第三章 物性幾何論

幾何實(shí)際上是感性思維圖像印象經(jīng)過統(tǒng)觀抽象所形成的圖形觀念，并進(jìn)一步形成理性思維的幾何圖形概念與判斷，甚至推理解釋所看到、所聽到的現(xiàn)象。算術(shù)代數(shù)起源于離散計數(shù)，在矛盾統(tǒng)一中從自然數(shù)加減、乘除、指數(shù)對數(shù)、乘方開方、實(shí)數(shù)虛數(shù)等不斷發(fā)展，直到在處理幾何方形對角線與邊的關(guān)系不能用正整數(shù)之比表示，而出現(xiàn)數(shù)學(xué)上第一次危機(jī)。在矛盾統(tǒng)一中產(chǎn)生無理數(shù)與復(fù)數(shù)，并推動幾何證明邏輯的發(fā)展。物體形狀與運(yùn)動軌跡空間長度、角度、面積、體積、曲直等逐漸形成幾何圖形計算。圖形面積、體積與邊長度，甚至角度乘積等密切相關(guān)。物質(zhì)分布范圍與運(yùn)動軌跡形狀及其量度中首先遇到圓與直線及其最簡單三角圖形的矛盾統(tǒng)一問題。

平面圓與三角圖形間的關(guān)系可用形式邏輯證明，即從幾條公理證明推出平面幾何邊角圖形關(guān)系。歐氏幾何雖只能表達(dá)簡單的且可用簡單工具作圖的幾何，稍許復(fù)雜或不規(guī)則多邊形的圖形通常可切割成眾多三角形來處理。而圓是自然運(yùn)動與成型的基礎(chǔ)，從而幾何應(yīng)從圓角及圓周半徑、坐標(biāo)間的關(guān)系討論入手為妥。圓周相對圓心運(yùn)動總是存在正反運(yùn)動狀態(tài)矛盾。先通過圓周與圓心關(guān)系考察，如果圓心靜止并作為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓半徑與穿過圓心坐標(biāo)垂線定義幾個基本角線關(guān)系，如正弦、余弦等，然后半徑延伸至圓周交點(diǎn)間直線為直徑，與圓周上任一點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以及圓周上任意三點(diǎn)連線可以構(gòu)成最簡單三角形的邊角關(guān)系。

幾何簡單圖形而忽略質(zhì)的差異（即不管是鐵質(zhì)、木質(zhì)、土質(zhì)等差異），著重考察圓與三角的關(guān)系。不僅方形對角線或直角三角形斜邊與其他邊之比不能用整數(shù)的分?jǐn)?shù)獲得，而且圓的圓周與半徑的比值是2π，也不是正整數(shù)之比。為了描述與分析方便起見，平面穿過圓心一線或一維兩個象限，穿過圓心垂直二線或二維4個象限，坐標(biāo)以穿過球心的三個垂直平面切開，可構(gòu)成三維8個象限。象限數(shù)為20=1、21=2、22=4、23=8、24=16等二進(jìn)制數(shù)。實(shí)物有各種各樣的形狀，但基本圖形是三角形與圓形，其他形狀建立在三角形與圓形的基礎(chǔ)上。三角幾何就是以靜態(tài)圓與三角形討論為主，進(jìn)而解析幾何在靜止坐標(biāo)系上點(diǎn)運(yùn)動軌跡變化的典型圖形。

物性數(shù)學(xué)更關(guān)心的是參考坐標(biāo)之間相對運(yùn)動對實(shí)物，甚至對場質(zhì)運(yùn)動狀態(tài)的量度及圖形影響。物質(zhì)的不生不滅性決定了量度系統(tǒng)質(zhì)量及其總能量不會因相對運(yùn)動參考坐標(biāo)系間的量度而改變。這類涉及相對運(yùn)動時空及其變換，稱為動態(tài)幾何。動態(tài)幾何注重參考坐標(biāo)系間相對運(yùn)動的恒與變的矛盾統(tǒng)一，以及左旋與右旋，向心與背心，圓心與圓周運(yùn)動狀態(tài)矛盾統(tǒng)一的關(guān)系。質(zhì)量、質(zhì)密度、能量、能密度等參量在動態(tài)幾何與三角幾何之邊長、角度參量地位類似，屬于基本描述參量。物性幾何，尤其是動態(tài)幾何，從相對運(yùn)動系統(tǒng)的量度矛盾統(tǒng)一中考察幾何數(shù)學(xué)的性質(zhì)與本質(zhì)。

第一節(jié) 三角幾何

物質(zhì)運(yùn)動軌跡描述具有大小與方向，即空間長度與角度成為幾何的基礎(chǔ)。運(yùn)動軌跡一點(diǎn)方向可一分為二或分解為兩個以上運(yùn)動，并可用矢量表達(dá)。兩個運(yùn)動矢量重疊可合二而一或合成相對運(yùn)動或另一矢量，即矢量也有加減乘除問題。但它不是代數(shù)那樣單純的數(shù)量計算，必須把空間或平面上的方向角度考慮進(jìn)去，從而具有幾何性質(zhì)。方向運(yùn)動合二而一或合成的數(shù)量可以使用幾何邊角關(guān)系運(yùn)算。同或反方向純直線合成仍然為直線運(yùn)動。連續(xù)改變方向而數(shù)值不變的運(yùn)動軌跡為圓周運(yùn)動。方向與數(shù)值都變則構(gòu)成其他曲線運(yùn)動。圓心靜止且作為坐標(biāo)原點(diǎn)時，可一分為二用圓周與直線運(yùn)動圖形或圓周與徑向運(yùn)動關(guān)系來描述。

物質(zhì)運(yùn)動的空間軌跡不管是直線還是曲線，其每一點(diǎn)都是帶有方向的，即矢量的。而矢量建立在靜態(tài)三角形與圓形關(guān)系的基礎(chǔ)上，經(jīng)典三角實(shí)際上是純粹三角形邊角關(guān)系，矢量關(guān)系可用三角幾何關(guān)系計算。三角幾何與解析幾何是在忽略坐標(biāo)參考系相對運(yùn)動條件下的形狀與運(yùn)動軌跡形態(tài)。從自然成型的渦旋運(yùn)動來說，包含有圓周與圓心或圓與徑向矛盾運(yùn)動等都離不開圓與直線（或三角）幾何圖形。現(xiàn)就從圓徑開始討論。

1．任何平面圓周（不論大小）與相應(yīng)半徑之比矛盾統(tǒng)一且等于常數(shù)。平面圓一分為二為圓周L與半徑r或直徑d，合二而一且等于量度比值。對所有圓周都滿足

L;（÷）d≧π

≒L/d=L/2r=π

圓周L=2πr。平面圓心θ到圓周半徑繞一周的角度定為360°，同時與弧度2π等價。圓半徑繞半周即直徑間角度180°或弧度π。穿過圓心互相垂直半徑劃分四個象限，每個象限半徑間的角度為90°或弧度π/2，即

360°≒2π

可見角值規(guī)定與圓密切相關(guān)，是圓徑矛盾統(tǒng)一基本關(guān)系的反映。如圖1.3.1所示，如果半徑一分為二在垂直平面坐標(biāo)上投影的兩個分量，構(gòu)成直角三角形，把圓與三角形聯(lián)系起來。

圓周半徑一分為二垂線x、y，角正弦及其反面余弦定義為

sinθ≡y/r

cosθ≡x/r

正切及其反面余切定義為

tanθ≡y/x

cotθ≡x/y

正割及其反面余割定義為

secθ=r/y

cscθ=r/x

上式將角值化成長度值的關(guān)系。終點(diǎn)在半徑方向上移動，即圓周長、圓面積、球體積不同，而其正弦、余弦、正切、余切等比值相同或不變。

圖形中圓與半徑，即平面圓與三角形，角弧與邊弦為最基本的圖形矛盾，其矛盾統(tǒng)一邏輯可等價地用角、邊線段等式表示。三角形可作圓內(nèi)接或圓外切三角形而與圓聯(lián)系起來。直角三角形邊角關(guān)系可直接用三角正弦、余弦、正切、余切等表達(dá)，并以此進(jìn)行邊角間矛盾統(tǒng)一變換。三角形主要是邊角矛盾統(tǒng)一，通常用正弦、余弦等可將角矛盾化成邊線段量的矛盾，以便邊角矛盾統(tǒng)一。這里幾何角用大寫字母表示，邊線段用小寫字母表示。分號與字符后面的括號用于說明矛盾性質(zhì)或?qū)傩浴?/p>

2．軌跡點(diǎn)矢量用帶箭頭的線段表示，箭頭方向就是點(diǎn)的運(yùn)動方向或矢量方向，長短表示點(diǎn)運(yùn)動的位移、速度參量等大小或矢量大小。它可按需要一分為二，分解成兩個以上的分量。如圖1.3.2所示，平行四邊形帶箭頭的對角線C矢量，可分為平行四邊形帶箭頭的兩個相鄰棱邊A、B或三角形帶箭頭的三個邊A、B、C外加下劃線表示，以表示標(biāo)量或純數(shù)量關(guān)系：

其數(shù)值關(guān)系按三角形邊角關(guān)系計算。

系1：若有矢量A、B、C，矢量C是由相互垂直的矢量A、B合二而一或合成的，則：

如果、間非直角，而是夾角，也是按平行四邊形兩棱邊、對角線，其數(shù)值計算則為：

≒A2sin2θ+（B+Acosθ）2

=A2+B2+2ABcosθ=C2

與三角相鄰兩邊為帶箭頭的兩線段。箭頭頭尾順序相接成三角形，其另一邊則是矢量和，箭頭從頭指向尾。

系2：矢量一分為二的平面坐標(biāo)X、Y上的分量 ，再合二而一為，如圖1.3.3所示。上述式可表達(dá)為：

3．矢量之差（減）。

矢量相減可看成負(fù)或反向矢量相加：、對應(yīng)三角形兩邊相對箭頭，另一邊為其相減矢量，箭頭從尾指向尾。

若矢量一分為二對應(yīng)于平面坐標(biāo)X、Y上的分量 ,，其差合二而一為。上式可表達(dá)為：

4．矢量點(diǎn)乘為標(biāo)積。

矢量與矢量可能有夾角θ，矢量可一分為二為與矢量平行的Bcosθ及與垂直的Bsinθ兩個分量。平行兩矢量點(diǎn)乘沿方向運(yùn)動。點(diǎn)乘表示如下：

矢量與的點(diǎn)乘是其兩線段值與夾角余弦的乘積，即C=ABcosθ。C為標(biāo)量或?qū)崝?shù)，兩矢量夾角等于零時為最大值，兩矢量垂直時等于零，以便建立矢量與標(biāo)量或帶方向幾何量與不帶方向代數(shù)實(shí)數(shù)的關(guān)系。

系：點(diǎn)乘的其他關(guān)系為

5．矢量叉乘為矢積。

兩個矢量可能有夾角θ，矢量可一分為二為與另一矢量平行的Bcosθ及垂直的Bsinθ兩個分量。與垂直的矢量叉乘（對應(yīng)垂直的圓運(yùn)動），如果點(diǎn)乘表示直線或徑向運(yùn)動，而叉乘表示圓運(yùn)動，圓運(yùn)動垂直于徑向，旋轉(zhuǎn)方向按右手四指為圓旋轉(zhuǎn)方向以大姆指為圓運(yùn)動指向。其大小決定兩矢量夾角：

A×B=C

矢量與的叉乘是矢量，其數(shù)值為兩線段值與夾角正弦的乘積，即C=ABsinθ, 的方向垂直于、反時針旋轉(zhuǎn)。兩矢量夾角等于零時C最小并等零。兩矢量垂直則C為最大值。

系：叉乘的其他關(guān)系為

6．混合積。

7．三角形是圖形中最簡單的形狀，因而圓與三角的關(guān)系是幾何基本的關(guān)系。如圖1.3.4所示，半徑r與平面坐標(biāo)圓周交點(diǎn)B的垂線在x軸上的交點(diǎn)為X，構(gòu)成直角三角形△OBX。此半徑r延長至圓周，交點(diǎn)為C點(diǎn)，構(gòu)成直徑d,B點(diǎn)垂線延長至圓周交點(diǎn)為A，所構(gòu)成的△CBA與△OBX是相似直角三角形，各角所對邊用小寫字符表示：

△OBX≈（相似）△CBA

B角為兩個三角形共同的角，其兩邊d/r=c/y=b/x，所以△CBA與△OBX的對應(yīng)邊成同一比例，兩三角形的正弦、余弦等相等。正弦為

sinO=y/r=c/d=sinC

其反面余弦為

cosO=x/r=b/d=cosC

正切為

tanO=sinO/cosO=y/x=c/b=tanC

其反面余切為

cotO=cosO/sinO=x/y=b/c=cotC

8．角的加減變換：

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB

cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

系1：倍角關(guān)系

sin2A=2sinAcosA

cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A

系2：半角關(guān)系

sin（A/2）=± (1-cosA)/2

cos（A/2）=± (1+cosA)/2

系3：降冪關(guān)系

sin2A=（1-cos2A）/2

cos2A=（1+cos2A）/2

系4：等價的三角邊和差關(guān)系變換為角的關(guān)系

sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2）

sinA-sinB=2sin（（A-B）/2)cos（（A+B）/2）

cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）cos（（A-B）/2）

cosA-cosB=-2sin（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）

9．圓周任意三點(diǎn)連（弦）線的三角形a、b、c為圓內(nèi)接三角形。△ABC各邊a、b、c垂直平分線交點(diǎn)為圓心O。三個角之和等于π。

△ABC的三個角之和為：

∠A+∠B+∠C=∠OAC+∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCA+∠OCB=（π/2-∠bOA）+（π/2-∠cOA）+（π/2-∠cOB）+（π/2-∠aOB）+（π/2-∠aOC）+（π/2-∠bOC）=3π-2π=π

10．如圖1.3.5所示，在圓內(nèi)接三角形中，直徑為斜邊d=2r，對應(yīng)的△A′BC為直角三角形。若B角為直角，則其所對的邊是直徑，即d=2r。圓內(nèi)接任意三角形各邊a、b、c，其一邊即圓之一弦a對應(yīng)兩三角形△ABC與△A′BC中的∠A=∠A′。可通過角關(guān)系證明。實(shí)際上所有圓內(nèi)接三角形對同一弦的角，如對應(yīng)角∠A（∠A′、∠A"、…）相等。

11．圓內(nèi)接任意三角形的三個頂角A、B、C，所對應(yīng)的三邊a、b、c，其正弦關(guān)系為：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=d

如a弦對應(yīng)的∠A與∠A′相等，從而sin∠A=sin∠A′=a/d，同理，sin∠B=b/d, sin∠C=c/d。

12．圓內(nèi)接三角形的余弦關(guān)系為：

a 2=b2+c2-2bccosA

b 2=a2+c2-2accosB

c2=a 2+b 2-2abcosC

其中若有一角如A為直角時，則a2=b2+c2。

13．圓內(nèi)接三角形的∠A角所對弦a與其圓周交點(diǎn)切線夾角等于∠A，而圓周與弦a交點(diǎn)的半徑間夾角等于2∠A。可以化成切線垂直直徑對a所對應(yīng)直角三角形∠A′=∠A來證明。例如，若以上圖B點(diǎn)作切線e,e與a的夾角為：

∠eBa=π/2-∠OBC=π/2-∠OCB=∠A′=∠A

14．如圖1.3.6所示，圓周三點(diǎn)切線（即與半徑垂直的直線）延長線的交點(diǎn)構(gòu)成外切三角形（三點(diǎn)中有兩點(diǎn)是在直徑圓周兩交點(diǎn)除外），其頂角A、B、C角平分線相交于圓心。以圓心到頂角A連線所分的兩三角形的公共邊與垂直線半徑形成的兩直角三角形相等，兩個鄰角相等，即這條線為角的平分線。同理B、C的角平分線也是如此。

外切三角形三個角平分線交到圓心。否則三角形的三個角之和不是π。如圓外切三角形的角A所對應(yīng)切點(diǎn)半徑夾角為：

∠A=2（π-π/2-∠cOA）=π-2∠cOA

∠B=π-2∠cOB

∠C=π-2∠bOC

∠A+∠B+∠C=3π-2（∠cOA+∠cOB+∠bOC）=3π-2π=π

15．長方形的面積為邊長線段a、b的乘積，即S=ab。而三角形的面積是底a乘高h的一半（相當(dāng)于同底等高的方形面積的一半），即S=ah/2。圓面積S=πr2（相當(dāng)于弧為底，半徑為高的微三角形的積分）。球面積為S=4πr2。

立方體的體積為立方體邊長線段a、b、c的乘積，即V=abc。同理，三角形的面積ah/2,a為底，h為高，三角形柱的體積V=abh/2。底為圓的面積為πr2，高為h，圓柱體的體積V=πr2h。球體積為V=4πr3/3。

第二節(jié) 解析幾何

直線是方向不變而數(shù)值可變的連續(xù)運(yùn)動軌跡的極端形式。而圓是數(shù)值不變而方向連續(xù)變化的運(yùn)動軌跡的另一極端形式，介于兩者之間的是一般曲線，典型的如橢圓、雙曲線、拋物線、螺旋線等。如果圓心不動的圓周運(yùn)動軌跡，改變?yōu)閳A心移動的，這時運(yùn)動軌跡會變得很復(fù)雜。如果圓心速度垂直圓周平面，則構(gòu)成沿速度方向的螺旋線運(yùn)動狀態(tài)，高速時為等價磁力線狀態(tài)。當(dāng)圓心速度在圓平面上，那么成型圓周相對圓心速度始終存在正反向狀態(tài)，迫使圓心沿圓、橢圓、圈態(tài)、弦等曲線運(yùn)動。圓心達(dá)到光速時，成型半徑接近零并沿直線運(yùn)動。

為了簡單起見，解析幾何只討論圓與直線間的參考坐標(biāo)系上兩定點(diǎn)距離和為一常數(shù)的運(yùn)動點(diǎn)軌跡之橢圓線，兩定點(diǎn)距離差為一常數(shù)的運(yùn)動點(diǎn)軌跡之雙曲線，一定點(diǎn)與到一直線距離相等的運(yùn)動點(diǎn)軌跡之拋物線與若干角位移與矢徑成一定關(guān)系之螺旋線等簡單典型的曲線。甚至典型曲面及其包圍曲面體，以及這些曲線、曲面及其包圍的曲面體的參考坐標(biāo)系的方程表示方法。

1．矢量可一分為二為相互垂直坐標(biāo)上的分量，兩分量加減合二而一可簡化矢量計算。方向通常經(jīng)過參考物所設(shè)為原點(diǎn)與水平線的角度變換為長度參量，如正弦、余弦等來表示。相對水平線角度與三角形密切相關(guān)。如原點(diǎn)或圓心O垂直坐標(biāo)軸x、y，圓心右邊x水平軸為正值，左邊為負(fù)值-x，上部y軸為正值，下部軸為負(fù)值-y。半徑r在圓周上的點(diǎn)B在兩軸的垂線值x、y構(gòu)成直角三角形△OBx，三條邊為y、x、r，即

y;（+）x≧r

≒y2+x2=r2

系：平面極坐標(biāo)用從O引出的射線r與x軸的夾角?表示。三角幾何點(diǎn)的軌跡合二而一：

rsin?;rcos?≧z

≒r2cos2?+r2sin2?=r2=z2

上式中的z是x、y或r、?的矢量參量z（x、y）或z（r、?）。

為了簡化，常采用二維4個象限描述，三角函數(shù)用圓半徑r對應(yīng)兩個垂直軸垂線值x、y，其比值跟角度?的函數(shù)關(guān)系為：

x2+y2=r2sin2?+r2cos2?=r2

此公式中的r不變時為圓周軌跡或圓周曲線。

2．如圖1.3.7所示，如果矢量一分為二，矛盾的另一面再一分為二而構(gòu)成x、y、z三維分量，那么f（x、y、z）為合成矢量。可見矢量是一定矛盾統(tǒng)一的關(guān)系式：

（x:y）:z≧f

≒x+y+z=f

≒x2+y2+z2=f 2

為了更好地表達(dá)實(shí)物的立體形狀與變化，引進(jìn)了帶方向的垂直坐標(biāo)x、y、z來描述簡單矢量與空間曲線變化。

系1：矢量改變量及其對時間的比值可表示為：

Δx+Δy+Δz=Δf

Δx/Δt+Δy/Δt+Δz/Δt=Δf/Δt

系2：描述圓柱、圓錐之類的圖形，引進(jìn)了圓柱坐標(biāo)r、?、z表示法，其中x=rsin?、y=rcos?，則

（x;y）:z≧f

∨（rsin?;rcos?):z≧f

≒r2cos2?+r2sin2?+z2=f 2

系3：為了方便描述球體圖形引進(jìn)了球面坐標(biāo)R、θ（緯度）、?（經(jīng)度）表示法，x=Rcosθsin?,y=Rcosθcos?,z=Rsinθ。這三類坐標(biāo)表示之間可互相變換，如x=rsin?統(tǒng)一關(guān)系可分別表示為：

（x;y）:z≧f

∨（Rcosθsin?;Rcosθcos?）:Rsinθ≧f

≒R2cos2θsin2?+R2cos2θcos2?+R2sin2θ=f 2

其自變參量間的矛盾統(tǒng)一關(guān)系如上所述。

3．物質(zhì)自然成型來自于渦旋運(yùn)動，而渦旋運(yùn)動可一分為二為圓周相對圓心正反運(yùn)動，圓周左右旋與徑向正反運(yùn)動等。圓周相對圓心的運(yùn)動方向始終存在正反兩側(cè)，即同向側(cè)彌散與反向側(cè)濃縮而使渦旋由同向側(cè)趨向反向側(cè)運(yùn)動。從而渦旋體通常作曲線，即作圓、橢圓、圈態(tài)、弦等運(yùn)動。只有大量不規(guī)則運(yùn)動渦旋體組成的宏觀物體才作靜止或勻速直線運(yùn)動。因此牛頓力學(xué)慣性只是宏觀物體或機(jī)械運(yùn)動的屬性。

渦旋個體包括微觀粒子或宇觀天體等，運(yùn)動的圓周對圓心速度始終存在正反運(yùn)動的兩側(cè)，圓心運(yùn)動速度快慢影響圓周運(yùn)動狀態(tài)。圓心靜止作圓運(yùn)動的物質(zhì)系統(tǒng)，但圓心以某個速度運(yùn)動則變成橢圓運(yùn)動或更復(fù)雜的運(yùn)動。設(shè)想圓心變成橢圓前沿焦點(diǎn)（兩焦點(diǎn)之一），隨著圓心速度增大，橢圓愈來愈扁，即離心率愈大或壓縮系數(shù)愈小。渦旋運(yùn)動的另一個特點(diǎn)是離圓心愈遠(yuǎn)圓周線速度愈大，直至光速，也就是說圓周光速是渦旋實(shí)體的極限半徑或范圍。中心速度愈大，渦旋體半徑或范圍愈小。光速時接近一條直線上點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)。

直線點(diǎn)軌跡是方向不變的矢量運(yùn)動，而中心不動圓周點(diǎn)軌跡是數(shù)值不變方向連續(xù)改變的矢量運(yùn)動。這兩類極端情況的軌跡用坐標(biāo)投影的連續(xù)函數(shù)或方程描述更方便些。函數(shù)（因變數(shù)）及其自變數(shù)可以是標(biāo)量，也可以是矢量。連續(xù)矢量變化的軌跡，如圓、橢圓與其他曲線用函數(shù)及其方程描述是較佳的數(shù)學(xué)方法，如解析幾何方法。

解析幾何建立在靜止坐標(biāo)上點(diǎn)曲線移動描述與計算基礎(chǔ)上，把圖形投影在坐標(biāo)上，并用靜止坐標(biāo)關(guān)系式來表達(dá)基本圖形的關(guān)系，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡若是直線，可用其坐標(biāo)分量一次方程描述，如：

ax+by+k=0

∨ax+by+cz+k=0

4．對于圓、橢圓及一般曲線、曲面來說，各點(diǎn)狀態(tài)也可用靜止坐標(biāo)分量二次與一次性方程混合表示，如：

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+k=0

∨ax2+by2+cz2+2fyz+2gzx+2hxy+2px+2qy+2rz+k=0

對于圓、橢圓、雙曲、拋物、螺旋典型線、面，軌跡坐標(biāo)分量描述方程可以簡化。曲直矛盾統(tǒng)一可用曲率或離心率描述。一般曲線、曲面辯證關(guān)系具有靜止坐標(biāo)二次與一次混合性質(zhì)，即通常是二次與一次方程式。

5．如圖1.3.8所示，靜止平面坐標(biāo)上的橢圓是平面上到兩定點(diǎn)的距離之和為常值的點(diǎn)運(yùn)動之軌跡。橢圓的四個頂點(diǎn)為A、B、C、D，長短軸交點(diǎn)或中心為G（x=0,y=0），長軸與短軸分別為：

AB=2a或a=GA=GB

CD=2b或b=GC=GD

焦點(diǎn)為：

F1F2=GF1+GF2=2c

焦距為：

曲直矛盾統(tǒng)一可用離心率e=c/a<1或壓縮系數(shù) 表示。當(dāng)e=0或μ=1時為圓。橢圓上一點(diǎn)M對焦點(diǎn)即兩定點(diǎn)距離稱為半徑，MF1=r1=a-ex、MF2=r2=a+ex。由橢圓曲線定義：

移項平方，經(jīng)過整理可得到：

系1：橢圓中心G不在坐標(biāo)原點(diǎn)，而是g、h時，方程為：

（x-g）2/a2+（y-h）2/b2=1

系2：橢圓半徑之和為常數(shù)，即r1+r2=2a，橢圓周長。橢圓面積S=πab。

系3：橢圓旋轉(zhuǎn)軸設(shè)在b軸上的轉(zhuǎn)動慣量J=ma2/4，其中m為橢圓均勻分布的總質(zhì)量。

系4：中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上（x=0、y=0、z=0）的橢圓錐面方程為：

若a=b，則成圓錐面，即x/a-z/c=0平面上直線的旋轉(zhuǎn)面。圓錐體積V=πa2h/3。質(zhì)量均勻分布圓錐體繞z軸旋轉(zhuǎn)慣量為J=3a2m/10。

系5：中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上（x=0、y=0、z=0）的橢圓柱面方程為：

x/a;（+）y/b≧1

≒x2/a2+y2/b2=1，且z=h

若a=b，則成為圓柱面。體積V=πa2h。質(zhì)量分布均勻的圓柱體繞z軸旋轉(zhuǎn)慣量J=a2m/2。

6．靜止平面坐標(biāo)上的雙曲線是指一動點(diǎn)移動與平面上兩個定點(diǎn)或焦點(diǎn)的距離差的絕對值始終為一定值時所構(gòu)成的軌跡，如圖1.3.9所示。在G為原點(diǎn)的x、y平面坐標(biāo)雙曲線x實(shí)軸上，頂點(diǎn)距離AB=2a。A、B垂線與漸近線y=±bx/a交點(diǎn)連線在虛軸y上的交點(diǎn)CD=2b。焦距。離心率e=c/a>1。焦點(diǎn)半徑r1=±（ex-a）,r2=±（ex+a）。雙曲線x、y合二而一方程可類似橢圓方法由定義求得

b2x2-a2y2=a2b2

x2/a2-y2/b2=1

可見解析幾何平面曲線軌跡可一分為二于x、y分量上表示。

7．如圖1.3.10所示，靜止平面坐標(biāo)上到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線。其中定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)F，定直線叫拋物線的準(zhǔn)線L。拋物線在平面坐標(biāo)x、y合二而一方程為

y2=2px

r=p/（1-cosθ）

其中，p為焦點(diǎn)參數(shù)，等于過焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦CD之長的一半。

θ為拋物線上點(diǎn)（x、y）到焦點(diǎn)連線r與x軸的夾角。x主軸上的焦點(diǎn)為F。

點(diǎn)運(yùn)動軌跡基本曲線除橢圓、雙曲、拋物線類型通常可分解為平面x、y分量描述，拋物線的焦點(diǎn)F，直線L為拋物線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)F不在定直線L上。它與橢圓、雙曲線的定義相仿，只是比值（離心率e）不同，當(dāng)e=1時為拋物線，當(dāng)0<e<1時為橢圓，當(dāng)e>1時為雙曲線。

8．如圖1.3.11所示，若靜止平面坐標(biāo)上螺旋曲線為一動點(diǎn)以常速υ沿一射線運(yùn)動，而這一射線又以定速度ω繞極點(diǎn)O轉(zhuǎn)動時，該動點(diǎn)可一分為二為射線徑r與轉(zhuǎn)過角度θ形成的軌跡。曲線相對x軸對稱。射線徑r與旋轉(zhuǎn)過角度θ正比的合二而一方程為：

r=υθ/ω=αθ

式中，α為常數(shù)。過極點(diǎn)的射線與曲線交點(diǎn)的半徑射線線段距離相等。曲率半徑為：

R=α（θ3+1）3/2（/θ2+2）

此射線等距螺旋曲線又稱阿基米德曲線。

系1：如果螺旋穿過極點(diǎn)射線徑長r與螺旋過角度θ成反比的螺旋線方程為r=α/θ，稱為雙曲螺旋線。

系2：如果螺旋穿過極點(diǎn)射線徑長r與螺旋過角度θ開方成反比的螺旋線方程為r=α/，稱為連鎖螺旋線。

9．對數(shù)螺旋線又稱等角螺旋線。若一條曲線在每個點(diǎn)P的切矢量都與某定點(diǎn)O至此點(diǎn)P所成的矢量夾成一定角，且定角α不是直角，則此曲線稱為一條等角螺線，點(diǎn)軌跡稱為等角螺線、對數(shù)螺線或生長螺線，它是在自然界常見的螺線。靜止平面極坐標(biāo)系（r,θ）中，等角螺旋曲線上過點(diǎn)P的切線與過極點(diǎn)的射線在該點(diǎn)P的交角都等于α。直接用射線徑r與轉(zhuǎn)過角度θ兩量的合二而一方程為：

r=αeκθ

這個曲線也可以寫為：

θ=（1/κ）ln（r/α）

因此也稱對數(shù)螺旋線。其中κ=cotα。

過極點(diǎn)的射線與曲線交點(diǎn)的距離由里到外等比（公比e2πκ）地遞增。弧長。曲率半徑。若θ→-∞，曲線沿順時針方向繞極點(diǎn)而趨于極點(diǎn)。α=π/2時，曲線為圓。

系：渦旋運(yùn)動點(diǎn)軌跡通常也是螺旋線運(yùn)動，而螺旋線有若干類型，但滿足角動量守恒，即rω=k（常數(shù)）才是最基本螺旋線。

10．球面坐標(biāo)中R為球心到球面的半徑R，球面經(jīng)度用?表示，緯度用θ表示。球面上點(diǎn)為：

球半徑為R，球面積S=4πR2，球體積V=4πR3/3。質(zhì)量均勻分布球體繞z軸旋轉(zhuǎn)慣量為：

J=2R2m/5

11．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)（x=0、y=0、z=0）的橢球面方程為：

x/a;（+）y/b;（+）z/c≧1

≒x2/a2+y2/b2+z2/c2=1

若a=b=c就是上面所述的球面。

系1：當(dāng)a=b，且c<a，則構(gòu)成繞z軸旋轉(zhuǎn)的鐵餅形狀。鐵餅體積V=4πa2c/3。質(zhì)量均勻分布的鐵餅體繞z軸旋轉(zhuǎn)慣量為J=2a2m/5。

系2：當(dāng)a=b，且c>a，則構(gòu)成豎橄欖或豎橢球形狀。豎橄欖體積V=4πa2c/3。質(zhì)量均勻分布的豎橢球體繞z軸旋轉(zhuǎn)慣量為J=2a2m/5。

系3:a>b>c，則是一般的橢球形狀。橢球體積V=4πabc/3。質(zhì)量均勻分布的橢球體繞z或c軸旋轉(zhuǎn)慣量為J=2（a2+b2）m/5。

12．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)（x=0、y=0、z=0）的雙曲面方程為：

x/a;（+）y/b;（-）z/c≧±1

≒x2/a2+y2/b2-z2/c2=±1

系1：方程中a=b時，相當(dāng)于雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)。

系2：方程中±1取+1為單葉雙曲面，取-1為雙葉雙曲面。

13．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)（x=0、y=0、z=0）的拋物面方程為：

z=x2/a2±y2/b2

系1：方程中取正時為橢圓拋物面，取負(fù)時為雙曲拋物面。

系2：當(dāng)a=b且方程取正時，z=（x2+y2）/a2，為拋物線旋轉(zhuǎn)面。

系3：當(dāng)a=b且方程取正時，高度為h的拋物面所包圍的體積V=πa2h/2。

第三節(jié) 動態(tài)幾何

解析幾何主要討論靜止的空間三維或平面二維坐標(biāo)系上物質(zhì)運(yùn)動軌跡的典型曲線幾何圖像描述方法。黎曼幾何則是n維空間幾何，廣義相對論應(yīng)用它構(gòu)成四維復(fù)數(shù)時空與張量。拓?fù)鋷缀沃饕懻擁旤c(diǎn)數(shù)、棱邊數(shù)及其分割面數(shù)相同變換等價圖形。也就是說拓?fù)鋷缀沃匮芯繄D形間的點(diǎn)、線、面的關(guān)系及其變換，而不管具體形狀。實(shí)際上量度參考坐標(biāo)系間通常是相對運(yùn)動的，同一事物的圖像，在相對運(yùn)動時空坐標(biāo)間的量度是不同的，甚至?xí)r空也存在不同或變化。

同一物質(zhì)系統(tǒng)應(yīng)該以同一量來表示。因而同一物質(zhì)系統(tǒng)在相對運(yùn)動參考系間至少有一個以上的不變量，那么據(jù)此可以較方便地進(jìn)行參考坐標(biāo)間的變換。以往設(shè)時間與空間同一性或不變性來進(jìn)行其他量圖像的變換，這樣圓形在這些坐標(biāo)間仍然不變。但實(shí)際情況沒那么簡單，如狹義相對論則假設(shè)光速在相對勻速直線運(yùn)動的坐標(biāo)間具有同一性或不變性，這樣時空就不是同一或不變的。靜止參考坐標(biāo)系上的圓在其他相對運(yùn)動的坐標(biāo)系上就不是原來的圓形，而是不同的橢圓形等。

有沒有更普遍的相對運(yùn)動參考坐標(biāo)間的物質(zhì)系統(tǒng)不變量呢？經(jīng)過長期考察與思考，確認(rèn)物質(zhì)不生不滅性及其量度質(zhì)量才是根本同一量或不變量。而且新意義的質(zhì)能正比關(guān)系，相應(yīng)總能也具有同一性和不變性。在一定條件下，可以得出時空不變性或光速不變性。質(zhì)量與時間、空間長度、角度是獨(dú)立的基本量度，都有基本單位。與三角幾何的邊、角是基本量，解析幾何的坐標(biāo)X、Y、Z分量表示基本量類似，動態(tài)幾何即相對運(yùn)動坐標(biāo)參考系以質(zhì)量、能量及其時間、空間長度、角度等為基本量。

1．?dāng)?shù)理辯證邏輯指出，數(shù)來源于計數(shù)與量度，同一系統(tǒng)在相對運(yùn)動參考坐標(biāo)系間量度某些量A是相同的，另一些與參考坐標(biāo)系運(yùn)動有關(guān)的量B是不同的或變化的，其矛盾統(tǒng)一必引出另一些與參考坐標(biāo)系無直接關(guān)系的量C作補(bǔ)償，使其和等于A，以滿足系統(tǒng)同量A仍然不變。可用等式等價表示，即

B;C≧A

≒A=B;（+、-）C

如果存在相對運(yùn)動任何參考坐標(biāo)系間的系統(tǒng)不變量，如E，又存在隨坐標(biāo)系量度而不同的量，如Ea，這個矛盾統(tǒng)一，只能推出存在相反性質(zhì)另一些量，如Eb，使其和為不變量E：

E;（-）Ea≧Eb

≒E-Ea=Eb

E=Ea+Eb

如物質(zhì)不滅性，孤立或?qū)ν饨粨Q平衡同一物質(zhì)系統(tǒng)對于任何參考系量度的物質(zhì)量之質(zhì)量m都不應(yīng)該不同或改變。根據(jù)質(zhì)能關(guān)系，該系統(tǒng)總能與其質(zhì)量成正比，即E=mc2，從而總能也是同一或不變的。

系：相對勻速直線運(yùn)動（簡稱慣性）參考坐標(biāo)系間量度同一物質(zhì)系統(tǒng)的動能Ea=mv2/2是不同的，而總能E=mc2又是統(tǒng)一的。該矛盾統(tǒng)一，必定存在另一與參考坐標(biāo)系運(yùn)動無直接關(guān)系的能量Eb，如內(nèi)能或標(biāo)能，與動能之和等于總能，以解決矛盾或統(tǒng)一矛盾。

2．由矢量定義的能量稱為矢量能，如平動能mυ2/2、渦旋能Jω2/2、轉(zhuǎn)動能等。由標(biāo)量定義的能量稱為標(biāo)能，如位能mgl、內(nèi)能kT、變換能hv/2等。總能通常由這兩類能量組成的，如：

E=Ea+Eb

總能一分為二且等于周期變換能E♂≡hv/2與動能mc2/2之和。能比等于1/2的場質(zhì)粒子，稱為量子，即

E=mc2≦mc2/2;（+）hv/2≧hv

≒mc2=mc2/2+hv/2=hv

hv/2=mc2/2

∵c=λv=λ/τ

∴p=mc=hv/c=h/λ

可見德布羅意波公式的本質(zhì)在于量子或粒子周期性變換運(yùn)動。

3．粒子或量子經(jīng)過介質(zhì)時，發(fā)生交換。其交換周期與頻率決定于量子或粒子變換周期τ與頻率v，但交換能量由總能至少減去其平動能與周期變換能，即

E♀=mc2-mv2/2-hv/2=m（c2-v2）=mc（2 1-v2/c2）

其中對于穩(wěn)定量子或粒子來說mυ=hv/υ=h/λ。速度愈高交換能愈小，達(dá)到光速時交換能等于零，只有平動能與周期變換能，且二者相等。

4．光源坐標(biāo)系（不考慮介質(zhì)）上量子變換能為：

hv/2=mc2/2=m（Δι/Δt）2/2

相對光源運(yùn)動慣性參考坐標(biāo)系，質(zhì)量或總能（甚至占總能一半的變換能）不因量度參考坐標(biāo)系相對運(yùn)動而改變。可通過坐標(biāo)時空變換等價來實(shí)現(xiàn)，如能量變換的時空關(guān)系，光子能量一分為二：

mc2≦hv/2;（+）mc2/2

≒mc2=hv/2+mc2/2=m（Δι/Δt）2/2+hv/2

mc2≦mc'2/2;（+）hv/2;（+）mυ2/2

≒mc2=m（Δι'/Δt'）2/2+hv/2+mυ2/2

光子質(zhì)量或總能不變的情況下，相對光源運(yùn)動參考坐標(biāo)系的光子總能是動能、變換能，加上光源相對運(yùn)動參考坐標(biāo)系引起的動能。光量子總能不變性使上兩式相等：

m（Δι'/Δt'）2/2=mc2-hv/2-mv2/2

=mc2-mc2/2-mv2/2=mc（2 1-v2/c2）/2

=m（Δι/Δt）（2 1-v2/c2）/2

上式表示相對發(fā)射源勻速運(yùn)動參考坐標(biāo)系所量度的光量子速度。

系1：相對光源以速度υ運(yùn)動參考坐標(biāo)系所量度時間，當(dāng)位移Δι'=Δι時，則：

相對光源運(yùn)動慣性參考系（光）時間延長或變慢。

系2：當(dāng)Δt'=Δt時，則：

相對光源運(yùn)動慣性參考系（光）位移距離縮短。

系3：洛倫茲變換可知運(yùn)動著的尺在運(yùn)動方向上縮短（洛倫茲收縮）等價。

可見相對論時空變換或洛倫茲變換收縮的本質(zhì)是相對光源運(yùn)動慣性參考坐標(biāo)系光量子總能不變的情況下慣性參考坐標(biāo)系間動能變換引起時間或空間變換。

5．如果相對光源慣性參考坐標(biāo)系光量子速度為。在沒有外力作用下慣性參考坐標(biāo)系間動量變換守恒，速度變換可改為，假設(shè)光速不變性，則速度變化屬性等價地轉(zhuǎn)移到相對論質(zhì)量變化中去，即

式中，m’代表光量子速度變化轉(zhuǎn)移為質(zhì)量變化的轉(zhuǎn)移質(zhì)量，相對論公式為：

兩等價式中相對論靜止質(zhì)量m0=m'。

慣性坐標(biāo)系相對光源坐標(biāo)系運(yùn)動光速改變而動量不變性等價于相對論質(zhì)量改變而光速不變。可見相對論光速不變性原理的本質(zhì)是光速隨慣性坐標(biāo)系改變屬性轉(zhuǎn)移到相對論靜止質(zhì)量改變的等價方法。

6．相對加速直線運(yùn)動參考坐標(biāo)系所量度的同一物質(zhì)系統(tǒng)動能是增加變化的，而總能又是同一的，必定存在另一與參考坐標(biāo)系運(yùn)動無直接關(guān)系的能量，如內(nèi)能或標(biāo)能以相反方式減少變化。即標(biāo)能在坐標(biāo)變換的同時也變換為動能，等價于相互作用力的作用。

動能連續(xù)變化的改變量對位移改變量比值導(dǎo)數(shù)定義為力：

F≡ΔE/Δι

這個力是因參考坐標(biāo)系變換引起的，稱為慣性力。其他彈性作用力則以交換形式將動能傳遞給受力物體，受力物體再將其他能量，如位能、標(biāo)能等交換給施力物體，并構(gòu)成相互作用。可見相互作用的本質(zhì)是動能與其他能量交換。

7．力是運(yùn)動趨勢引起動能變化梯度量度，其與加速度的關(guān)系式為：

F=ΔE/Δι=Δmυ 2/2Δι=Δmυ/Δt=mΔυ/Δt=ma

相對論為了滿足相對性原理，即牛頓力學(xué)形式保持不變性，即

≒F=m'a0

其中m’為相對論靜止質(zhì)量或慣性質(zhì)量，a0為牛頓力學(xué)加速度。物性數(shù)學(xué)作用力與牛頓作用力等價則得：

F=ma=m'a0

a=a0 1-υ2/c2

上式指出實(shí)物加速度隨速度增大而減少，速度增至光速時，加速度等于零，意味著光速及其以上不同性質(zhì)場質(zhì)間不相互作用或疊加不相干。同性質(zhì)場質(zhì)疊加靠其連續(xù)可入性趨勻引起平衡趨勢而運(yùn)動。

可見相對論的相對性原理其本質(zhì)是將物質(zhì)高速運(yùn)動加速度屬性轉(zhuǎn)移到相對論靜止質(zhì)量上的一種等價方法或者說相對論通過時空變換將牛頓力學(xué)推廣到高速運(yùn)動的一種等價方法。在光速與極限速度之間的場質(zhì)狀態(tài)，由于光速運(yùn)動量子含有周期變換，只有同步運(yùn)動場質(zhì)才發(fā)生連續(xù)可入性運(yùn)動趨勻過程中引起變化，而不同步或不同場質(zhì)之間不發(fā)生相互作用或影響。

8．光速是實(shí)物極限速度，而場質(zhì)是大于等于光速連續(xù)物質(zhì)狀態(tài)。如果實(shí)物周圍場質(zhì)運(yùn)動的矛盾統(tǒng)一描述為三維空間自變量x、y、z的分量，加上時間自變量t，乘光速作為標(biāo)量虛數(shù)維與矢標(biāo)量空間三維混合表示的四維時空，其共軛為：

上式可以看成矢量平方變化建立在光速基礎(chǔ)上的場質(zhì)運(yùn)動狀態(tài)。

位移矢量改變量可表達(dá)為f：

∨Δx2+Δy2+Δz2+c2Δt2=Δf 2

位移矢量對時間微量比值速度為：

即系統(tǒng)速度平方。若乘以m/2，則成兩項動能之和的總能，即

mv2/2+mv2/2=mǔ2/2≤mc2

可以表達(dá)為實(shí)物周圍場質(zhì)狀態(tài)都在光速以上運(yùn)動狀態(tài)。

系1：速度υ是相對光速運(yùn)動坐標(biāo)系變換速度，速度c是光速，合二而一為相對運(yùn)動坐標(biāo)系量度的場質(zhì)速度ü。

系2：若速度υ是變化的或加速的，a=Δυ/Δt可以作為加速場質(zhì)運(yùn)動狀態(tài)的描述。其加速度a與速度υ的關(guān)系可擴(kuò)大到場質(zhì)的物質(zhì)極限速度或廣義極限速度，即：

系3：若速度υ是旋轉(zhuǎn)線速度υ=rω，可以作為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動場質(zhì)運(yùn)動狀態(tài)的描述。

系4：如果周圍場質(zhì)相對光速的速度υ=c時，為場質(zhì)或物質(zhì)極限速度或稱廣義極限速度，此時系統(tǒng)處于廣義極限速度物質(zhì)狀態(tài)。

9．任一運(yùn)動參考坐標(biāo)系之間進(jìn)行變換，前面加一個系數(shù)：

位移矢量對時間微量比值速度為：

可見四維時空實(shí)質(zhì)上是場質(zhì)時空。它從某種意義上相當(dāng)于n維黎曼幾何特例。但時間維以虛數(shù)表示，使整式是矢量與標(biāo)量復(fù)數(shù)。不同系數(shù)反映相對運(yùn)動參考系之間的變換關(guān)系。這是廣義相對論所使用的基本數(shù)學(xué)工具。

10．場質(zhì)為光速以上物質(zhì)狀態(tài)，相對同一角速度而不同圓周上運(yùn)動所量度同一物質(zhì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動能mu2/2是不同的，但總能E=mc2又是同一的，必定存在另一與參考坐標(biāo)系運(yùn)動無直接關(guān)系的能量，如旋轉(zhuǎn)趨勢能或標(biāo)能。離中心愈近（υ=ωr）旋轉(zhuǎn)動能愈小，旋轉(zhuǎn)徑向交換能愈大。表明離中心愈近交換愈強(qiáng)，離中心愈遠(yuǎn)交換愈弱，無窮遠(yuǎn)或更準(zhǔn)確地說達(dá)到極限速度范圍時交換能等于零。因此場質(zhì)渦旋向心濃縮成點(diǎn)狀態(tài)，并表示為點(diǎn)：

u=v+ic=rω+ic

∨u2=（rω+ic）（rω-ic）=r2ω2+c2≤2c2=￠2

系1：同一系統(tǒng)質(zhì)量m或總能E（=mu2/2+交換能）相同，而不同角速度產(chǎn)生不同旋轉(zhuǎn)動能，角速度愈大，離中心相同距離的旋轉(zhuǎn)動能愈大，愈趨向中心交換能愈小或愈弱。

系2：中心速度愈大，趨向中心交換能量愈小或愈弱意味著濃縮質(zhì)量愈小，相應(yīng)質(zhì)量密度愈低。或者說系統(tǒng)速度愈大，相應(yīng)質(zhì)量密度愈低。場質(zhì)運(yùn)動速度是大于等于光速的，因此為質(zhì)量密度低的物質(zhì)狀態(tài)。

11．如果相對角加減速度參考系對系統(tǒng)總能不變性的話，相對旋轉(zhuǎn)參考坐標(biāo)系角減速度運(yùn)動，ω變小，相同離心距離的系統(tǒng)交換能變大或質(zhì)量密度提高，即具有向心或濃縮屬性。濃縮性旋轉(zhuǎn)物質(zhì)系統(tǒng)周圍實(shí)際上是向心螺旋線運(yùn)動，可以一分為二為正向旋轉(zhuǎn)與向心徑向兩個分量運(yùn)動。系統(tǒng)由連續(xù)物質(zhì)處于這類運(yùn)動狀態(tài)稱濃縮性渦旋。具有帶負(fù)電或電子型或得質(zhì)量狀態(tài)的場質(zhì)特性。

相對旋轉(zhuǎn)參考坐標(biāo)系角加速度運(yùn)動，ω變大，相同離心距離的系統(tǒng)交換能或質(zhì)量密度降低，即具有彌散屬性。彌散性旋轉(zhuǎn)周圍實(shí)際上是螺紋線背心運(yùn)動，可以一分為二為反向旋轉(zhuǎn)與背心徑向兩個分量運(yùn)動。系統(tǒng)由連續(xù)物質(zhì)處于這類運(yùn)動狀態(tài)稱彌散性渦旋。具有帶正電或空穴型或失質(zhì)量狀態(tài)的場質(zhì)特性。

12．渦旋體中心不存在無窮大質(zhì)量而必運(yùn)動，即圓心通常存在速度。而場質(zhì)圓心光速外側(cè)同向速度疊加而具有彌散趨勢，里側(cè)反向速度疊加而具有濃縮趨勢，使其具有外側(cè)向里側(cè)運(yùn)動的趨勢。旋轉(zhuǎn)場質(zhì)也有引起沿向心徑向移動的趨勢。這樣，中心運(yùn)動渦旋體是沿著曲線，甚至圓或橢圓運(yùn)動或弦或圈態(tài)運(yùn)動。這也是廣義相對論空間彎曲的本質(zhì)所在。

中心速度愈大移動半徑愈大，速度達(dá)到光速，則移動軌跡接近直線運(yùn)動。而且渦旋半徑或體積隨速度增大而減少，達(dá)到光速時接近于一個點(diǎn)。場質(zhì)渦旋中心運(yùn)動速度是光速，所作圓或橢圓等為非常大的曲線運(yùn)動，近直線運(yùn)動。移動中引起動能改變對位移導(dǎo)數(shù)力的大小跟渦旋體相對中心運(yùn)動差異密切相關(guān)而非常微弱。從而得出結(jié)論：場質(zhì)渦旋隨中心速度增加而體積變小，運(yùn)動軌跡為變直的運(yùn)動。光速時成為點(diǎn)的勻速直線運(yùn)動，即具有高速運(yùn)動連續(xù)物質(zhì)形態(tài)。

13．場質(zhì)跟實(shí)物一樣，總能或質(zhì)量不變的情況下，渦旋體中心或原點(diǎn)勻速平動與勻角速度旋轉(zhuǎn)相對運(yùn)動參考坐標(biāo)系，中心速度愈大或角速度愈大，動能愈大，從而濃縮交換能愈小，趨于彌散，則質(zhì)量密度愈小。或者說能密度趨勻下，速度或角速度愈大，質(zhì)量密度愈小。

反之總能或質(zhì)量不變情況下，渦旋體中心或原點(diǎn)勻速平動與勻角速度旋轉(zhuǎn)相對運(yùn)動參考坐標(biāo)系，中心速度愈小或角速度愈小，動能愈小，從而濃縮交換能愈大，趨于濃縮，則質(zhì)量密度愈大。或者說能密度趨勻下，速度或角速度愈大，質(zhì)量密度愈小。如下式：

w=ρ（υ2+r2ω2）/2

對于場質(zhì)來說上式速度等于光速，即υ=c。

14．渦旋體相對中心加速平動與旋轉(zhuǎn)角加速運(yùn)動參考坐標(biāo)系，則速度變大，動能變大，交換能變小，具有彌散趨勢，質(zhì)量密度變小趨勢。反之渦旋體相對中心減速與旋轉(zhuǎn)角減速，速度變小，動能變小，交換能變大，具有濃縮趨勢，質(zhì)量密度變大趨勢。

系1：中心變速與角變速度相反，質(zhì)量密度或范圍可以保持不變的交變運(yùn)動狀態(tài)。

系2：速度與角速度周期性變換實(shí)際上就是平動能與渦旋能周期性變換。在一定條件下（如建立光速基礎(chǔ)上場質(zhì)運(yùn)動狀態(tài)）等價于電能與磁能周期性變換，這是量子基本狀態(tài)。

15．濃縮性渦旋與彌散性渦旋在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化而構(gòu)成周期性變換運(yùn)動與交換作用。如果光速部分之外，正反渦旋能周期性變換，并構(gòu)成周期變換能，其大小由變換頻率定義。而總能或質(zhì)量不變，并使總能是平動能周期變換能之和。

周期變換能還可以是速度與角速度間的周期性變換，可以是速度與半徑大小間的周期變換，也可以是角速度與半徑間的周期變換，甚至質(zhì)量密度與速度或角速度間的周期變換，構(gòu)成不同性質(zhì)的周期變換能，但周期變換能量大小決定于周期變換頻率v或周期τ，即定義為：

E≡hv/2