三曰兩邊夾一角，或銳或鈍，求不知之一邊。以半徑為一率，所知角馀弦為二率，任以所知一邊正切為三率，求得四率，命為正切。對表得度，與所知又一邊相減，馀為分邊。乃以前得度馀弦為一率，先用邊馀弦為二率，分邊馀弦為三率，求得四率，為不知之邊馀弦。原角鈍，分邊大，此邊小；分邊小，此邊大。原角銳，分邊小，此邊小；分邊大，此邊大。此其理系三次比例省為二次。如圖甲丙丁形，知甲丙、甲丁二邊及甲角，中作垂弧丙乙，半徑與甲角馀弦之比，同于甲丙正切與甲乙正切之比。先一算為易明。既分甲丁于乙，而得丁乙分邊，甲乙馀弦與半徑之比，同于甲丙馀弦與丙乙馀弦之比。法當先以甲乙馀弦為一率，半徑為二率，甲丙馀弦為三率，求得四率，為丙乙馀弦。既得丙乙馀弦，半徑與乙丁馀弦之比，同于丙乙馀弦與丁丙馀弦之比。乃以半徑為一率，乙丁馀弦為二率，丙乙馀弦為三率，求得四率，為丁丙馀弦。然而乘除相報，故從省。兩邊夾一角若正，則徑以所知兩邊馀弦相乘半徑除之，即得不知邊之馀弦，理自明也。所知兩邊俱大俱小，此邊小；所知兩邊一小一大，此邊大。

四曰兩角夾一邊，求不知之一角。以角為邊，以邊為角，反求之；得度，反取之；求、取皆與半周相減。

五曰所知兩邊對所知兩角，或銳、或鈍，求不知之邊角。以半徑為一率，任以所知一角之馀弦為二率，對所知又一角之邊正切為三率，求得四率，命為正切，對表得度。復以所知又一角、一邊如法求之，復得度。視原所知兩角銳、鈍相同，則兩得度相加；不同，則兩得度相減；皆加減為不知之邊。乃按第一術對邊求對角，即得不知之角。原又一角鈍，對先用角之邊大于后得度，此角鈍；對先用角之邊小于后得度，此角銳。原又一角銳，對先用角之邊小于后得度，此角鈍；對先用角之邊大于后得度，此角銳。此其理系垂弧在形內與在形外之不同，及角分銳鈍，邊殊大小，前后左右俯仰向背之相應。如圖甲乙丙形，甲乙二角俱銳，兩銳相向，故垂弧丙丁，從中取正，而在形內。己丙庚形，己庚二角俱鈍，兩鈍相向，故垂弧戊丙亦在形內。庚丙乙形，庚乙兩角，一銳一鈍相違，垂弧丙丁，從外補正，自在形外。在形內者判底邊為二，兩得分邊之度，如乙丁、丁甲，合而成一底邊如乙甲，故宜相加。在形外者，引底邊之馀，兩得分邊之度，如庚丁、乙丁，重而不搑，底邊如庚乙，故宜相減。銳鈍大小之相應，亦如右圖審之。所知兩邊對所知兩角有一正，則一得度即為不知之邊，理亦自明。

六曰三邊求角，以所求角旁兩邊正弦相乘為一率，半徑自乘為二率，兩邊相減馀為較弧，取其正矢與對邊之正矢相減馀為三率，求得四率，為所求角正矢。此其理在兩次比例省為一次。如圖甲壬乙形，求甲角，其正矢為丑丁。法當以甲乙邊正弦乙丙為一率，半徑乙己為二率，兩邊較弧正矢乙癸與對邊正矢乙卯相減馀癸卯同辛子為三率，求得四率為壬辛。乃以甲壬邊正弦戊辛為一率，壬辛為二率，半徑己丁為三率，求得四率為丑丁。甲角正矢亦以乘除相報，故從省焉。

七曰三角或銳、或鈍求邊，以角為邊，反求其角；既得角，復取為邊；求、取皆與半周相減。此其理在次形，如圖甲乙丙形，甲角之度為丁戊，與半周相減為戊己，其度必同于次形子辛午之子辛邊，蓋丑卯為乙之角度丑點之交，甲乙弧必為正角，丁戊為甲之角度戊點之交，甲乙弧亦必為正角。以一甲乙而交丑辛、戊辛二弧皆成正角，則二弧必皆九十度，弧三角之勢如此也。戊辛既九十度，子己亦九十度，去相覆之戊子，己戊自同子辛，于是庚癸必同子午，卯未必同午辛，理皆如是矣。而此形之馀角既皆為彼形之邊，彼形馀角不得不為此形之邊，故反取之而得焉。若三角有一正，除正角外，以一角之正弦為一率，又一角之馀弦為二率，半徑為三率，求得四率，為對又一角之邊馀弦。此其理亦系次形，而以正角及一角為次形之角，以又一角加減象限為次形對角之邊，取象稍異。

凡茲七術，惟邊角相求，有銳鈍、大小不能定者，然推步無其題，不備列。此七題中求邊角有未盡者，互按得之。

檈圓形者，兩端徑長、兩腰徑短之圓面。然必其應規，乃可推算。作之之術，任以兩點各為心，一點為界，各用一針釘之，圍以絲線，末以鉛筆代為界之。針引而旋轉，即成檈圓形。如圖甲己午三點，如法作之，為丑午巳未檈圓，寅丑、寅巳為大半徑，寅午、寅未為小半徑，寅甲為兩心差，己甲為倍兩心差。甲午數如寅巳，亦同寅丑，己午如之；二數相和，恒與丑巳同。令午針引至申，甲申、申己長短雖殊，共數不易。甲午同大半徑之數如弦，兩心差如勾，小半徑如股，但知兩數，即可以勾股術得不知之一數。若求面積，以平方面率四００００００００為一率，平圓面率三一四一五九二六五為二率，大小徑相乘成長方面為三率，求得四率為檈圓面積。若求中率半徑，大小半徑相乘，平方開之即得。然自甲心出線，離丑右旋，如圖至戌，甲丑、甲戌之間，有所割之面積，亦有所當之角度。

角積相求，爰有四術：

一曰以角求積，以半徑為一率，所知角度正弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為倍兩心差之端，垂線如己酉。又以半徑為一率，所知角度馀弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為界度積線，引出之線如甲酉，倍兩心差之端垂線為勾自乘。以引出之線，與甲戌、己戌和如巳丑大徑者相加為股弦和，除之得較。和、較相加折半為己戌弦，與大徑相減為甲戌線。又以半徑為一率，所知角正弦為二率，甲戌線為三率，求得四率為戌亥邊。又以小徑為一率，大徑為二率，戌亥邊為三率，求得四率為辰亥邊。又以大半徑寅辰同寅丑為一率，半徑為二率，辰亥邊為三率，求得四率為正弦，對表得度。又以半周天一百八十度化秒為一率，半圓周三一四一五九二六為二率，所得度化秒為三率，求得四率為比例弧線。又以半徑為一率，大半徑為二率，比例弧線為三率，求得四率為辰丑弧線，與大半徑相乘折半，為寅辰丑分平圓面積。又以大半徑為一率，小半徑為二率，分平圓面積為三率，求得四率為寅戌丑分檈圓面積。乃以寅甲兩心差與戌亥邊相乘折半，與寅戌丑相減，為甲戌、甲丑之間所割面積。此其理具本圖及平三角、弧三角，其法至密。

二曰以積求角，以兩心差減大半徑馀得甲丑線自乘為一率，中率半徑自乘為二率，甲戌、甲丑之間面積為三率，求得四率為中率面積，如甲氐亢。分檈圓面積為三百六十度，取一度之面積為法除之，即得甲戌、甲丑之間所夾角度，此其理為同式形比例。然甲亢與甲氐同長，甲戌則長于甲丑，以所差不多，借為同數。若引戌至心，甲丑甲心所差實多，仍須用前法求甲戌線，借甲戌甲心相近為同數求之。

三曰借積求積，以所知面積，如圖之辛甲丑，用一度之面積為法除之，得面積之度。設其度為角度，于倍兩心差之端如庚己丑。以半徑為一率，己角正弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為甲子垂線。又以半徑為一率，己角馀弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為己子分邊。甲子為勾自乘，己子與大徑相減馀為股弦和，除之得股弦較。和、較相加折半得甲庚線。又以甲庚線為一率，甲子垂線為二率，半徑為三率，求得四率為庚角正弦，得度與己角相加為庚甲丑角。乃用以角求積法，求得庚甲丑面積，與辛甲丑面積相減馀如庚甲辛，又用以積求角法，求得度，與庚甲丑角相加，即得辛甲丑角。

四曰借角求角，以所知面積如前法取為積度，如丑甲丁。設其度為角度，于檈圓心如丁乙辛。以小半徑為一率，大半徑為二率，所設角度正切為三率，求得四率為丁乙癸角正切。對表得度，乃于倍兩心差之端丙作丙丑線，即命丑丙甲角如癸乙丁之角度，乃將丙丑線引長至寅，使丑寅與甲丑等，則丙寅同大徑。又作甲寅線，成甲寅丙三角形，用切線分外角法求得寅角，倍之為甲丙丑形之丑角，與丙角相加為丑甲丁角。此其理癸乙甲角度多于丑甲丁積度，為子乙癸角度。即以此度當前之補算辛甲庚者，蓋所差無多也。

此四術內凡單言半徑者，皆八線表一千萬之數。圖形尚無資料