第四章 物性函數論

物質是運動變化的，且包含實物與場物質（場質）。實物是物質低速運動以離散為主的形態，而場質是高速運動以連續為主的形態。兩者不可分割地互相依存，互相轉化。場質形態及其連續運動狀態難以用離散算術代數來描述，通常要用連續函數及其微積分來描述。如質量密度、能量密度、線移、線速度、角移、角速度等參量具有連續函數及其微積分性質。即使實物運動通常也是連續變化的，非得用連續函數及其微積分描述不可。從而函數及其微積分成為數學中不可缺少的部分，它是量與形或代數與幾何的矛盾統一，并與代數、幾何構成數學的三大支柱。數理辯證邏輯從“有”“無”正反矛盾用數字“1”“0”編碼，進入二進制數碼，到十進制自然數及其加減乘除算術四則運算關系。甚至具體數字用符號代替，則成代數等式或方程式。土地及其他實物形狀量度之長度、角度、面積、體積也可以用數字或代數符號關系表示，只不過性質與單位不同而已。

在坐標上描述運動軌跡曲線，同樣曲線也可以作為坐標取值關系，如平面坐標x、y上的曲線，x軸取一個值，根據曲線的對應關系找到y值。x軸的值改變，隨之可以根據曲線求得y值，即在某些變化過程中一些參量y隨另一些參量x（或自變量）變化而變化，這些參量稱為函數。坐標所描述的移動點軌跡是各種直線與曲線，渦旋螺旋線是連續點軌跡。渦旋線可以分解成圓與輻射軸運動及其他運動的連續變化。坐標對移動點規律表示法是函數及其微積分，可根據性質不同用自變量與因變量或函數關系式表示。自變量若是時間，那么該類函數具有特殊量變意義。如函數y隨自變量x改變Δx而改變Δy，其比值Δy/Δx往往可以表達變化快慢程度。數學上函數及其微積分是其快慢與時空量變的基本形式。

自變量與函數（因變量）可一分為二為標量性或矢量性參量，從而存在標量性或矢量性函數。某些函數本身是標量性，而有的自變量是標量的，也有自變量是矢量的。另一些函數本身是矢量性的，自變量也有標量性與矢量性參量。這些矛盾性質需要分析，根據不同性質解決矛盾。這是形成數學上矛盾統一邏輯的根據。平動運動（直線與曲線）、渦旋運動（圓周與徑向運動）與周期變換運動是最基本的運動形式。純平動運動、純渦旋運動、周期性變換運動過程或周期性交換作用等都可用函數表示，如典型的場論與波動函數可用微積分函數等。

函數及其微積分是在忽略離散與連續矛盾，粒子與場質矛盾條件下的連續物質及其運動，主要用于描述連續運動與連續變化的運算，并在物理學及其他學科中廣泛應用。在物性數學看來，物質連續可入性且實物是連續物質運動中濃縮成型的，與場質不可分割地聯系在一起。從而物質運動包含實物與場質兩大類及其正反運動狀態。通常場質分布在實物周圍，不同性質的場質具有不同相互作用而出現特有現象。如磁體周圍的磁場，又如帶電體周圍的電場以及它們正反狀態等。場與場質是同一事物的兩類描述方法，類似流體力學中歐拉描述法與朗格郎日描述法。場質是高速運動的連續物質形態，可以用質密度與能密度等描述，而場就用原物理場描述，兩者是等價的或等效的，甚至是一致的。場質描述在一定條件下變換為場描述。

物性數學認為不僅物質運動具有連續性，而且物質本質也具有連續可入性，即空間分布連續性，離散是物體表面現象。高速的場物質，尤其極限速度運動場物質是典型的場物質連續可入形態。而天體、實物體及其粒子等是遠低于光速的低速運動高度濃縮物質形態。可見物質形態與其運動速度密切相關，能度密度w=lim（ΔE/Δv）=dE/dv與質量密度ρ=lim（Δm/Δv）=dm/dv是描述物質連續可入形態與連續運動狀態的重要參量。物性函數論從物質連續運動與連續分布量度矛盾統一角度考察數學的性質與本質。質量對一點周圍體積微商稱為該點的質量密度，單位是克/厘米2。能量對一點周圍體積微商稱為該點的能密度，單位爾格/厘米2=克/厘米·秒2。

同一系統不同方法所得結論可能存在差異，如矛盾統一邏輯所量度某些量的關系A;B≧C與以往的原實驗量度、原物理規律、原數學關系等結論存在差異，A;（+、-、×、÷）B=C，作適當擴充、調整、修正是可以取得一致、等價、等效的。一般實物或粒子周圍存在不同的運動場質，即存在核心與周圍場質兩方面，突出一面忽略另一面，是原實驗量度、原物理規律、原數學關系的基本特點。然而兩者不可分割地聯系在一起，但實物或粒子與周圍運動著的場質關系不便表達與處理，可變換成用相對參考坐標幾何點參量描述的場來表達與處理。場與場質是等價的，而場描述往往更方便些。

第一節 微分函數

數理辯證邏輯指出，系統量變到一定程度總要發生質變，即系統量變沒有達到無窮大或無窮小就發生質變而存在量變極限，即

A↗∽A°

∨A↗→limA

因而物性數學看來不存在無窮小與無窮大，它們到一定程度必然質變，質變使量變必然存在極限。自變量往往是空間位移坐標量與時間長短數量，前者是矢量或標量的分量，而后者時間則純粹是標量。它們可以是連續變化或取任意值數量，在連續變化曲線上趨于某一點，其某些數量改變量趨于無窮小，但它達不到零或趨零無限過程，遲早發生質變而存在極限。

這是微分趨于零而又不等于零的本質所在，從而連續函數具有標量與矢量無窮小微分極限屬性。所謂無窮小或無窮大，實際上在量變過程中都存在矛盾及其質變積累而出現量變極限。將質變隱含在量變之中的微分表述極限成為近代數學的公認概念。這樣，微商不是兩個微分零與零之比，而是兩個極限值之比。正如函數改變量與自變量改變量之比趨于零時函數上點的斜率表示。可見微商的極限之比跟函數與自變量關系、性質等密切相關。

1．任何點（事物抽象簡化）的曲線運動都可一分為二為坐標x、y或x、y、z等分量。若有兩個變量x與y，當x取某特定值時，變量y依確定的關系f也有一個確定的值，稱y是x的函數，記作y=f（x）。如解析幾何圓、橢圓、雙曲線、拋物線等都可以化成自變數x按曲線確定關系確定函數值y；反之，y為自變數，x為因變數，即x=f（y）為前式的反函數。

系1：只有一個自變量的函數稱為一元函數，有兩個或更多個自變量的函數稱為多元函數。

系2：當自變數域為實數域時的函數稱為實變函數，當自變數域為復數域時的函數為復變函數。

系3：若有一個實數τ≠0，使對定義域中的任意x恒有（fx+τ）=（fx），則稱為（fx）以τ為周期的周期函數，否則稱f（x）為非周期函數。

系4：若存在兩個數α,β（β>α），使α<f（x）<β，對定義域上的任意x都成立，稱（f x）為有界函數，否則f（x）為定義域上的無界函數。系5：含有微分或微商（導數）或積分等變量的函數，則稱為微分或積分函數。

2．假定對于任意小的ε>0，都存在正整數N=N（ε），使得對于一切的n>N，不等式|xn-α|<ε都成立，就稱序列x1、x2、x3、…、xn、…以α為極限（序列收斂于α），記作：

否則序列發散。物性數學等價解釋為序列表示量變一系列取值過程，隱含著質變積累，到一定程度發生質變并收斂于極限值A。否則不發生質變而發散。

系：函數在某一點的極限可描述為：若對任意小的ε>0，都存在一個正數δ=δ（ε），使得對于一切滿足不等式0<|x-α|≤δ的值x,|A-f（x）|<ε都成立，則稱數A為函數f（x）在點α的極限：

數學上的描述忽略或簡化了隱含過程矛盾及其質變的等價處理方法。在數理辯證邏輯可以將“任意小ε>0”解釋為“無窮小趨勢為質變積累趨勢到質變時量值ε>0”。極限α是相應的因變量，質變時量值A。把連續函數某一點微小趨于零過程中等價地表示質變積累達到質變時的數值A為極限值，并可等價地引用原數學簡化描述。

3．數學第二次危機是函數趨于零及其導數（微商）0/0矛盾引起的。實際上是量變所隱含微小質變積累到一定程度質變的，數學上用極限量上解決無限小。按極限理論導數（微商）的極限相應點的坐標斜率。標量或矢量函數隨坐標自變數變化，如一維x函數y（x）或（f x）中，坐標自變數微小變化Δx，引起函數微小變化Δy，函數改變量Δy對自改變量Δx比值的極限存在，稱為在點x導數或微商：

lim Δy（x）/Δx=dy（x）/dx

∨limΔf（x）/Δx=df（x）/dx

導數可形象地描述為坐標函數點斜率。

物性數學微商或導數不是零除零而是兩質變等效兩個極限值之比，并構成函數坐標相應點的斜率。函數可以一分為二為標量性函數與矢量性函數，其導數中dx為標量，微商或導數結果通常仍然保持相應的標量與矢量。物質運動連續隨時間變化，最簡單最基本的描述是速度、加速度、角速度、角加速度等。

系1：常數微商等零，即dk/dx=0。

系2：如果自變量為時間t而因變數或函數為其他矢參量微分或時間微商仍然是矢量。如位移矢量長度ι是時間t的函數ι（t），那么位移ι對所在時間t的導數或微商則為線速度：

υ=dι/dt

速度υ是空間點的位移對時間微商是矢量，單位為厘米/秒或米/秒。若線速度υ矢量是時間t的函數，其微商為線加速度：

a=dυ/dt=d2ι/dt2

加速度a是空間點的速度對時間微商或位移二階導數也是矢量，單位為厘米/秒2或米/秒2，說明存在高階微商或導數。

系3：位移角度θ是時間t的函數，其微商定義角速度，角移方向規定以右手四指表示旋轉而垂直大姆指所指的方向表示：

ω=dθ/dt

角速度ω是空間點繞中心的角移對時間微商，仍然是角移方向上的矢量，單位為弧/秒。

角速度ω又是時間函數，對t微商可得角加速度：

β=dω/dt=d2θ/dt2

角加速度β是空間點繞中心的角速度對時間微商或角移二階導數是矢量，單位為弧/秒2，進一步說明存在高階微商或導數。

4．線段移動構成面。設s是面Ψ區域，當變量f隨區域s的變化而變化時，稱f是區域s的函數，記作f=f（s）。把區域量度的面積仍記作s，把s無限細分，使包含a點小區域的面微積量度Δs=ΔxΔy→0。如果f的改變量為Δf（a），對Δs微商，其極限為：

lim Δf（a）/Δs=df（a）/ds=ρ（a）

面的移動構成體。設v是空間Ω區域，當變量f隨區域v的變化而變化時，稱f是區域v的函數，記作f=f（v）。把區域量度的體積仍記作v，把v無限細分，使包含α小區域的體微積量度Δv=ΔxΔyΔz→0。如果f的改變量為Δf（α），對Δv微商，其極限為：

lim Δf（α）/Δv=df（α）/dv=ρ（α）

它是點α的函數，稱為密度函數。

系：標量性微分分析，如果f=m時，ρ（α）為點α處質量體密度f=m時，dm（α）/dv=ρ（α）。f=E時，dE（α）/dv=w（v）為α處能量體密度。它可以用來描述一定區域物質的質量密度或能量密度分布的連續標量函數或實數函數。

5．既然函數存在微商，有沒有微積？函數微分與自變量微分的乘積是什么量，或表示什么？除了線微積Δι=rΔθ、面微積Δs=ΔxΔy與體微積Δv=ΔxΔyΔz通常是實數外，還存在其他有意義微積。如區域t函數改變量Δf（t），對Δt不是微商而是微積，且在一定條件下合二而一為一個實數量，具有特殊意義。如f（t）是正弦或余弦等周期變化函數，當在正弦曲線點軌跡長度相同時，正弦函數改變量Δf在相位0或nπ處最大，而時間Δt最短。在相位nπ+π/2處Δf最小而時間Δt最大。即Δf愈大，相應改變量Δt愈小，或相反，兩者成反比。兩者合二而一且等于常量：

Δf;（·）Δt≧k

如果介面對系統函數改變量Δf與相位或方位無關，那么周期變換動能改變量愈大，相應自變改變量Δt愈小，才能保持不同相位與方位的函數改變量同一性，使周期變換系統函數改變量Δf與自變改變量Δt成反比。

系1：量子動能隨時間t周期性變化，若入射在光滑介面上動能需要積累一定時間Δt達到一定改變量ΔE（t）才能真正發生反射或折射作用，即動能改變量Δf=ΔE（t）愈大，需要積累作用時間Δt愈短。通常兩微變量成反比。其等價式為：

≒ΔEΔt=2πh

系2：如果某參量是位移ι周期函數（f ι），改變量Δ（f ι），對Δι的微積，且在一定條件下合二而一為常數，則：

Δf; (·)Δι≧k

通常位移Δι是矢量性的，在此條件下移動函數Δf也是矢量，如動量微改變量Δp其位移微改變量Δι，點乘微積為實數，等價于：

≒ΔpΔι=ΔmυΔι=2πh

系3：如果某參量角移θ周期函數f（θ），改變量Δf（θ），對Δθ的微積，且在一定條件下合二而一為常數，則：

Δf; (·)Δθ≧k

通常角移Δθ是矢量性的，在此條件下移動函數Δf，如角動量N也是矢量，其改變量點乘之微積為常數實數，等價于：

≒ΔN Δθ=ΔJωΔθ=2πh

可見微積是周期運動某些函數參量積累趨勢與自變量性質相反或反比的反映，以參量間成反比變化來表達。

6．對稱曲線函數，設y=（fx），當（f -x）=（fx）是關于y軸對稱函數，如余弦函數。余弦微商則成正弦。

系：原點對稱曲線函數，設y=（fx），當（f -x）=-（fx）是關于原點對稱函數，如正弦函數。正弦微商則成余弦。

7．連續曲線函數f（x）上某些連續點d（fx）/dx=0時，（fx）在x處為極大或極小值。

系1：當曲線上某些連續點df（x）/dx>0時，f（x）為在x處上升曲線。

系2：當曲線上某些連續點d（x）/dx<0時，f（x）為在x處下降曲線。

8．連續曲線函數f（x）某些連續點d2f（x）/dx2=0時，x處為函數f（x）的拐點。

系1：當曲線上某些連續點d2f（x）/dx2>0時，f（x）為x處凹曲線函數。

系2：當曲線上某些連續點d2f（x）/dx2<0時，f（x）為x處凸曲線函數。

9．指數函數xn的微商或導數為：

dxn/dx=nxn-1

系1:d2xn/dx2=n（n-1）xn-2

系2:dx-n/dx=-nx-n-1

10．自然底指數函數微商為：

dex/dx=ex

系1:dax/dx=axlna

系2:d2ax/dx2=a（x lna）2

11．對數函數微商為：

dlnx/dx=1/x

系1:d2lnx/dx2=-x-2

系2:d1ogax/dx=1/x（1na）

12．三角函數微商為：

dsinx/dx=cosx

系1:d cosx/dx=-sinx

系2:d tanx/dx=1/cos2x

系3:d cotx/dx=-1/sin2x

13．反三角函數微商為：

系1:d arc cosx/dx=-1/ (1-x2)

系2:d arc tanx/dx=1/（1+x2）

系3:d arc cotx/dx=-1/（1+x2）

14．函數加減微分微商等于函數微分微商加減，即

d（f1±f2）/dx=df1/dx±df2/dx

系1：函數相乘微分微商：

d（f1·f2）/dx=f1· df2/dx+f2· df1/dx

系2：函數相除微分微商，f2≠0條件下：

系3：函數中函數稱復合函數微分微商：

df（1f（2x））/dx=（df1/df2）·（df2/dx）

15．通常函數自變數不止一個而是兩個以上，如u=f（x、y、z）。多變量函數微分微商為：

du=（δf/δx）dx+（δf/δy）dy+（δf/δz）dz

其中多變數函數對某自變量微商，如δf/δx=δu/δx稱為函數對x偏微商。如垂直三維直角坐標偏微商算符，下面加一劃表示矢量算符：

系1：矢量算符乘以標量函數f（x、y、z）則為梯度，仍然保持矢量：

系2：矢量算符點乘以矢量函數f（x、y、z）則為散度，矢量點乘成標量：

系3：矢量算符叉乘以矢量函數f（x、y、z）則為旋度，矢量叉乘為矢量：

16．圓柱面坐標偏微商算符，下面加一劃表示矢量算符：

系1：矢量算符乘以標量函數f（x、y、z）則為梯度，仍然保持矢量：

系2：矢量算符點乘以矢量函數f（x、y、z）則為散度，矢量點乘成標量：

系3：矢量算符叉乘以矢量函數f（x、y、z）則為旋度，矢量叉乘為矢量：

17．球面坐標偏微商算符，下面加一劃表示矢量算符：

系1：矢量算符乘以標量函數f（x、y、z）則為梯度，仍然保持矢量：

系2：矢量算符點乘以矢量函數f（x、y、z）則為散度，矢量點乘成標量：

系3：矢量算符叉乘以矢量函數（f x、y、z）則為旋度，矢量叉乘為矢量：

第二節 積分函數

積分與微分一樣主要用于處理連續變化或連續分布狀態函數。積分是微分函數乘自變量微分的和。對一個自變量或一維積分稱線積分，對二維積分稱為面積分，對三維積分稱為體積分，后兩者又稱多重積分。函數微商仍然是函數F'（x）=dF（x）/dx=f（x）的話，此函數乘以自變的改變量Δx之和，且Δx→0，即dx表示：

可見積分是微分反面的運算。

場質疊加平衡趨勢等價作用力，實物或粒子周圍不可分割地存在高速運動場質，兩實物或粒子相鄰，其兩側總是存在場質重疊，并總是形成相反重疊狀態，即同向重疊與反向重疊狀態，平衡趨勢迫使實物或粒子由一側向另一側連續移動。動能E隨位移ι發生變化。動能對位移微商或梯度dE/dι函數等價于一作用力連續作用于實物或粒子。可見實物或粒子周圍場質重疊平衡趨勢是趨勢力根源之一，也是平衡趨勢量度之一。這類平衡趨勢力（也可稱為主動力或勢力或保守力）對位移積分則是動能改變量。

另一類如地面實物或粒子運動總是要恢復相對靜止狀態或平衡狀態，而產生阻止運動使動能E隨位移ι減少的摩擦力，其量度也是動能對位移的微商或梯度dE/dι，通常是負數。還有一類力是拉、推、碰撞等彈性作用通過實物接觸傳遞能量或交換能量，同樣可以構成作用力，并迫使實物運動（也稱被動力），作用力決定于動能對位移微商或梯度。這些力對位移積分就是動能改變量或對外做功。可見微積分是處理連續變化或連續分布數量的重要數學工具。

1．如果在給定區間[a,b]上標量或矢量函數F（'x）=dF（x）/dx=（fx），那么F（x）稱為（fx）在[a,b]上積分，即：

系1：若函數f（x）在區間[a,b]上連續的，則f（x）是可積的。

系2：若函數f（x）在區間[a,b]上有界，且只有有限個斷點，則（f x）是可積的。

2．可積函數性質是函數f（x）在區間[a,b]一定是連續的、單調有界的、有界面的、其乘上常數仍然可積的。

系1：函數f（x）在[a,b]區間可積，那么在該區間內任一局部區間仍然可積。

系2：兩個以上可積函數f（1x）、f（2x）的和、差、乘函數仍然可積。

系3：若把區間[a,b]分割成若干部分區間，其任一部分區間是可積的。反之各部分區間可積，其整體區間也是可積的。

3．微商函數F'（x）=f（x）的不定積分求法為：

∫f(x)dx=∫F'(x)dx=F(x)+k

系1：線性運算

∫[af1(x)+bf2(x)]dx=a∫f1(x)dx+b∫f2(x)dx

系2：變量替換

∫f(x)dx=∫f(?(t))?'(t)dt

系3：分部積分

∫f1(x)f2'(x)dx=f1(x)f2(x)-∫f1'(x)f2(x)dx

系4：配元積分

∫f(?(x))d?(x)=∫F'(?(x))d?(x)=F(?(x))+k

4．若函數f（x）在區間[a,b]上連續或分段連續則定積分為：

系1：若函數f（x）在區間[a,b]上連續，則在該區間內至少存在一個數ξ（a<ξ<b），使得：

系2：若函數f1（x）f2（x）在區間[a,b]上有界且可積，f（1x）連續，f（2x）在該區間不變號，則在[a,b]內至少存在一個數ξ（a<ξ<b），使得：

5．定積分的性質：

6．部分求積法

其中，f(x)g(x)|ba=f(b)g(b)-f(a)g(a)

7．變量替換法：設函數g（x）在區間[a,b]有連續微商（導數）dg（x）/dx，同時f（x）在區間[g（a）,g（b）]上連續，并且u從g（a）單調變到g（b），則：

8．利用函數奇偶性求積法

若f（x）是偶函數，則：

若f（x）是奇函數，則：

9．利用積分對參數求導法：設f（x,t）在有界區域R（a≤x≤b,α≤t≤β）上連續，并且存在連續偏導數δf（x,t）/δt，則當α<t<β時有：

10．二重積分系：設薄片的密度ρ（x,y），則薄片質量為：

m(s)=?sρ(x,y)ds

11．三重積分

系：設物體的密度ρ（x,y,z），則物體質量為

12．空間閉合曲線化包圍的曲面積分公式：若ι是包圍逐片光滑有界雙側曲面s的逐段光滑簡單閉曲線，P=P（x、y、z）,Q=Q（x、y、z）,R=R（x、y、z）是在s+ι上連續可微函數，則：

∮ιPdx+Qdy+Rdz=?s(δR/δy-δQ/δz)dydz

+(δP/δz-δR/δx)dzdx+(δQ/δx-δP/δy)dxdy

13．空間閉合曲面化包圍的體積分公式：若s為所包圍體積v的逐片光滑曲面，P=P（x、y、z）,Q=Q（x、y、z）,R=R（x、y、z）及其一階偏微商在s+v上連續，則：

?s(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds=?v(δP/δx+δQ/δy+δR/δz)dxdydz

其中cosα、cosβ、cosγ為曲面s的法線正方向的余弦。

第三節 場論函數

物質連續性及在渦旋運動中濃縮成形的過程，總是構成實物體及其周圍場物質，如天體、實物、粒子，甚至量子與周圍場質總是不可分割地聯系在一起。實物體內外平衡趨勢形成交換與微渦旋，甚至交換中不斷地各自更新變化。微渦旋一分為二為低速的粒子與高速量子或實物粒子周圍的高速磁微渦旋場質。根據場質運動狀態不同構成不同場類型與點軌跡不同的運動性質。除了最初的濃縮趨勢引力場質外，至少存在以下若干場質形態與運動狀態。場質運動表示可以等價地用原數理場狀態表示法，只不過把場質流動點參量運動過程換成指定參考坐標系上點的相應參量變化。

天體、實物、粒子周圍不可分割地存在不同方式的相對流動場質，這樣描述起來較不便，而采用核心體周圍場及其各點不同狀態參量描述，可不管場內物質如何流動。如磁場各點用磁場強度參量描述，而不管其場質運動狀態或形態。場與場質兩類描述各有千秋，但從數學角度來看，場描述要方便得多。有些情況下微觀狀態、結構、關系與宏觀是一致或規則的，所構成的宏觀狀態、結構、關系等可以用宏觀與微觀狀態、結構、關系等價，就用宏觀描述代替微觀描述，即

A;B≧C

∨a;b≧c

對于系統內微觀粒子不規則運動的宏觀狀態的能量形態或質可能不同，但宏觀量值上跟質量一樣，也跟規則運動宏微觀關系一樣，都是微觀粒子能量線性之和，所不同的只是宏觀能量形態或質的不同而已。與具體物質或物體系統能量轉化守恒意義類似，轉化前后能量的量值是一樣的，但轉化前后運動形態或質是不同的，如落體勢能轉化為動能，又如物體動能轉化為溫度變化的內能等。

1．渦旋體交換的正反運動必引起微旋化。微旋化后粒子濃縮趨勢組合是天體或實物產生萬有引力的根源，其強度跟天體或物體周圍的質量密度密切相關。一個天體或實物是微渦旋體的組合，周圍存在濃縮趨勢場質，并有向天體或實物中心趨勢質量密度ρ=∑ρi=Δ∑mi/Δv=Δm/Δv，其大小決定核心質量。即渦旋體核心與周圍場質或等價的場關系通常可以用散度定義。如渦旋核心質量是周圍場質濃縮而成的，而場質的質量密度流向核心，若用場描述，場標量與矢量參量有如下主要性質。

系1：標量性函數梯度是矢量：

gradf=▽f=（δ/δx+δ/δy+δ/δz）f

其散度為標量：

div · gradf=（δ2/δx2+δ2/δy2+δ2/δz2）f=▽·▽f=▽2f

系2：矢量性函數散度divf=▽f為標量，其梯度為矢量：

grad divf=▽（▽f）

系3：標量性函數梯度為矢量，其旋度為矢量，且等于零：

rot gradf=▽×▽f=0

系4：矢量函數旋度為矢量，其散度為標量，且等于零：

div · rotf=▽·▽×f=0

系5：矢量函數旋度是矢量，其旋度仍然是矢量：

rot rotf=▽×▽×f

2．渦旋體以一定速度運動必影響其周圍向心場質的運動狀態，前后部所重疊速度相反，后部速度同向重疊速度變大，質量密度下降，具有彌散趨勢。而前端速度反向重疊速度變小，具有濃縮趨勢，使場質由后部流向前端，形成環繞渦旋體螺旋線運動狀態。

如果渦旋體內微旋體或粒子隨其以某個線速度旋轉，微旋體或粒子周圍以一定速度旋轉，粒子旋轉速度前后沿場質疊加上反向與同向速度。其后沿同向速度而有彌散，并趨向于前沿反向濃縮，形成環繞微螺旋場質，并從渦旋體一極進入另一極出來的微螺旋線狀態。該微螺旋線等價于磁力線從近旋轉軸一極進去另一極出來的磁場狀態。該螺旋線密度愈大，等價于磁力線愈密，即磁性愈強。可見渦旋體周圍不僅存在萬有引力場質或引力場，而且存在磁場質或磁場。

若渦旋體周圍場用場速矢量勢A等價場質速度u，即A≒u。其旋度定義為：

rotA=▽×A≡B

該旋度稱為磁感應強度。磁感應強度（磁力線面密度）定義磁場能密度為w=B2/μ并等價微螺旋線能密度，如：

w≡B2/μ=BH=μH2

說明渦旋體（包括宏觀天體與微觀粒子）運動本身可以在其周圍場質形成磁性，磁力線的本質是場質速度螺旋線。B的單位同角速度1/秒，μ的單位（B2/w）為厘米/克，H的單位（B/μ）為安培/米。

3．不同材料導磁率μ不同，是跟場質渦旋線質量密度倒數有關的參量。從而H=B/μ，磁場強度的本質是單位時間場質螺旋線的質量密度。而原子或分子是微渦旋粒子系統，組合成鐵磁性、順磁性、逆磁性、超導性等不同的磁性材料。對于原子或分子來說，磁性實際上是跟其殼粒分布與運動狀態密切相關的。大體上跟原子核、內層殼粒、外層殼粒的分布與運動狀態有關。

系1：鐵等元素原子核內外磁性較一致，從而構成強磁性的鐵磁性材料。

系2：堿族元素最外層的一個殼粒易脫離，易受外磁場作用而成為順磁性材料。

系3：惰性元素常溫下處于氣態，與一些外層殼粒分布較對稱元素材料而難使殼粒脫離，而且運動速度愈低，愈難脫離，愈靠場質聯系，具有排斥外磁場傾向，構成逆磁料。

4．逆磁性材料通常溫度愈低逆磁性愈強且愈靠場質交換聯系。到了臨界溫度逆磁性完全可把外磁場排斥掉，交換場質不僅跟相鄰粒子間交換而且擴大到整個（液體）材料。如氦是典型的惰性氣體，隨著溫度降低逆磁性愈強且粒子間場質交換也愈強，到了臨界溫度逆磁性完全可把外磁場排斥掉，交換場質不僅跟相鄰粒子間交換而是擴大到整個液體材料，一粒子帶電立即傳遍整個材料，電阻等于零，即構成了超導性狀態。

系：從超導體狀態提升溫度，殼粒交換逐漸恢復，在自個原子核周圍允許軌道間躍遷，出現如崔棋實驗所得電子分數帶電現象。再升高溫度，則恢復歐姆定律與場論描述的電現象。

5．微螺旋線所構成的等價磁場閉合磁力線的任一點，有出必有進。即具有場論中麥克斯韋方程（4）的性質：

▽·▽×A=0

它等價于磁場上一點有進必有出連續性的數學性質。

6．電是分子、原子、原子核分離、溶解、破裂等所產生的現象，這些粒子原處于交換平衡狀態，受到破壞而分離成交換不平衡的兩部分，一部分失殼粒而處于彌漫擴散（失質量或空穴型或帶正電）狀態，另一部分殼粒得量子而處于吸收濃縮（得質量或電子型或帶負電）狀態。

交換不平衡所形成的背心或向心減加速場質運動，可用場質速度符號負變化率C=-du/dt表示，與電場速度A變化率等價，并定義為電場強度等價：

C=-du/dt≒G=-dA/dt

w≡εG2=GD

其中D=εG稱為電位移，等價于質量改變量面密度，ε為與介質對場質量密度性質有關參數。電場強度G的單位為厘米/秒2,ε的單位為克秒2/厘米3，電位移D的單位（εG）為克/厘米2。

按場論描述場速矢勢A對時間微商定義電場強度等價G=-dA/dt。從而電場強度等價場質速度負變化率及D=εG稱為電位移并等價于場質的質量改變量面密度。

7．電位移散度定義為電荷密度：

divD=divεG≡σ=dq/dV

式中，D為電位移；G為電場強度；ε為介電常數；σ為電荷密度；q為電荷等，等價于場論中麥克斯方程（3）：

σ=dq/dV=divD=divεG

式中，G等價于場質流速負變化率；D質量改變量面密度；從而電荷密度σ或電荷q是場質向心或背心流速變化率引起質量密度或質量改變量的正負。

可見麥克斯方程（3）實際上是電荷或電荷密度的定義式，且表明了電或電荷的可變性、暫態性本質。導體可以通過感應或外加電壓使殼粒脫離原子核而生電，絕緣體可以通過摩擦，迫使殼粒脫離而生電。所謂移動磁場生電是有條件的，實際上必須存在相對磁場移動的導體，導體內易脫離原子殼粒在常溫下仍處于熱運動狀態。若導體殼粒是有規則移動的，使其在移動方向周圍產生環狀磁場。

8．粒前后沿場質向心運動與殼粒運動速度處于反向、同向狀態。平衡趨勢使前沿重疊反向速度而呈吸收濃縮趨勢，后沿重疊同向速度而呈彌漫擴散趨勢，后沿趨向前沿。在導體中殼粒周圍形成環狀微螺旋線并等價環狀磁場，等價于麥克斯韋方程（2）：

j+dD/dt=rotH

其中，j與dD/dt分別表示導線電流與電荷移動密度。

殼粒熱運動化為規則移動，則成移動電荷或使導體電流周圍產生環磁場，在運動電荷周圍出現場質運動狀態發生變化，平衡趨勢轉化為環狀磁性等現象。可見運動電荷實際上是殼粒周圍加速場質前后疊加上正反向速度引起周圍部分場質轉化為帶有環狀磁場質。

導線上所產生的磁感應強度B與電流I成正比而與距離r成反比。導線上電流與磁場方向的關系，如右手大姆指沿導線其他四指握導線時，大姆指為導線電流方向，四指為磁場方向，其值大小為

B=μH=2μI/r：

9．不管是導線通電流還是移動導線產生磁性，在外磁場平衡趨勢作用下發電或電動。這個性質可以用具有電磁感應定律的麥克斯韋方程（1）等價來描述：

dB/dt=d▽×A/dt=▽×dA/dt=▽×（-G）

其積分式是：

∮Gdι=-?(dB/dt)ds

實際上，上式都是導體相對磁場運動的電磁感應規律ιυB=電動勢的微、積分式。可見麥克斯韋方程（1）用來描述相對外磁場運動的導線中分離殼粒電轉化磁，其重疊作用所引起的電動或發電的現象。沒有導體，如絕緣體或根本無物體空間中的磁體運動，其周圍通常并不產生電現象或電流現象。

系1：外力推動導線在外磁場中移動，原子殼粒在導線內變成移動方向上的規則運動，各殼粒周圍在導線內產生環狀磁場。其重疊上外磁場而引起殼粒在導線中左右不平衡，并在平衡趨勢中，帶電殼粒移動，即產生電流，具有發電趨勢。導線殼粒周圍場質產生的磁場重疊上外磁場B，所構成的電流取決于外加磁感應強度B與作用力或速度υ及導線長度ι。即產生的電流強度I或電動勢ü的大小取決于外磁場B、磁場中的導線長度ι與作用力產生速度υ的大小：

ü=υιB

系2：通電導線周圍產生環狀磁場，重疊上外磁場，平衡趨勢迫使導線移動，具有電動趨勢。導線電流產生的磁場重疊上外磁場B，所構成的作用力F取決于磁感應強度B與導線長度ι和電流強度I，則：

F=BIι

10．帶電粒子或帶電體周圍充滿濃縮性或彌漫性加速場質，帶不同電體相鄰，相鄰一側濃縮性場質與彌漫性場質加速同向重疊，加速度變大（動態幾何指出實物加速度與速度關系式為a=a0(1-υ2/c2），對包含場質加速度與速度的關系是a=a0(1-υ2/2c2），說明速度愈大，加速度愈小），而速度減少，具有收縮趨勢。外側則加速反向重疊，加速度變小，而速度增大，具有彌散趨勢。場質外側趨向鄰側，迫使兩帶異電體靠近，即相吸。

反之帶同電體相鄰時，相鄰一側濃縮性場質與濃縮性場質加速反向重疊，加速度變小了，而速度增大，具有彌散趨勢。外側則加速同向重疊，加速度變大，而速度減少，具有濃縮趨勢。場質鄰側趨向外側，迫使兩帶同電體遠離，則相斥。

系正負帶電體分別為失殼粒或失質量（正電端）與得殼粒或得質量（負電端）物體，若中間連接導線，平衡趨勢促使殼粒或質量從正電端往負電端移動，并形成電流。差異愈大，電流也相應愈大，所謂差異指電能qU或電壓差異U，即

U=IR

其中，I為導體中的電流，U為導體兩端的電壓或電動勢，比例系數R決定導體材料的導電性質，稱為電阻。這個關系式稱歐姆定律。

11．導線殼粒周期性往返移動，則形成其周圍變換環狀磁場質往外輻射的電磁波或環狀磁場質所形成的周期變換量子流。它實際上是同頻率（同速度）、同相位（同方位）量子流以某種周期變換能密度以電磁波集體狀態運動著。同步運動量子流的電磁波動能密度為：

w=HB+GD=μH2+εG2

=μH02sin22π（vt-ι/λ）+εG02cos22π（vt-ι/λ）

可見電磁場輻射的本質是發射源發射同步運動量子流（束）。電磁波能流密度周期性變換可以看成同步運行量子流密度。

通過上述物性數學新定義、新建立、新推出的具有新特性、新規律、新原理之參量及其關系式，與原現象、原實驗、原理論相應關系式等價方法，可以更本質地推出或分析解釋物理電與磁的基本概念、判斷，甚至參量與關系式的深刻意義。

12．渦旋正反變換平衡趨勢可以用正弦與余弦能密度變換平方和，并等于常數來表示。或者是渦旋能密度與平動能密度周期性變換過程，兩能密度之和為常數，即

w♂=?20 sin22π（vt-ι/λ）+?20 cos22π（vt-ι/λ）=?20

其中?0是渦旋濃縮最大幅度或能密度開方，θ=2π（vt-ι/λ）中，2πvt為初始或發射時刻相位，2πι/λ為位移至ι處相位，且波長是渦旋體運行過程中相鄰濃縮峰值間距，λ=υτ=υ/v。能密度w=?20除以量子或粒子能量，則成了粒子數密度。對個別量子來說是指出現的幾率密度，即

n=w/hv

13．對光量子或粒子交換狀態實際上跟其濃縮狀態周期性變化密切相關，可以用渦旋能密度周期濃縮幅度來描述，即

最大幅度、初相位、位移三者確定了，粒子或量子渦旋濃縮狀態也就確定了。

渦旋濃縮變換過程實際上就是與周圍場質交換的過程，而且速度愈低，交換愈強。它不僅是單一量子或粒子能密度的表達式，而且也可以作為同步運行量子束集體波動行為的描述。這時?0是量子或粒子束的最大幅度或能密度開方，即

?=?0 sin2π（vt-ι/λ）

系：介質波動實際上是介質分子間量子遞換傳輸的過程，同樣可以用量子流能密度的上式描述。

14．來自于不同介面的兩束同步（同速度、同頻率）同時入射到某一個平面上重疊，落在該平面（或屏幕）上各位置，存在不同光行差或相位差。若存在兩束峰值重疊與相鄰的峰、谷值重疊而構成相對強弱交叉狀態的則出現干涉現象，如：

當兩束光在屏幕一位置相重疊，相位差4πθ=π，即相位差π使兩幅度狀態相反或光程差半波長（相鄰峰值間距）時：

當兩束光在屏幕相鄰另一位置相重疊，相位差4πδ=2π，使兩束光幅度變換同步或光程差波長整數倍時：

它相對 為亮條紋，即亮暗交錯干涉條紋，等效于經典波動說疊加原理。

15．實物光滑邊緣對同步運行光量子束的相位調整是產生光衍射現象的根源。可以說電磁波束或量子束衍射現象也證明了光量子相位調整作用。如單縫中間光量子束無阻擋直射光束，狹縫愈窄直射光量子束愈弱，主要靠狹縫邊緣散射，從而屏幕上衍射條紋愈寬愈明顯。如果同步運行光束直射與邊緣散射重疊而出現強弱交叉狀態的為衍射現象。

系：聲波與機械波都是振動實物體振動能量向周圍介質分子傳送能量子，同樣具有強弱干涉現象與衍射現象。