◎時憲二

△推步算術

推步新法所用者，曰平三角形，曰弧三角形，曰檈圓形。今撮其大旨，證立法之原，驗用數之實，都為一十六術，著于篇。

平三角形者，三直線相遇而成。其線為邊，兩線所夾空處為角。有正角，當全圓四分之一，如甲乙丙形之甲角。有銳角，不足四分之一，如乙、丙兩角。有鈍角，過四分之一，如丁戊己形之戊角。圖形尚無資料

角之度無論多寡，皆有其相當之八線。曰正弦、正矢、正割、正切，所有度與九十度相減馀度之四線也，如甲乙為本度，則丙乙為馀度。正弦乙戊，正矢甲戊，正割庚丁，正切庚甲，馀弦乙己，馀矢丙己，馀割辛丁，馀切辛丙。若壬癸為本度，則丑癸為馀度，正弦癸辰，正矢壬辰，馀弦癸卯，馀矢丑卯，馀割子寅，馀切丑寅。以壬癸過九十度無正割、正切，借癸午之子未為正割，午未為正切。若正九十度丑壬為本度，則無馀度，丑子半徑為正弦，壬子半徑為正矢，亦無正割、正切，并無馀弦、馀矢、馀割、馀切。

古定全圓周為三百六十度，四分之一稱一象限，為九十度。每度六十分，每分六十秒，每秒六十微。圓半徑為十萬，后改千萬。逐度逐分求其八線，備列于表。推算三角，在九十度內，欲用某度某線，就表取之，算得某線。欲知某度，就表對之。過九十度者，欲用正弦、正割、正切及四馀，以其度與半周相減馀，就表取之。欲用正矢，取馀弦加半徑為之。既得某線，欲知某度，就表對得其度與半周相減馀命之。

圖形尚無資料

算平三角凡五術：

一曰對邊求對角，以所知邊為一率，對角正弦為二率，所知又一邊為三率，二三相乘，一率除之，求得四率，為所不知之對角正弦。如圖甲乙為所知邊，丁角為所知對角，乙丁為所知又一邊，甲角為所不知對角也。此其理系兩次比例省為一次。如圖乙丁為半徑之比，乙丙為丁角正弦之比。法當先以半徑為一率，丁角正弦為二率，乙丁為三率，求得四率中垂線乙丙。既得乙丙，甲乙為半徑之比，乙丙又為甲角正弦之比。乃以甲乙為一率，乙丙為二率，半徑為三率，求得四率，自為甲角正弦。然后合而算之，以先之一率半徑與后之一率甲乙相乘為共一率，先之二率丁角正弦與后之二率乙丙相乘為共二率，先之三率乙丁與后之三率半徑相乘為共三率，求得四率，自為先之四率乙丙與后之四率甲角正弦相乘數，仍當以乙丙除之，乃得甲角正弦。后既當除，不如先之勿乘。共二率內之乙丙與三率相乘者也，乘除相報，乙丙宜省。又共三率內之半徑與二率相乘者也，共一率內之半徑又主除之，乘除相報，半徑又宜省。故徑以甲乙為一率，丁角正弦為二率，乙丁為三率，求得四率，為甲角正弦。

二曰對角求對邊，以所知角正弦為一率，對邊為二率，所知又一角正弦為三率，求得四率，為所不知對邊。此其理具對邊求對角，反觀自明。

三曰兩邊夾一角求不知之二角，以所知角旁兩邊相加為一率，相減馀為二率，所知角與半周相減，馀為外角，半之，取其正切為三率，求得四率，為半較角正切。對表得度，與半外角相加，為對所知角旁略大邊之角；相減，馀為對所知角旁略小邊之角。此其理一在平三角形。三角相并，必共成半周。如圖甲乙丙形，中垂線甲丁，分為兩正角形。正角為長方之半，長方四角皆正九十度，正角形兩銳角斜剖長方，此角過九十度之半幾何，彼角不足九十度之半亦幾何，一線徑過，其勢然也。故甲右邊分角必與乙角合為九十度，甲左邊分角必與丙角合為九十度。論正角形各加丁角，皆成半周，合為銳角形。除去丁角，三角合亦自為半周。故既知一角之外，其馀二角雖不知各得幾何度分，必知其共得此角減半周之馀也。一在三角同式形比例。如圖丙庚戊形，知丙庚、丙戊兩邊及丙角。展丙庚為丙甲，連丙戊為甲戊，兩邊相加。截丙戊于丙丁，為戊丁，兩邊相減馀。作庚丁虛線，丙庚、丙丁同長，庚丁向圓內二角必同度，是皆為丙角之半外角，與甲辛、辛庚之度等。而庚向圓外之角，即本形庚角大于戊角之半，是為半外角。以庚丁為半徑之比，則甲庚即為丁半外角正切之比。半徑與正切恒為正角，甲庚與庚丁圓內作兩通弦，亦無不成正角故也。又作丁己線，與甲庚平行，庚丁仍為半徑之比，丁己又為庚向圓外半較角正切之比。而戊甲庚大形與戊丁己小形，戊甲、戊丁既在一線，甲庚、丁己又系平行，自然同式。故甲戊兩邊相加為一率，戊丁兩邊相減馀為二率，甲庚半外角正切為三率，求得四率，自當丁己半較角正切也。

四曰兩角夾一邊求不知之一角，以所知兩角相并，與半周相減，馀即得。此其理具兩邊夾一角。

五曰三邊求角，以大邊為底，中、小二邊相并相減，兩數相乘，大邊除之，得數與大邊相加折半為分底大邊，相減馀折半為分底小邊。乃以中邊為一率，分底大邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對小邊角馀弦。或以小邊為一率，分底小邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對中邊角馀弦。此其理在勾股弦冪相求及兩方冪相較。如圖甲丙中邊、甲乙小邊皆為弦，乙丙大邊由丁分之，丁丙、丁乙皆為勾，中垂線甲丁為股。勾股冪相并恒為弦冪，今甲丁股既兩形所同，則甲丙大弦冪多于甲乙小弦冪，即同丙丁大勾冪多于乙丁小勾冪。又兩方冪相較，恒如兩方根和較相乘之數。如圖戊寅壬庚為大方冪，減去己卯辛庚小方冪，馀戊己卯辛壬寅曲矩形。移卯癸壬辛為癸寅丑子，成一直方形，其長戊丑，自為大方根戊寅、小方根卯辛之和；其闊戊己，自為大方根戊庚、小方根己庚之較。故甲乙丙形，甲丙、甲乙相加為和，相減為較。兩數相乘，即如丙丁、丁乙和較相乘之數。丙乙除之，自得其較。丙午相加相減各折半，自得丙丁及乙丁，既得丙丁、乙丁，各以丙甲、乙甲為半徑之比，丙丁、乙丁自為馀弦之比矣。

此五術者，有四不待算，一不可算。對邊求對角，令所知兩邊相等，則所求角與所知角必相等。對角求對邊，令所知兩角相等，則所求邊與所知邊必相等。兩邊夾一角，令所知兩邊相等，則所求二角必正得所知外角之半。三邊求角，令二邊相等，即分不等者之半為底邊；三邊相等，即平分半周三角皆六十度，皆不待算也。若對邊求對角，所知一邊數少，對所知一角銳；又所知一邊數多，求所對之角，不能知其為銳、為鈍，是不可算也。諸題求邊角未盡者，互按得之。

弧三角形者，三圓周相遇而成，其邊亦以度計。九十度為足，少于九十度為小，過九十度為大。其角銳、鈍、正與平三角等。算術有七：

一曰對邊求對角，以所知邊正弦為一率，對角正弦為二率，所知又一邊正弦為三率，求得四率，為所求對角正弦。此其理亦系兩次比例省為一次。如圖甲乙丙形，知甲乙、丙乙二邊及丙角，求甲角。作乙辛垂弧，半徑與丙角正弦之比，同于乙丙正弦與乙辛正弦之比。法當以半徑為一率，丙角正弦為二率，乙丙正弦為三率，求得四率，為乙辛正弦。既得乙辛正弦，甲乙正弦與乙辛正弦之比，同于半徑與甲角正弦之比。乃以甲乙正弦為一率，乙辛正弦為二率，半徑為三率，求得四率，為甲角正弦。然乘除相報，可省省之。

二曰對角求對邊，以所知角正弦為一率，對邊正弦為二率，所知又一角正弦為三率，求得四率，為所求對邊正弦。此其理反觀自明。