第二講 與小升初的同學談數學學習

新學年開始了，一批新同學由小學升入初中，到附中來學習. 首先祝賀大家進入了新的學校、開始了全新的學習生活.《中小學數學》的方運加主編約我與附中初一的同學們談一談數學的學習方法. 我想，我作為過來人，就和大家聊一聊過來人的體會與思考吧，供大家參考.

一、代數、幾何學科的特點

由小學到初中，大家從過去學習算術四則運算到學習代數、學習幾何，好像到了一個新天地，許多東西似乎很生疏. 怎么現在學的數學和過去學的算術大不一樣呢？ 細想一下，確實如此. 我們仔細分析一下初中代數與過去的算術四則運算有什么區別是有益的.

說起算術，大家就會想到各種類型的應用問題，我們從一道例題加以分析.

例1：一個農夫有若干只雞與兔，它們共有50個頭，140條腿. 問雞與兔各幾只？

算術解法可以各式各樣.

解1.假設50只都是雞，則共有50×2條腿，多出（140?50× 2=）40條腿.原因何在？在于每只兔子當作一只雞時少計兩條腿.故40÷2=20應是兔子的只數.

列式：（140?50× 2）÷（4?2）=20（兔的只數）

50-20=30（雞的只數）

不同的同學因思路不同，解法也迥然不同.有一位同學就曾給出如下的算式.

解2.140 ÷ 2-50=20（兔的只數）

50-20=30（雞的只數）

這個列式結果正確，但理由是否充足呢？老師得去琢磨，設想學生的列式理由，弄不清還得去問學生. 這個學生這樣解釋：把雞的腿捆在一起都看成金雞獨立的“單腳雞”，把兔看成前腳抱著大蘿卜站著的“雙腳兔”. 這時有頭50，有腿（140 ÷ 2=）70.因為每只“雙腳兔”比“單腳雞”多一條腿，共計多計70-50=20條腿，這也正是兔子的只數. 這個解釋簡直叫人拍案叫絕！但這個同學若不講出來，怎么能從140 ÷ 2-50=20的算式中看到上述思維過程呢？

現在我們再看代數解法.

解3.設農夫有雞x只，共2x條腿.

有兔50-x只，共4（50?x）條腿.

雞兔總腿數為140，即2x+4（50?x）=140

解得x=30（雞的只數）

50-30=20（兔的只數）

我們看到，代數解法就像用代數式子把題意復述一遍，列出了方程，進而求出了解答.簡直就是把生活中的語言翻譯成為代數語言，至于算術解法中的那些“單腳雞”、“雙腳兔”之類的絞盡腦汁的思索都用不著了，一切都變得簡單了. 原因何在呢？

其實，上述的感覺與體會，正體現了從算術到代數的飛躍！

在算術中只就具體數進行四則運算，代數中就以文字代表的數進行運算.在算術中只允許已知數參加運算，未知數完全處于被求的地位，總是“等待”由已知數計算出它的數值. 這樣實際上是把已知與未知處于對立的狀態，因此列出算式往往十分困難. 而在代數中，我們承認未知數x也是數，它可以像已知數一樣參加運算，于是整個問題的面貌就大為改觀了. 要想解一個應用題，“只要把問題里的日常語言翻譯成代數的語言就成了.”所謂代數語言，最基本的“詞匯”就是代數式. 因此，學習代數，就要學會把日常語言準確地翻譯成代數式，會讀懂代數式，會列代數式，會對代數式進行四則運算. 從算術到代數，就像由個體手工操作到機器生產的變化一樣，代數是一般性的處理問題，不知你體會到這個特點沒有？如果你沒察覺到代數的這些特點，還以學算術的思維習慣對待學代數，那就不能適應變化了的新情況.

初一下學期，開始學幾何，開始時，線段、角等概念還不算太難，與小學學習幾何的情況大體相似，只是略微復雜了一些. 但從相交線、平行線以后，就有點味道不同了.“明明看著相等的對頂角還要證明其相等”，到了三角形一章有些同學就更感到困難了. 那么從小學的幾何知識到初中的幾何課程有什么變化呢？

例2：如圖1，AB//CD，問∠ABP+∠ BPD+∠CDP是多少度？

小學生的辦法，是用量角器去量，每個同學量得的結果可能不一樣，有的可能量得360.1°，也可能有359.9°，也可能量得360°.這種幾何叫做實驗幾何.

但在中學幾何中，我們會發現，光用測量的辦法是不夠了. 比如畫兩個等長的線段（圖2）.只是在兩端箭頭方向畫的不同，下面的線段看上去就比上面的長. 直觀測量是有誤差的，因此需要推理證明才行.

證明：作PE//AB

因為AB//CD

所以PE//CD

（平行于同一直線的兩直線平行）

由PE//AB，則∠1=∠2（二直線平行，內錯角相等）

由PE//CD，則∠3=∠4（二直線平行，內錯角相等）

由∠2+∠5+∠4=360°（周角定義）

所以∠1+∠5+∠3=360°（等量代換）

即∠ABP+∠BPD+∠CDP=360°.

每一步都是“因為”、“所以”地注明理由的嚴格推理論證，其所根據的理由，又是前面已經學過的公理、定理和定義. 沒有具體去量，得出的3個角之和為360°，是根據公理、定義、定理推證出來的. 這樣的幾何叫推理幾何. 由實驗幾何到推理幾何也是一個重大的飛躍，又是一個大的轉折. 如果你的觀念沒跟上這個變化，就有掉隊的危險.

大家從小學升到初中，馬上在初一代數與初二幾何中經歷上述兩個急轉彎. 并且是在一年之內連續發生的，有些同學沒有適應這一情境變化的思想準備，不會及時調整自己的學習方法，就出現了不適應甚至落伍或掉隊，這就會產生學習上的所謂的“分化”現象.