3.3 光子晶體的光子頻帶結(jié)構(gòu)

3.3.1 光子晶體的理論分析方法[29],[30],[36],[38],[39]

光子在周期性結(jié)構(gòu)中的行為與電子在晶體中的行為非常相似。電子在晶體中的行為可以用薛定諤方程來描述，光子在周期性結(jié)構(gòu)中的行為則是用麥克斯韋方程描述。在具有周期性結(jié)構(gòu)的介質(zhì)材料中，由麥克斯韋方程可得到關(guān)于光子傳播行為的微分方程，該方程與電子在晶體中的薛定諤方程類似。雖然兩者在形式上存在相似性，但也有明顯的區(qū)別。例如，電子是費(fèi)米子（自旋為半整數(shù)），而光子是玻色子（自旋為整數(shù)）;描述光子行為的電磁波方程具有矢量形式，而描述電子行為的薛定諤方程是標(biāo)量方程。由于光子晶體具有類似于電子晶體的結(jié)構(gòu)，通常采用分析晶體的電子能帶結(jié)構(gòu)的方法結(jié)合電磁理論來分析光子晶體的特性，并取得了和實(shí)驗(yàn)一致的結(jié)果。主要的方法有:平面波展開法、球面波展開法、傳遞矩陣法、時(shí)域有限差分法、有限元法等。

對光子晶體性能的描述，主要基于光子頻帶的分析。光子晶體的頻帶圖主要說明光在光子晶體中的模式分布，但它只能確定光在其中以何種模式存在，而不能判定光在晶體中如何傳播。解釋光在周期性介質(zhì)中的傳播特性主要有兩種理論，一種是耦合模理論，另一種是布洛赫-弗洛凱（Bloch-Floquet）理論。相對于耦合模理論，布洛赫-弗洛凱理論能對光在周期性介質(zhì)中的行為給出一個(gè)比較直觀的理解。耦合模理論只是根據(jù)光在周期性結(jié)構(gòu)外部的行為來推測其在晶體內(nèi)部的行為，因此在處理光在晶體內(nèi)部的實(shí)際行為時(shí)存在先天的不足。

3.3.2 光子晶體的頻帶計(jì)算[29],[30],[39]

現(xiàn)在在理論上分析一下光子晶體的特性。假設(shè)構(gòu)成光子晶體的介質(zhì)是線性的和各向同性的，且設(shè)電場和磁場為簡諧模式（其他的任何模式都可以通過傅里葉級數(shù)疊加得到），即

將電場和磁場各自的表達(dá)式代入麥克斯韋方程中，有

式（3.3-2）表明在光子晶體中，電磁波是橫向的。再由麥克斯韋方程中的旋度式得

將式（3.3-3b）兩邊同時(shí)除以ε(r)后，并取旋度，把式（3.3-3a）代入其中便得到

引入算符，令

將式（3.3-4）寫成

類似地，可以得到描述電場的方程

可以證明算子不是厄米算子，而是厄米算子，其本征值為實(shí)數(shù)，并且其本征函數(shù)構(gòu)成完備正交系。因此一般通過求解方程（3.3-6）獲得光子晶體的頻帶結(jié)構(gòu)。式（3.3-5）中，介電函數(shù)ε（r）為周期函數(shù)，以晶格常數(shù)R為周期，即

為求解方程（3.3-6），將1/ε（r）展開成傅里葉級數(shù)形式

式中，各展開式系數(shù)表示為

對于由半徑為ra、介電常數(shù)為εa的介質(zhì)球在介電常數(shù)為εb的基質(zhì)材料中有序排列構(gòu)成的三維光子晶體，1/ε（r）可寫為

式中，S(r)定義為

將式（3.3-11）和式（3.3-12）代入式（3.3-10），得

當(dāng)G=0時(shí)，有

當(dāng)G≠0時(shí)，有

式中

f表示球形“原子”在晶格中所占的體積比，稱為填充因子。

根據(jù)布洛赫-弗洛凱理論，周期性結(jié)構(gòu)中的電磁波能夠用一系列平面波展開，所以可以得到光子晶體中磁場為

式中，ω為頻率;k是波矢，在第一布里淵區(qū)內(nèi)取值;G是倒格矢;eλ（λ=1，2）是與（k+G）相互垂直的兩個(gè)正交單位矢量。在得出上面的展開式時(shí)，利用了磁場H的橫波性，即▽·H=0，因此H的每一支平面波分量的磁場矢量均在垂直于（k+G）的平面內(nèi)振動(dòng)，可以由基矢eλ（λ=1，2）合成。將式（3.3-17）代入式（3.3-6），可以得到關(guān)于磁場展開式中傅里葉系數(shù)HG，λ的方程，即

式中

通過數(shù)值求解方程（3.3-18）即可得到本征模的色散關(guān)系，也即得到光子晶體的頻帶結(jié)構(gòu)。方程（3.3-18）只在特定的頻率處有解，而在某些頻率區(qū)域沒有解，從而形成光子頻帶。頻帶之間為光子禁帶。1990年，何啟明（Ho K. M.）等人考慮了電磁場的矢量特性，對一種面心立方結(jié)構(gòu)的光子晶體進(jìn)行了計(jì)算，得到其頻帶結(jié)構(gòu)，如圖3.3-1（a）所示。該光子晶體是由球狀空氣孔在折射率為3.5的介質(zhì)中形成的面心立方結(jié)構(gòu)，填充比為86%的空氣對14%的介質(zhì)。可以看出在布里淵區(qū)的大部分區(qū)域，存在著禁帶，但是在對稱點(diǎn)W、U處不存在禁帶，因此對于這種面心立方結(jié)構(gòu)只存在贗禁帶。圖3.3-1（a）中，沿X-U-L及X-W-K，虛線與實(shí)線分別對應(yīng)s光和p光。在面心立方結(jié)構(gòu)中，不存在完全禁帶的原因主要是在W、U點(diǎn)存在的對稱性造成了頻帶的簡并。如果能夠改變晶格的對稱性消除頻帶的簡并，就有可能獲得完全的禁帶。對金剛石結(jié)構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)，取適當(dāng)?shù)慕殡姵?shù)比和填充比能夠獲得完全的禁帶。圖3.3-1（b）所示為一定參數(shù)的金剛石結(jié)構(gòu)光子晶體的頻帶結(jié)構(gòu)。可以看出，對一定頻率的電磁波在布里淵區(qū)中都不存在對應(yīng)的布洛赫波矢，從而形成禁帶，并且是一個(gè)完全的禁帶。

光子禁帶的存在與否取決于光子晶體的結(jié)構(gòu)和介電常數(shù)。通常光子晶體中介質(zhì)間的介電常數(shù)相差越大，就越有可能出現(xiàn)光子禁帶。幾何形狀也影響光子禁帶的形成，通過改變光子晶體的對稱結(jié)構(gòu)也可以產(chǎn)生光子禁帶。