第二章 物性代數論

感性思維形式是感覺、印象與表象。感性思維的印象形式主要是在頭腦中形成圖像。圖像與語言在感性思維和理性思維中都起著根本性作用，只不過側重有所不同。語言是感性思維表象的基本形式，計數的數字與量詞也是語言表象的一部分。由于表象比較容易便捷地過渡到統觀的理性思維及其所形成的概念與判斷，尤其是數字與量詞過渡成理性數量概念與判斷更是便捷的思維過程。因此數學首先出現的是算術自然計數及其加減乘除四則運算，進而發展成代數。而算術代數側重來自量詞的語言表象。深刻印象與表象具有記憶性質，因此平時所謂“死記硬背”實際上是停留在感性思維的層次上。

算術把“質”差異隱含在單位之中或忽略不計，而純粹在“量”上計數或比較量度。代數用符號代替具體數字間的關系，從而建立起更普遍的關系。在邏輯上出現某種事物的“有”“無”或“真”“假”的相反觀念和“或”“與”“異或”“正反”等關系的邏輯，并用符號表示，構成數碼代數的基礎。有無到多少比較矛盾就有了量的觀念，多了多少，少了多少，而矛盾統一產生增減計數。在計數與量度上出現“單位”，并在計數上形成而出現自然數和十進制等數制觀念與算術代數等的加、減正反運算與各種數學關系。物性數學認為實物與場質是不可分割的矛盾統一體，可以分別用實數與虛數，即復數及其擴充共軛形式表示。

物性理論的基本出發點是物質包含實物與場物質（簡稱場質），物質具有連續可入性、不生不滅性及其與運動不可分割性。因而，物質的分或合仍然不變，這是物質可比較量度與實物可計數的基礎。物質量的量度稱為質量，它的分或合的總量仍然不變。加上物質與運動不可分割性，物質運動量的量度之能量，與相應質量成正比關系。而運動狀態各種各樣的不同運動能量可以用不同參量定義，其和為總能量。如平動能用質量乘以速度平方的二分之一定義之，轉動能用質量乘以距離中心長度平方與角速度平方二分之一定義之。而速度、角速度涉及時間量度與長度、角度的空間量度。因而質量、能量、時間、長度、角度成為基本比較量度。量度涉及標準尺度比較的單位與數量問題。

數學至今仍以演繹法形式邏輯與搜索法數理邏輯思維為主，隨著擴大深入研究，必然出現新的思維方式。不同理性思維邏輯之間對同一系統認識深度可能存在差異或矛盾。低層次邏輯或本質認識通常加以適當擴充、調整、修正，甚至糾正引用可以不同程度上跟高層次邏輯或本質認識結果一致、等價、等效。一致時仍然可用等式表達。許多事物最初認識必須作些簡化，才便于進入本質認識或理性思維，否則無從入手。但只停留在這個水平上，就無法深入、提高與實質進步。物性代數論從相對靜止比較計數與量度的矛盾統一中考察數學的性質與本質。

第一節 邏輯代數（布爾代數）

數理辯證邏輯強調宇宙萬物無不存在矛盾，矛盾統一是宇宙萬物運動變化，包括量變與質變的內在根源。數學本身也是在矛盾統一中發展的。這里就從數理邏輯中“有”（“真”“存在”“正”）與“無”（“假”“不存在”“反”）等正反面開始討論，在數值上可以記作“1”“0”或“A”“B”。邏輯與記作“∧”，邏輯或記作“∨”，邏輯異或記作“⊕”，邏輯非或邏輯反記作“～”等。

A;（∨、∧、⊕）B≧C（或A、或B）

≒A;（∨、∧、⊕）B=C（或A、或B）

1．不存在與存在或無與有某種事物的符號用0與1表示，它們的矛盾性質不同得到結果不同。如不存在或存在的兩者矛盾統一邏輯結果是存在，即0∨1=1。不存在與存在的兩者矛盾統一邏輯結果是不存在，即0∧1=0。

邏輯或關系：0∨0=0、0∨1=1、1∨0=1、1∨1=1成立。

邏輯與關系：0∧0=0、0∧1=0、1∧0=0、1∧1=1成立。

邏輯異或關系：0⊕0=0、0⊕1=1、1⊕0=1、1⊕1=0成立。

邏輯非關系：0～=1、1～=0成立。

2．如果用普遍符號A、B、C等代替0、1的任意量，上述邏輯關系式A∨B,A∧B,A⊕B,A～具有更普遍的代數意義，由此建立起邏輯代數關系，又稱為布爾代數。它跟其他代數一樣遵守符號運算規則。

布爾代數遵守交換規則：

A∨B=B∨A

A∧B=B∧A

布爾代數遵守結合規則：

（A∨B）∨C=A∨（B∨C）

（A∧B）∧C=A∧（B∧C）

布爾代數遵守分配規則：

（A∨B）∧C=（A∧C）∨（B∧C）

布爾代數遵守0、1及互補規則：

A∨0=A

A∨1=1

A∧0=0

A∧1=A

A∨A～=1

A∧A～=0

除了布爾代數特殊的0、1及互補規則外，與代數普遍規律一樣。

3．對所編寫的一組邏輯編碼的各位是同等的，各位邏輯是獨立運算的，沒有進位關系。例如：

101101∨110001=111101

101101∧110001=100001

101101⊕110001=011100

4．如果多位0、1碼的各位不等同，而是逢二進位，那么就構成二進制數碼或數據。

二進制數中每位只有0和1兩個數碼，計數規則是“逢二進一”，即每位計滿2就向高位進一。例如：

101101B+110001B=1011110B

5．為了便于電腦實現二進制運算，出現了若干種編碼。

系1：原碼是二進制定點表示法，即最高位為符號位，“0”表示正，“1”表示負，其余位表示數值的大小。

系2：反碼表示法是正數的反碼與其原碼相同，負數的反碼是對其原碼逐位取反，符號位仍為1。如原碼10010110=反碼11101001。

系3：補碼表示法是正數的補碼與其原碼相同，負數是先求原碼的反碼，然后在反碼的末尾位加1后得到的結果。在電腦系統中，數值一律用補碼來存儲表示。

6．每3位與每4位二進制數可以等價組合成八進制數（0、1、2、3、4、5、6、7為基數，“逢八進一”）與十六進制數（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F為基數，“逢十六進一”）。例如，上面的二進制計算式化為八進制與十六進制計算式為

55Q+61Q=136Q

2DH+31H=5EH

其中，B表示二進制，Q表示八進制，H表示十六進制。

7．十進制數中每位有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個數碼之一，計數規則是“逢十進一”，即每位數累計滿10就應向高位進一，構成十進制自然數。十進制數尾位后小數點往左每遞增一位權重10n，往右每遞增一位權重10-（n+1）。n為從0開始的自然數。

8．二進制與十進制編碼矛盾統一關系可類似十六進制編碼方法，將四位二進制數碼等價表示十進制數碼，且刪去多余的二進制數碼。它是最常用的一種有權碼，其4位二進制碼從高位至低位的權依次為23、22、21、20，即8、4、2、1，故稱為8421碼。按8421碼編碼的0～9與用4位二進制數表示的0～9等價，所以，8421碼是一種人機聯系時廣泛使用的中間形式。此外還有以下幾種。

系1:2421碼是另一種有權碼，其4位二進制碼從高位至低位的權依次為2、4、2、1。例如，（1101）2421碼=（7）10。

系2：余3碼是由8421碼加上0011形成的一種無權碼，由于它的每個字符編碼比相應8421碼多3，故稱為余3碼。例如，十進制字符5的余3碼等于5的8421碼0101加上0011，即為1000。

系3：格雷碼是在一組數的編碼中，若任意兩個相鄰的代碼只有一位二進制數不同，則稱這種編碼為格雷碼。另外由于最大數與最小數之間也僅一位數不同，即“首尾相連”，因此又稱循環碼或反射碼。

9．編碼應用中，字符、數字等的表示是用人為編碼。如美國信息交換標準碼的ASCII碼，共128個包括52個英文字母大小寫、10個阿拉伯數字和英文標點及一些控制符號。因為電腦只能識別二進代碼，所以ASCII碼中每一個字符都由八位二進制數表示，其中二進制代碼的最高位恒為零。

字形碼是字符與數字等的輸出碼，輸出字符與數字時都采用圖形方式，無論筆畫多少，每個字符與數字等都可以寫在同樣大小的方塊中。通常用9×9點陣字節組來顯示字符與數字等。

10．量大的漢字人為編碼更加復雜，根據用途不同，漢字編碼分為外碼、交換碼、機內碼、字形碼和地址碼。

系1：外碼又稱輸入碼，是用來將漢字輸入電腦中的一組鍵盤符號，常用的輸入碼有拼音碼、五筆字型碼、自然碼、區位碼和電報碼等。一種好的編碼應具有編碼規則簡單、易學好記、操作方便、重碼率低、輸入速度快等優點，每個人可根據自己的需要進行選擇。

系2：交換碼又稱國標碼，是電腦內部處理的信息，都是用二進制代碼表示的，漢字也不例外。而二進制代碼使用起來是不方便的，于是需要采用信息交換碼，通常為兩個字節二進制碼。中國標準總局1981年制定了中華人民共和國國家標準《信息交換用漢字編碼字符集·基本集》（GB 2312—80），即國標碼。

系3：機內碼是根據國標碼的規定，每一個漢字都有了確定的二進制代碼。在電腦內部漢字代碼都用機內碼，在磁盤上記錄漢字代碼也使用機內碼。

系4：漢字的字形碼是漢字的輸出碼。輸出漢字時都采用圖形方式，無論漢字的筆畫多少，每個漢字都可以寫在同樣大小的方塊中。通常用16×16點陣來顯示漢字。

系5：漢字地址碼是指漢字庫中存儲漢字字形信息的邏輯地址碼。它與漢字機內碼有著簡單的對應關系，以簡化內碼到地址碼的轉換。地址碼屬于二進制編碼。

第二節 實數代數（四則運算）

算術代數不同于邏輯代數之處在于它從右到左的位權重不同且有進位關系，從而形成若干根據需要的進位制，如電腦采取的二進制（八進制、十六進制）和日常生活、生產、財務等習慣采取的十進制。數量多少的矛盾就可以通過計數獲得統一解決。計數之物質的質或定性方面差異忽略而隱含于單位之中，以便計數。在定量后忽略單位而抽象出純粹數字或量甚至形的符號邏輯關系，這個符號邏輯關系就是數學。算術代數則是數學的基礎。

數理辯證邏輯指出系統計數或量度的量與質兩面中質方面差異、變化、轉化等隱含于單位之中，或可以忽略，甚至在不考慮質方面而純粹數、形關系性質條件下，可建立純粹計數或量度數量間的關系，等式是數量間關系矛盾統一的等價基本形式，即簡化質或質變方法是數學產生與發展的必要途徑，但發展到一程度必須適當補充、改進、調整，甚至糾正，才能真正反映事物的量質關系。

1．算術代數是從十進制自然數（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）為基數的定量計數開始發展起來的，自然數本身具有加（+）、減（-）屬性。任何一組自然數具體數據都可以用普遍符號表示，并具有加減屬性，這是算術代數的基礎。例如，2是1加1的結果，算術上用2=1+1表示，3是2加1或是1加1再加1的結果，算術上用3=2+1=1+1+1表示，依此類推，各個自然數關系，超過9則向數值小數點左邊位進位。

一般十進制數表示為

A=AnAn-1…A3A2A1A0A-1A-2…A-m

=An ×10 n+An-1×10 n-1+…+A2×102+A1×10+A0+A-1×10-1+…+A-m ×10-m

小數點前為正整數，小數點后為小數。此外，數制還有多種，但人類社會生活生產習慣比較廣泛使用十進制數，并從各種單位中抽象出純粹數，使其具有更普遍的意義。實際上沒有單位難以真正計算。舉個最簡單例子，如一個班30個學生，增加5個新轉學的學生，一下子就計算出35個學生。但學生中有男生，也有女生，還有年齡大小及其他情況差別，這里單位作了簡化。不同單位數相加減通常沒意義。如學生數與牛羊頭數加減通常沒有什么意義。

2．算術代數從自然數開始，自然數計數本身具有加“+”與反面減“-”運算及其量矛盾統一的等式屬性。如自然數x與y相加等于z的等式：

x+y=z

≒x=z-y

≒-x=y-z

加等式變換且等效為減等式。減的結果可能是正數，也可能是負數，即出現正負數相反的數。

兩自然數矛盾統一性質是加減的等式符號表示，再與其他只要同單位自然數仍然是加減等式關系。等式加減是主要矛盾，加減符號之間的數量可以用項表示。各項內可以有其他運算形式，如乘除等矛盾運算后最后才加減，除非特地用括號標明。

正負數矛盾統一建立在加的等式基礎上，即

A;（+、-）B≧Z

≒A±B=Z

其中，A、B是任何正或負實數及其算術運算式結果。矛盾性質是加或減，即用±等式表示。

3．相同數的累加產生乘“×”或“·”或“”，如n個x數相加可變換且等價為乘或反面除：

x+x+?+x=y

≒n×x=n·x=nx=y

≒x=y÷n=y/n

乘可變換且等于反面除“÷”或“/”的等式運算。相除實際上是相乘的反操作，即累減運算。

同樣兩個數A、B相乘可表示為

A;（×、·）B≧C

≒A·B=C

≒AB=C

其中，A、B、C等是正實數及其算術運算式或結果。相乘還可以表示面積與體積等其他參量，如方形平面面積是兩個邊相乘，立體方形體積是其三個棱邊的乘積等。相除可將面積與體積等求得棱邊的長度等。可見乘除使參量或單位關系變得更加豐富多彩。

相除結果可能是整數也可能是小數，甚至出現除不盡的循環小數與非循環無限小數，統稱實數。

A;（÷、/）B≧C

≒A/B=C

把乘除擴大為不同參數相乘除可得到新的參數及其單位。所得到的單位種類繁多，但基本單位應是質量、時間、長度、角度、能量等。方形面積為兩個邊的乘積，單位長度的平方可以用來表示面積單位，單位長度的立方可以用來表示體積單位。可見乘積跟幾何形狀密切相關。

4．等式兩側包含加、減、乘、除的運算則構成四則算術代數。四則運算中必須遵守先乘除后加減原則，因為乘是來自累加，必須先計算結果才能進行加減運算，且加減運算必須同單位或同質才有意義。

算術代數的四則運算式是算術與代數矛盾邏輯的基本形式，是離散數學上的矛盾邏輯基礎。不過要記住，這是在忽略單位內質的差異或變化的計數基礎上建立的。算術代數矛盾“; ”的性質是加+、減-、乘×、除÷等。可見數學從最簡單計數的加計算與其反面減計算的矛盾統一的等式計算開始，累加計算產生乘計算與其反面除計算概念，而計算中出現分數與除不盡的小數，除零的無窮大數，擴大了數量概念，其矛盾統一構成四則等式計算或運算。

5．累乘運算又產生乘方與指數運算及其反面開方與對數運算的概念，如整數是在對于有限對象進行計算的過程中產生的抽象概念。在日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，如質量、長度、時間等。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分數。有理數為兩個整數的商，那么有理數包括所有的整數和分數，這對于一般計數與量度是夠的。但方形各邊為1的對角線長度不能滿足有理數條件，其運算矛盾統一等式又引出無理數與復數概念。無理數的出現使數學產生了第一次危機，無理數與復數獲得認可。

數從正負數、整數分數等有理數擴大到無理數與負數開方的虛數。數學的更大進步是為了算術等式運算更具普遍性，這些運算式的具體數字用符號代替，數字運算關系變成了符號運算關系，即出現代數表達式，符號代替數字等式就成代數運算關系式或方程式。符號運算表達式可以左右移動，如等式左邊與右邊加減同樣符號運算仍然相等，代數的進一步發展是出現代數方程式及其求解等問題。

6．如果等式需要指定那些先運算，可用括號表示。可表示為

（A;B）;（C;D）≧Z

∨（A;（+、-、×、÷）B）;（（+、-、×、÷）C;（+、-、×、÷）D）≧E

其中矛盾“; ”可以是遵守上述規則的加、減、乘、除矛盾邏輯運算，加上括號內算術四則可表示先行運算。

7．n個數x的累乘產生或變換且等效的指數與反面對數的運算：

xx?x=y

≒y=xn

≒n=logxy

指數與對數的運算相當于乘除，同樣需要先運算結果然后加減。

8．自然數0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、…、n是有規則排列數列，每個前后數之差為1，數列之和稱為級數，即

Sn=1+2+3+?+n=∑n=n（n+1）/2

如果數列或級數每數間的關系更復雜些，應如何表達。這樣便出現數列與級數概念。又如數列是自然數平方或立方，其級數分別為

Sn=12+22+32+?+n 2=n（n+1）（2n+1）/6

Sn=13+23+33+?+n3=n（2S+1）2/4

數列每數間有規則地只是加減之差值或乘除之比值，分別稱等差數列與等比數列。

9．按照某種規則排列數的一列數α1、α2、α3、…、αn、…稱為數列，記作|αn|。若把這一等差列數用和連接起來稱為等差級數或算術級數，記作α1+α2+α3+?+αn+…。

數列α、α+β、α+2β、α+3β、…稱為公差β的等差數列。相應級數稱為等差級數或算術級數。通項αn=α+（n-1）β。其前n項之和為

Sn=∑αn=（α1+αn）n/2

10．數列α、αγ、αγ 2、αγ 3、…稱為公比為γ的等比數列，相應級數稱為等比級數或幾何級數。其前n項之和為

Sn=∑α1γ（n-1）=α（1 1-γn）（/ 1-γ）

11．如果1到n的自然數相乘稱為階乘，n足夠大時，則：

n! =1·2·3·…·n≈(n/e)n 2πn

其中，e為數的自然底數。

12．實數還可以表示排列與組合數。如從n個不同的元素中，每次取出k個不同元素，按一定的順序排成一列，稱為排列。排列種數為

13．又如組合，從n個不同的元素中，每次取出k個不同元素，不管其順序合并成一組，稱為組合。其組合種數為

第三節 復數代數

前面討論了忽略質差異或變化條件下，并將其簡化或隱含于單位中的算術代數問題。如果不忽略計數與量度的質方面，那么自然界最普遍的質就是物質及其運動，其量度之質量與能量都是正實數，相加減的差值才有正負實數。但不同能量要由不同的參量定義。而不同參量及其定義的能量性質各不相同，可以用不同的數學方法處理，可建立各種參數與質量、能量的實數關系。數雖然不僅可表示質量、能量的數量且具有更普遍的意義，但物性數學是在不忽略“質”或緊密聯系“質”的情況下考察數量關系。而質量、能量、時間、空間長度、空間角度具有自然最普遍的質含義，必須著重討論。

系統質的演變、轉化、變換過程中，某些量是不滅或守恒或不變的，可以簡化為質矛盾統一的變換與數量等式關系同時表達的方式。如“一分為二且等于≦”“合二而一且等于≧”“轉化且等于≌”等，甚至用等式、方程式、等價式表示。自然最普遍的“質”是靜之質量與動之能量矛盾兩面的統一，二者構成質能正比例關系。而運動又涉及時間與空間量度矛盾兩面，其矛盾統一，則構成運動速度等參量。隨著質的深入，量度單位也隨之導出，變得更加繁雜，有時就用新單位定義之。數有正數與負數等實數，可是負數開方運算則產生虛數的概念，其矛盾統一則出現復數運算表達式。

1．如果物質是連續可入的，不生不滅的，那么基本量度之一系統物質量的量度之質量，其分、合不影響量度。系統質量是其任意值子系統質量的線性疊加，即

m=Σmi

質量不滅表達式為

Δm=ΔΣmi=ΣΔmi=0

系統質量的符號為m，所有物質有相同的質，即質量m是系統物質的量度。它以天平標準砝碼比較量度，單位有千噸、噸、千克、克、毫克、微克、納克等。Δm表示質量差值或微差值。物質運動、變化、轉化等首先涉及時間（單位為時、分、秒等），符號t，時間量度通過標準時鐘比較量度。空間長度（單位為千公里、千米或公里、米、厘米等），符號ι，長度量度通過與標準米尺比較量度。而空間的面積與體積分別定義為長度的平方與立方。

2．物質運動量的量度稱為能量，并通過質能關系表達式，建立系統質量與系統總能量關系：

E=mc2=Σmic2=ΣEi

能量守恒表達式為

ΔE=ΣΔEi=0

∨ΔEi=-ΔEj

Ei、Ej為子系統能量。數學上的量是建立在規定單位計數與標準尺度比較量度基礎上的，即有數量與單位，將事物的質或性質隱含于單位之中。而單位實際是膚淺的“質”，遠沒有矛盾統一邏輯所得“質”或本質那樣意義深刻。系統運動的量度為能量，其單位為爾格=克·厘米2/秒2、焦爾=千克·米2/秒2=納克·千公里2/秒2。可見質量與能量跟時間、長度、角度一樣是基本的“質”或基本單位。系統運動量的能量，符號E，主要通過轉化機械能做功或質能關系來比較量度。質量與能量都是實數。

3．如果系統總能全部等于平動能，即

E=mc2=mv2/2或￠≡υ lim=1.41c

此處￠=υlim=1.41c稱為物質極限速度。它對任何參考系都是不變的。這里只可能有兩種解釋：一種為極限速度是光速，那么質能比例系數為c2，是光速平方的二分之一，這無形中總能比相對論減少一半，不合理。另一種c仍為光速，質能比例系數c2是光速的平方。這樣物質極限速度是光速的1.41倍。

系1：如果物質一分為二成以離散性為主的實物與以連續性為主的場物質，而實物極限速度是光速或狹義極限速度，光速及超光速到極限速度的物質可定義為場物質，簡稱場質，￠=C是物質或場質極限速度或廣義極限速度。

系2：光速是穩定實物運動的極限速度，超過光速是不穩定物質或場物質的運動狀態，兩者往往不可分割地存在于一個物質系統內。這兩種運動狀態可化成參量的實數與虛數的關系，在一定條件下可以構成實數的能量或能密度。

系3：光速是實物或粒子運動或成型的極限速度，否則轉化為連續場物質形態。極限速度對于任何運動參考坐標系都具有不變性，只能通過時空變換來解決矛盾或統一矛盾。

4．宏微關系大體上存在三大類型。一類規則運動微觀粒子是宏觀實物最小單位，性質相同，如某些材料的分子、原子是其材料實物性質相同的最小單位。一般宏微觀描述是一致的，如上述質量（時間、長度、角度）與能量的宏微觀描述是一致的，宏觀是微觀質量與能量的線性疊加之和。另一類宏觀實物運動變化現象是微觀粒子某些不規則運動分布統計或平均的結果，宏觀溫度是微觀粒子動能分布統計平均的結果，元素原子量是同元素原子質量平均值等。一般可用概率統計或不同性質能量描述，如溫度參量定義的內能，它實際上是微觀粒子動能平均值，因此物性數學將其作為內能來處理。第三類微觀粒子或各局部是其宏觀整體的有機組成系統的一部分，如生命體內的各種器官或細胞是其不可缺少的一部分等，平衡趨勢使系統各部分間協調運行與生長。

物態變換具有隨機性。物質系統可一分為二地規則運動，如平動、旋轉能量與不規則運動，如內能等。系統熱量Q與其他能量，如內能改變量ΔU、物態變化潛熱ΔR、對外做功PΔV等是其子系統熱量Qi與其他能量ΔUi、ΔRi、PiΔVi之和關系，即

Q=ΣQi=ΣPi ΔVi+ΣΔRi+ΣΔUi=P ΔV+ΔR+ΔU

此式實際上是熱力學第一定律。

系1：實物體存在氣體（粒子之間分離的，靠重力場或容器而聚集在一起）、液體（主要靠場質交換而聚集在一起）、固體（主要靠殼粒交換或遞換而聯結成體）三類物態，每一類物態轉變都要輻射或吸收能量子，稱為潛熱ΔR。而微觀粒子輻射或吸收量子前后帶有隨機性，即物態變換隨機性，因此要經歷一段時間全部物態才完成轉化變換。

系2：同一溫度系統雖然內能是一樣的，但物態可能不一樣，甚至有三態共存現象，這種情況只能說明其潛熱或潛能不一樣。氣體潛能最大，微觀粒子處于自由平動運動為主的狀態，比較容易用粒子速度分布來描述，從而出現統計物理。實際上液體與固體粒子運動難以用分布曲線描述，用能量描述更加全面而深入本質。

系3：分子不規則運動存在差異或溫度差異，就會自動地在運動中趨于平衡，即熱量自動地從高溫流向低溫。可見熱力學第二定律實際上是系統均勻平衡趨勢的特例。

5．系統中各種形式的能量要跟總能比較才能確定其占系統總能的比重或比例，是確定系統物質形態或性質的基本參量。某種形式的能量與總能之比稱為該種形式能量的能比。各種物質形式的質量與系統總質量之比稱為質比。通常總能E包含矢量定義的能量之矢能Ei與標量定義的能量之標能Ej兩大類。其與總能之比分別為：

α2=Ei/E

β2=Ej/E

矢能比α2與標能比β2，兩者都是小于1的實數。

兩者之和為：

α2+β2=（Ei+Ej）/E=1

上式表示系統矢能比與標量比之和為1。

當

1/2≤α2<1

1/2≥β2>0

表示系統以場物質為主的物質形態。

當

0<α2<1/2

1>β2>1/2

表示系統以實物為主的物質形態。可見系統矢能比愈大或速度愈大，愈處于連續的場物質狀態，達到或超過矢能比1/2為連續場質狀態。

6．運動平衡趨勢量度為作用力，而力的定義為動能改變量對相應位移改變量之比或動能對位移的梯度：

F=ΔE/Δι=Δmυ 2/2Δι=Δmυ/Δt=Δp/Δt

其動量守恒條件為：

Δmυ/Δt=Δp/Δt=0

速度等于零或等于常數，直線運動或勻速圓周運動時動量守恒。

力矩定義為轉動能改變量與相應角移改變量之比或轉動能對角位移梯度：

M=ΔE/Δθ=ΔJω 2/2Δθ=ΔJω/Δt=ΔN/Δt

其角動量守恒條件為：

ΔJω/Δt=ΔN/Δt=0

角速度等于零或等角速度常數轉動或rω為常數的螺旋運動時角動量守恒。其中J=kmr2中，渦旋體質量m，渦旋體半徑r，渦旋慣量系數k與渦旋形狀、分布等有關。

7．如果一個實數或數量指數是平方，那么其反面是開方，即

正數開方是實數，而負數開方則成了虛數，實數x與虛數iy合二而一為復數，即

復數可以用實數軸x與垂直的虛數軸iy構成的復平面表示。

8．復數三角與指數分別表示為：

≒z=r（cosθ+isinθ）

≒z=reiθ=re&supiθ

其中r=x2+y2,θ=arctany/x, &sup表示其后為連接指數。

9．兩復數加減，通常實數與虛數分別運算：

（A+i B）±（C+i D）=（A±C）+i（B±D）

兩復數乘除分別為：

（A+iB）（C+iD）=（AC-BD）+（i BC+AD）

（A+iB）/（C+iD）=（A+iB）（C-iD）/（C+iD）（C-iD）

=（AC+BD）/（C2+D2）+i（BC-AD）/（C2+D2）

10．復變數z=A+iB，有個特殊意義的共軛復變數z=A-iB。（A-iB）;（A+iB）可以表示矛盾的正反面，共軛復數乘積具有實數性質，即

（A-iB）:（×）（A+iB）≧z2

≒（A-iB）×（A+iB）=A2+B2=z2

共軛復數加的關系可變換為實數相加：

（A-iB）;（±）（A+iB）≧z

≒（A-iB）+（A+iB）=2A=z

可見復數共軛的加與乘積結果是實數。

11．廣義共軛復數：

（A-iB）:（×）（C+iD）≧z2

∨（A-iB）×（C+iD）=（AC+BD）+i（AD-BC）=z2

當AD-BC=0時，即AD=BC（A/B=C/D或A/C=B/D），也是實數，稱為廣義共軛復數。說明廣義共軛復數間成比例，即前式乘除一個比例常數或兩個實數與虛數比例相同，滿足此條件的廣義共軛乘積后仍為實數性質。

12．如若E’或w’為系統的實能量或實能密度部分，而E"或w"為系統虛能量或虛能密度部分，那么系統總能或總能密度分別為：

E=E'+E"

w=w'+w"

利用廣義共軛復數表達系統平動與旋轉能量或能密度關系，可以分解為實速度與虛角速度定義的兩部分，它是基本矛盾的兩面，即一分為二表示為υ±irω=u。

平動量與旋轉動量合二而一且等于式：

mυ;（±）imrω≧mü

≒mυ±imrω=mυ±iJω/r=mü

其共軛乘積除2為總能，即

mυ2/2+Jω2/2=mü2/2=mc2

13．利用廣義共軛復數表達實物能與場質能及其能密度關系。一部分是由實物參量乘積產生的，另一部分是由正負場質虛參量產生的，即實數通常可一分為二并等于實物參量產生實數與共軛場質虛參量乘積產生的實數。

實物速度參量具有矢量υ與場質速度c虛數關系，即

u≦υ; ic

≒u=υ±ic

p≦mυ; imc

≒p=mυ ±imc

pu/2=（υ ±ic）（mυ ±imc）/2=mυ 2/2±mc2/2+（i ±mυc±mυc）/2

其廣義共軛復數乘積的特殊意義，在于i（±mυc±mυc）/2=0，即動量與速度之虛數間取反并除以2時，則得實數的能量：

E=pu/2=（υ+ic）（mυ-imc）/2=mυ2/2+mc2/2=E'+E"

14．利用廣義共軛復數表示粒子與波動能量關系。如周期性變換動量合二而一且等于關系式：

mυ;（±）ih/λ≧mü

≒mυ±ih/λ=mü

υ;ic≧u

≒υ±ic=u

量子實動量與波動動量跟其速度廣義共軛除以2，則得實數總能：

mυ2/2+hc/2λ=mυ2/2+hv/2=mü2/2=mc2

從p=mυ=h/λ與υ=λ/τ=λv的關系，可以證明量子速度為υ=c。

15．利用廣義共軛復數表示相對地面自由落體。實物矢動量與重力勢能等效標動量（2mgι/c）的合二而一且等于式：

mυ;（±）i2mgι/c≧mü

≒mυ±i2mgι/c=mü

動量與速度之虛數間取反并除以2時，則得實數的能量：

mυ2/2+mgι=mü2/2

總能在自由落體中不變性，其位能mgΔι轉化為動能mΔυ2/2，則：

ΔE=mΔgι+mΔυ2/2=0

在落體重力方向位能減少，而使動能在該方向上相應地增加。地面參考坐標系測得作用力F為：

F=m Δυ 2/2Δι=m Δυ/Δt=-m Δgι/Δι=-mg

上述廣義共軛虛數取反實質是場質相對實物正負交換平衡，對實物來說不影響其運動狀態。