幾何原本

/古希臘/歐幾里得/科學(xué)史上的“《圣經(jīng)》”

⊙作者簡(jiǎn)介

歐幾里得（活動(dòng)時(shí)期約為公元前300年）亞歷山大學(xué)派前期的三大數(shù)學(xué)家之一。是希臘偉大的數(shù)學(xué)家，關(guān)于他的生平現(xiàn)在知道的很少。歐幾里得早年在雅典的柏拉圖學(xué)園受過教育，學(xué)習(xí)希臘古典數(shù)學(xué)和其他科學(xué)文化。由于雅典的衰落，數(shù)學(xué)界和其他科學(xué)一樣處于低迷狀態(tài)。公元前300年，歐幾里得嶄露頭角，后來應(yīng)統(tǒng)治埃及的托勒密國(guó)王的邀請(qǐng)客居亞力山大城，從事數(shù)學(xué)工作。他治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、謙虛，是一位溫良敦厚的數(shù)學(xué)教育家，他提倡在學(xué)習(xí)上刻苦鉆研，弄懂弄通，反對(duì)投機(jī)取巧，急功近利。據(jù)普羅克洛斯在書中記載，托勒密王曾問歐幾里得，有沒有學(xué)習(xí)幾何學(xué)的捷徑。歐幾里得回答說：“在幾何學(xué)里，沒有專為國(guó)王鋪設(shè)的大道。”斯托貝烏斯在書中記述了另一則有趣的故事，說一個(gè)學(xué)生才開始學(xué)第一個(gè)命題就問歐幾里得學(xué)了幾何之后將得到些什么，歐幾里得給了他三個(gè)錢幣，說他就能得到這點(diǎn)利益。由于在希臘后期失去了獨(dú)立性，導(dǎo)致雅典的學(xué)術(shù)文化中心向日益昌盛的埃及都城──亞歷山大城轉(zhuǎn)移。此時(shí)此刻的歐幾里得，以流亡者的心境旅居亞歷山大，內(nèi)心燃起一股熱情，要將以雅典為代表的希臘數(shù)學(xué)成果，運(yùn)用前人曾經(jīng)部分地采用過的嚴(yán)密的邏輯方法重新編纂成書。驚世鴻著《幾何原本》就是這樣于公元前300年前后誕生了。歐幾里得著有許多關(guān)于數(shù)學(xué)、物理、天文方面的著作，其中最偉大的著作就是流芳千古的《幾何原本》。

⊙背景提示

公元前3世紀(jì)的亞歷山大城是當(dāng)時(shí)地中海東部的經(jīng)濟(jì)、科學(xué)與文化的中心，這里建有稱譽(yù)世界的藏書70萬卷的圖書館，以及博物館、實(shí)驗(yàn)室、天文臺(tái)等文化科學(xué)設(shè)施。當(dāng)時(shí)有大批數(shù)學(xué)家在亞歷山大工作，他們的一些獨(dú)創(chuàng)性著作，直到今天仍然閃閃發(fā)光。歐幾里得將前人生產(chǎn)實(shí)踐中和科學(xué)研究中長(zhǎng)期積累的幾何知識(shí)，加以整理總結(jié)，形成演繹體系，寫出了歷史上理論嚴(yán)密、系統(tǒng)完整的第一部數(shù)學(xué)著作《幾何原本》。

⊙內(nèi)容提要

《幾何原本》的希臘原始抄本已經(jīng)流失了，它的所有現(xiàn)代版本都是以希臘評(píng)注家泰奧恩（約比歐幾里得晚700年）編寫的修訂本為依據(jù)的。《幾何原本》的泰奧恩修訂本分13卷，總共有465個(gè)命題，其內(nèi)容是闡述平面幾何、立體幾何及算術(shù)理論的系統(tǒng)化知識(shí)。《幾何原本》按照公理化結(jié)構(gòu)，運(yùn)用了亞里士多德的邏輯方法，建立了第一個(gè)完整的關(guān)于幾何學(xué)的演繹知識(shí)體系。所謂公理化結(jié)構(gòu)就是：選取少量的原始概念和不需證明的命題，作為定義、公設(shè)和公理，使它們成為整個(gè)體系的出發(fā)點(diǎn)和邏輯依據(jù)，然后運(yùn)用邏輯推理證明其他命題。《幾何原本》成為兩千多年來運(yùn)用公理化方法的一個(gè)絕好典范。

第一卷首先給出了一些必要的基本定義、解釋、公設(shè)和公理，還包括一些關(guān)于全等形、平行線和直線形的熟知的定理。該卷的最后兩個(gè)命題是畢達(dá)哥拉斯定理及其逆定理。

第二卷篇幅不大，主要討論畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的幾何代數(shù)學(xué)。

第三卷包括圓、弦、割線、切線以及圓心角和圓周角的一些熟知的定理。這些定理大多都能在現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)課本中找到。

第四卷則討論了給定圓的某些內(nèi)接和外切正多邊形的尺規(guī)作圖問題。

第五卷對(duì)歐多克斯的比例理論作了精彩的解釋，被認(rèn)為是最重要的數(shù)學(xué)杰作之一。

第七、八、九卷討論的是初等數(shù)論，給出了求兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)的最大公因子的“歐幾里得算法”，討論了比例、幾何級(jí)數(shù)，還給出了許多關(guān)于數(shù)論的重要定理。

第十卷討論無理量，即不可公度的線段，是很難讀懂的一卷。

最后三卷，即第十一、十二和十三卷，論述立體幾何。目前中學(xué)幾何課本中的內(nèi)容，絕大多數(shù)都可以在《幾何原本》中找到。

《幾何原本》原先一直是以手抄本的形式廣為流傳，幾個(gè)世紀(jì)中，許多數(shù)學(xué)家對(duì)它進(jìn)行了大量的注釋和評(píng)論。盡管歐幾里得受當(dāng)時(shí)重理論、輕實(shí)踐的哲學(xué)思想的影響，《原本》中全部是抽象的定義、公理和定理，沒有解決實(shí)際問題的內(nèi)容，但由于它有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系，因此在數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)研究上仍然受到人們的重視。12世紀(jì)以后，《幾何原本》被采用為大學(xué)教材，公元1500年左右印刷術(shù)出現(xiàn)后，這部著作迅速大量翻印，出現(xiàn)了1000多種版本，其發(fā)行量與傳播之廣，僅次于《圣經(jīng)》，成為西方世界歷史上翻版和研究最多的書。在17和18世紀(jì)，歐幾里得的著作是西方數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)。

⊙作品評(píng)價(jià)

《幾何原本》是一部劃時(shí)代著作，出現(xiàn)在兩千多年前，更難能可貴的是，它對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展所起的作用仍是任何其他著作所無法比擬的。今天，它的主要內(nèi)容仍在我們中學(xué)幾何教材中占有很大比重，并被公認(rèn)是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)和培養(yǎng)邏輯思維能力的必不可少的內(nèi)容。誠然，《幾何原本》存在著一些結(jié)構(gòu)上的缺陷，但這絲毫無損于這部著作的崇高價(jià)值。它的影響之深遠(yuǎn)，使得“歐幾里得”與“幾何學(xué)”幾乎成了同義語。它集中體現(xiàn)了希臘數(shù)學(xué)所奠定的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神，是人類文化遺產(chǎn)中的瑰寶。