(chuàng)性人物，而且是整個(gè)西方思想史上舉足輕重的人物。當(dāng)他出生時(shí)，科學(xué)尚未確立對(duì)中世紀(jì)迷信至高無(wú)上的統(tǒng)治地位，而在他去世時(shí)，理性時(shí)代已經(jīng)步入全盛時(shí)期。這一不同尋常的轉(zhuǎn)變?cè)谝欢ǔ潭壬蠎?yīng)歸功于他的貢獻(xiàn)。

作為數(shù)學(xué)家，牛頓被推崇為微積分或者他為之命名的“流數(shù)術(shù)”的創(chuàng)立者。微積分的起源要追溯到17世紀(jì)60年代中期，那時(shí)牛頓還是劍橋大學(xué)三一學(xué)院的一名學(xué)生。在那里牛頓專心研究勒內(nèi)·笛卡兒（1596—1650）、約翰·沃利斯（1616—1703）以及三一學(xué)院第一位盧卡斯數(shù)學(xué)教授艾薩克·巴羅（1630—1677）這樣一些先驅(qū)們的著作，但是很快他就發(fā)現(xiàn)自己進(jìn)入了一個(gè)從未有人涉足的領(lǐng)域。在接下來(lái)的幾年中，牛頓永遠(yuǎn)地改變了數(shù)學(xué)的面貌，傳記作家Richard Westfall把他這幾年描繪為一個(gè)“光芒四射的活動(dòng)”時(shí)期。到1669年，巴羅本人將他的這位繼任者和同事形容為“我們學(xué)院的一位同伴，非常年輕……，但卻是一位具有非凡天賦和卓越才能的人物”。

在本章，我們來(lái)考察一下牛頓早期的如下幾個(gè)成就：將某些表達(dá)式轉(zhuǎn)換為無(wú)窮級(jí)數(shù)的廣義二項(xiàng)展開(kāi)式，求無(wú)窮級(jí)數(shù)的逆級(jí)數(shù)的方法，以及確定曲線之下的面積的求積法則。最后我們介紹一個(gè)驚人的結(jié)果，即一個(gè)角的正弦的級(jí)數(shù)展開(kāi)。關(guān)于二項(xiàng)展開(kāi)式的最早描述出現(xiàn)在他回答萊布尼茨詢問(wèn)的《前信》中，那是在他完成最初的研究工作很久以后。本章其他素材來(lái)自牛頓1669年的論著《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)》，這本著作通常簡(jiǎn)稱為《分析學(xué)》。

盡管本章僅限于討論牛頓早期的工作，但是需要指出，牛頓“早期的工作”幾乎總是超越其他任何人深思熟慮的工作。