第四章

蛛網(wǎng)的幾何學(xué)

我考慮再三，還是決定寫下這一章。但是，這對于我的寫作是一個(gè)極大的挑戰(zhàn)，因?yàn)檫@需要讀者們掌握一點(diǎn)幾何學(xué)知識(shí)。怎么樣才能讓對昆蟲感興趣的人們讀得津津有味呢？我不能只描述蜘蛛織網(wǎng)的精美過程，那樣只能滿足昆蟲學(xué)家的愛好，他們對數(shù)學(xué)定理毫不關(guān)心；也不能只用學(xué)術(shù)公式夸夸其談，那樣的長篇大論只能讓幾何學(xué)家欣喜，可是卻漏掉了生命本能中最光彩奪目的一筆。

因此，我選擇兩者并存的寫作方法。讓我們一起來欣賞圓網(wǎng)蛛精巧高超的織網(wǎng)技術(shù)吧。首先，可以看到等距離的輻射絲，以及從一根絲到另一根絲所產(chǎn)生的角。這樣的角在網(wǎng)中數(shù)量很多，超過了40個(gè)，但所有角的角度明顯相等。

它隨意的走動(dòng)看起來仿佛毫無秩序可言，但是結(jié)果卻像用精密的作圖工具畫出來的一樣。每一只蜘蛛都會(huì)把織網(wǎng)的營地劃分成許多開度相同的扇形面，扇形面的數(shù)目幾乎全部一樣！仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)扇形面內(nèi)構(gòu)成螺旋圈的橫線彼此是平行的，間距隨著與中心距離的縮進(jìn)而減小。這些橫線和連接橫線的輻射絲所構(gòu)成的恒定角度的角，一邊為鈍角，一邊為銳角。

幾何學(xué)家把從中心輻射出來的一切直線，或扇形面輻射線，以常數(shù)的輻射角值斜切，所得的曲線稱為“對數(shù)螺線”，輻射中心稱為“極點(diǎn)”。讓我們假想有無數(shù)條輻射絲，那么圓網(wǎng)蛛所走的路程，就是這樣一條對數(shù)螺線。然而，現(xiàn)實(shí)狀況中，它的路程是一條內(nèi)切于對數(shù)螺線的多邊形線。

對數(shù)螺線繞著它的極點(diǎn)畫出無限個(gè)圈，它一圈一圈地走，努力一點(diǎn)一點(diǎn)接近圓心，可是卻怎么都不能到達(dá)。圓網(wǎng)蛛一直盡量遵循無限繞圈的規(guī)律，螺旋圈越靠近極點(diǎn)彼此越加緊密。到了一定的距離，螺旋圈突然停止了。這條線連著中心區(qū)的輔助螺旋絲。輔助螺旋絲向著極點(diǎn)繞得越來越密，幾乎已經(jīng)接上了。對數(shù)螺線的這種特性已經(jīng)完全超出了我們的視力能夠觀察的范圍，這也是科學(xué)家一直進(jìn)行思考鉆研的原因。即使在最精密的儀器下面，我們的眼睛也會(huì)跟蹤不了那些密密麻麻的圓圈。但是，圓網(wǎng)蛛擁有這樣的本領(lǐng)，幾乎能夠精確地接近極限。

我們設(shè)想一根可以彎曲的線繞在對數(shù)螺線上，如果把它拉開，一直拉緊，那么它自由的一端就會(huì)卷成跟原先完全一樣的螺旋狀，只是曲線改變了方向。對數(shù)螺線還有另一個(gè)特點(diǎn)，能讓曲線在一條不確定的直線上繞圈，它的極點(diǎn)不斷移動(dòng)位置，但卻一直在同一直線上。無休止繞圈的結(jié)果是一條直線，持續(xù)變化產(chǎn)生出來的卻是一成不變。

科學(xué)家對于對數(shù)螺線總是無比鐘愛。著名的幾何學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)者雅各布·伯努利就是其中一位。他把對數(shù)螺線和由此線產(chǎn)生的延長線作為榮譽(yù)，鐫刻在墳?zāi)股希⒂幸欢蜗鄳?yīng)的銘文：“我原樣復(fù)活我自己。”對他而言，似乎找不到比幾何學(xué)更好的表達(dá)了。

阿基米德的墓志銘同樣讓人難以忘懷。這位敘拉古學(xué)者選擇了引以為傲的墓志銘，西塞羅在西西里擔(dān)任財(cái)政大臣的時(shí)候，在叢生的荊棘和野草中尋找，廢墟中一個(gè)刻在石頭上的幾何圖形吸引了他的目光。那是一個(gè)畫成球形的圓柱體，無言卻清晰地道出了學(xué)者的名字。因?yàn)榘⒒椎率堑谝粋€(gè)了解圓周與直徑的近似比率的人，并由此得出了圓周和圓面積以及球面積和球體積。球的面積和體積，是圓柱體的面積和體積的三分之二。

這種特性奇怪的對數(shù)螺線，讓科學(xué)家們?nèi)绱藰反瞬黄５匮芯恐驗(yàn)檫@是一張為生命服務(wù)的建筑圖。

軟體動(dòng)物總是按照這條深?yuàn)W的曲線在貝殼上繞螺旋斜線。這種動(dòng)物經(jīng)歷了幾千年的歲月，對這種曲線了如指掌。菊石自最遠(yuǎn)的時(shí)空向我們招手。它經(jīng)歷了陸地從海洋中顯現(xiàn)的時(shí)刻，對我們而言，它無疑是最寶貴的化石。沿著它生長的方向切開磨光，對數(shù)螺線體面地露出來，構(gòu)成一個(gè)漂亮的住宅，一根水管穿過，隔出無數(shù)的小房間。而今天，印度的海鸚鵡螺，是花紋貝殼的頭足綱軟體動(dòng)物的最末代繼承人。它是那么懷舊，不肯拋棄祖先的對數(shù)螺線的規(guī)則，但它稍稍做了改動(dòng)，把水管的位置移到了中心，而不是放在背上。

貝殼動(dòng)物喜愛對數(shù)螺旋的程度絲毫不亞于軟體動(dòng)物。在小草青青的溝渠里，那些扁平的扁卷螺也有高超的幾何學(xué)知識(shí)，它們的對數(shù)螺線也很美麗。

長形貝殼動(dòng)物雖然也受對數(shù)法則的支配，結(jié)構(gòu)卻要復(fù)雜得多。我有幾種來自喀新里多尼亞的錐尾螺，尖尖的錐約一拃長，表面光滑且完全裸露，樸素到?jīng)]有任何褶襞、結(jié)節(jié)、珍珠這些最平常的裝飾。它自豪地維持它的風(fēng)格，在錐上畫了20多個(gè)圈，越來越細(xì)，直到一條細(xì)線把它們攔截下來，終于消失在頂端。用鉛筆在這個(gè)錐體上隨意地畫出了一條母線之后，我發(fā)現(xiàn)，螺旋線以一種恒定值的角度切斷這條母線。

且看我這樣進(jìn)行分析：錐體的母線投射到與貝殼軸線相垂直的平面上，變成了半徑，而從底部轉(zhuǎn)圈上升至頂部的細(xì)線，彼此輔合成一條平的曲線，這條以恒定不變的角度與半徑相交的平曲線，就是漂亮的對數(shù)螺線。貝殼的條紋，也可以算作是對數(shù)螺線在錐形表面的投影。我們更可以假設(shè)一個(gè)與貝殼的軸線相垂直，并通過頂端的平面，和一條繞在螺旋線上的線。我們把這條線退出來拉得直直的，它的末端不會(huì)脫離平面，而是在平面上畫出一條對數(shù)螺線。這里我們看見了錐形對數(shù)曲線變成了平面對數(shù)曲線，伯努利“我原樣恢復(fù)我自己”衍化出的更復(fù)雜的變形。

這條著名的螺線，成為很多動(dòng)物旋轉(zhuǎn)的舞臺(tái)。長圓錐形的貝殼動(dòng)物，如錐螺、長辛螺、蟹瘦螺；扁圓錐形貝殼動(dòng)物，如馬蹄螺、嶸螺，都是幾何學(xué)的高手。就連蝸牛這樣普通的軟體動(dòng)物，也規(guī)規(guī)矩矩地遵循著對數(shù)的原則。這些軟綿綿、黏糊糊的動(dòng)物，掌握了讓我們驚嘆的科學(xué)。但是，它們是從哪里學(xué)會(huì)的呢？

有一種猜想是這樣說的：軟體動(dòng)物是從幼蟲衍生出來的。在進(jìn)化的某一天，幼蟲在陽光的照射下興致勃勃，歡快地?fù)u晃著尾巴，并把它擰成螺旋形，便突然找到了未來螺旋形貝殼的平面圖。但是，這種說法不適用于所有情況，蜘蛛就是一個(gè)例子。蜘蛛與幼蟲毫無血緣關(guān)系，也沒有什么工具可以卷出一個(gè)螺旋狀的東西，但是它卻那么輕易就織出了對數(shù)螺線。

蜘蛛造出了一種粗糙的框架，速度很快，至多只要一個(gè)小時(shí)；軟體動(dòng)物為了它精美的螺塔，要花上整整幾年的時(shí)間。為什么會(huì)有這種分別呢？因?yàn)橹┲胫恍枰嫵銮€的草圖，就算作品粗糙也沒有關(guān)系。但是，它對幾何術(shù)的掌握程度，卻是分毫不差的。

人們試圖在圓網(wǎng)蛛的身體結(jié)構(gòu)上找原因。步足可以自由伸縮，就像圓規(guī)一樣，能夠憑借彎曲程度和長短決定螺線橫穿輻射絲的角度，在每個(gè)扇形面保持橫線的平行。步足的長度決定了絲的布置，如果圓網(wǎng)蛛的腳長一點(diǎn)，螺旋彼此的間隔就要更寬一些。這個(gè)觀點(diǎn)我們能在彩帶蛛和絲蛛那里得到證實(shí)。彩帶蛛的步足比絲蛛長，蛛網(wǎng)上的橫線間隔就要大一些。

然而，角形蛛、蒼白圓網(wǎng)蛛和冠冕蛛，它們簡直都是矮胖子，但是它們那帶黏膠的螺旋線的距離卻與彩帶蛛不相上下，后兩種的旋轉(zhuǎn)螺旋絲的距離甚至更大。另外，圓網(wǎng)蛛在編織黏膠螺旋絲之前，它先編織了第一道輔助螺旋絲作為支撐點(diǎn)。這螺旋絲從中心出發(fā)到邊緣，圈的寬度迅速變大。等到蜘蛛鋪設(shè)黏膠螺旋絲時(shí)，它只剩下中央的部分。

于是，蜘蛛改變了它的機(jī)制，第二個(gè)螺旋絲以緊密的圈從邊緣向中心推進(jìn)，只用黏性的橫線編織。這成為捕蟲網(wǎng)的基本部分。兩者都是對數(shù)螺線，但在方向、圈數(shù)和相交角上都完全不同。所以，步足是長還是短，都不能影響螺旋線的分布。

這是一種與生俱來的技巧，圓網(wǎng)蛛不會(huì)事先進(jìn)行大量的計(jì)算，也不可能用眼睛對角度進(jìn)行測量，只是在無形之中，它做出了符合精密幾何學(xué)的工作。就像石頭和枯葉，不論被拋出還是從樹枝掉落，它們本身都不具有運(yùn)動(dòng)的意識(shí)，可偏偏都遵循拋物線這個(gè)巧妙的軌跡。

幾何學(xué)家還驚喜地發(fā)現(xiàn)，一條曾經(jīng)只能通過思辨得出的圖形，居然通過拋物線找到了，那是由拋物線的圓錐面和一個(gè)平面相交產(chǎn)生的切線。

再從拋物線出發(fā)，如果它在一個(gè)無限的直線上滾動(dòng)，那么這條圓錐曲線的焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么呢？于是，一個(gè)e數(shù)誕生了。它表示了拋物線的焦點(diǎn)畫出的一條懸鏈線的代數(shù)符號，這條線形狀非常簡單，但e數(shù)卻無法進(jìn)行任何列舉，且不管把這條線劃分得多么細(xì)都無法表示出單位來。讓我們來見識(shí)一下這個(gè)數(shù)的無限長級數(shù)：

如果有細(xì)心的讀者對它的前幾項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，會(huì)得到e=2.7182818……

然而，就到這里吧，因?yàn)樽匀粩?shù)的無限級數(shù)迫使這種計(jì)算是沒有盡頭的。這個(gè)奇怪的數(shù)字告訴我們，小小的線段里蘊(yùn)涵了大量的科學(xué)。每當(dāng)?shù)匦囊蛿_性同時(shí)發(fā)生作用時(shí)，一條懸鏈彎曲成兩點(diǎn)不在同一垂直線上的曲線，人們就能找到懸鏈線，如抓住一根軟繩子兩端垂下來，船帆被風(fēng)吹鼓，母山羊下垂的乳房中裝滿了乳汁……這里都有e數(shù)的存在。

我相信在一切小事物中都有無盡的科學(xué)，一個(gè)掛在線段的小鉛球，麥秸上掛著的一顆露珠，被微風(fēng)拂皺的一洼淺水。只要對這些加以計(jì)算，我們的大腦就被大量的數(shù)字所充斥。就算我們有巧妙的公式，但面對如此巨大的工程，能不能發(fā)掘出更加智慧的方法呢？

我在濃霧的早晨，看到e數(shù)出現(xiàn)在一張夜間剛剛織好的蛛網(wǎng)上。黏膠絲上面凝結(jié)著一個(gè)個(gè)圓滾滾的水珠，把黏膠絲拉彎，形成了一根根懸鏈線。偉大的e數(shù)也綻放著美麗的光彩，因?yàn)楫?dāng)太陽撥開大霧時(shí)，這些小水珠就化成了耀眼的鉆石，整個(gè)網(wǎng)就閃閃發(fā)光，誘人得就像正在展示的珠寶秀。

幾何，就像一個(gè)仔細(xì)的工程師，用精密的圓規(guī)測量了一切，然后悄悄地告訴了大自然。于是，我們欣賞松果鱗片的整齊排列，贊美蝸牛的螺旋上升斜線，驚嘆圓網(wǎng)蛛黏膠網(wǎng)的精致，探索行星軌跡的神秘。不論是微小的原子世界，還是廣闊的宇宙空間，幾何無處不發(fā)揮著作用。

可能我的解釋不符合目前流行的理論，但相比幼蟲卷起尾巴的說法，我認(rèn)為它具有更大的價(jià)值，正如我堅(jiān)信幾何學(xué)的高明一樣。