3.5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)的變形和剛度條件

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形是用兩截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度來度量的，稱為扭轉(zhuǎn)角（angle of twist）。由式（3-11）得

相距為l的兩個(gè)截面之間的扭轉(zhuǎn)角可通過將上式進(jìn)行積分得

式中，GIp稱為圓軸的抗扭剛度。若等直圓軸在兩個(gè)橫截面之間扭矩T不變，且GIP為常量，則兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為

對(duì)于各段扭矩不等或截面極慣性矩不等的階梯狀圓軸，軸兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為

為了機(jī)械運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定和工作精度，機(jī)器中的某些軸類構(gòu)件，除應(yīng)滿足強(qiáng)度要求之外，還不應(yīng)有過大的扭轉(zhuǎn)變形。因此，要根據(jù)不同要求，對(duì)受扭圓軸的變形加以限制，即進(jìn)行剛度設(shè)計(jì)。

從式（3-20）～式（3-22）可以看出，扭轉(zhuǎn)角?的大小與兩截面間距離l有關(guān)，因此在很多情形下，該量不能準(zhǔn)確地表征軸的扭轉(zhuǎn)變形程度。而相距單位長(zhǎng)度兩截面的扭轉(zhuǎn)角（稱為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角）與軸的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，能有效地表征軸的扭轉(zhuǎn)變形程度。單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角也稱扭轉(zhuǎn)角的變化率，即

單位是rad/m（弧度/米）。

扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計(jì)要求單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角限制在允許的范圍內(nèi)，即必須滿足剛度條件

式中，θ和[θ ]的單位均為°/m （度/米）；[θ ]為許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，其數(shù)值根據(jù)軸的工作要求而定，例如，對(duì)用于精密機(jī)械的軸，[θ ] = （0.25～0.5） （°/m）；對(duì)一般傳動(dòng)軸，[θ ] = （0.5～1.0） （°/m）；對(duì)剛度要求不高的軸，[θ ] = 2 （°/m）。

例題圖3-6中的桿件為圓錐體的一部分，設(shè)其錐度不大，兩端的直徑分別為d1和d2，長(zhǎng)度為l。沿軸線作用著均勻分布的扭轉(zhuǎn)力偶矩，集度為m。試計(jì)算兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。

分析：該桿件為連續(xù)變截面圓軸，且作用著分布外力偶矩，所以應(yīng)利用式（3-20）計(jì)算。

解：設(shè)距左端為x的任意橫截面的直徑為d，按幾何關(guān)系求得

該橫截面的極慣性矩為

同一橫截面上的扭矩為

T=mx

由式（3-20）得兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為

一臺(tái)電機(jī)的傳動(dòng)軸傳遞的功率為40 kW，轉(zhuǎn)速為1400 r/min，直徑為40 mm，軸材料的許用切應(yīng)力[τ]= 40 MPa，剪切彈性模量G = 80 GPa，，許用單位扭轉(zhuǎn)角[θ]= 1°/m，試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。

解：

1） 計(jì)算扭矩

2） 強(qiáng)度校核

3） 剛度校核

因此，該傳動(dòng)軸既滿足強(qiáng)度條件，又滿足剛度條件。

有一閘門啟閉機(jī)的傳動(dòng)軸。已知：材料為45號(hào)鋼，剪切彈性模量G = 79 GPa，許用切應(yīng)力[τ]= 88.2 MPa，許用單位扭轉(zhuǎn)角[θ]= 0.5 o/m，使圓軸轉(zhuǎn)動(dòng)的電動(dòng)機(jī)功率P = 16 kW，轉(zhuǎn)速為3.86 r/min，試選擇合理的圓軸直徑。

分析：該題同時(shí)給出了強(qiáng)度和剛度所應(yīng)滿足的許用切應(yīng)力和許用單位扭轉(zhuǎn)角，所以應(yīng)分別利用強(qiáng)度條件[見式（3-18）]和剛度條件[見式（3-24）]確定圓軸的直徑，然后選擇最大的值使強(qiáng)度和剛度同時(shí)得到滿足。

解：

1） 計(jì)算傳動(dòng)軸傳遞的扭矩

2） 由強(qiáng)度條件[見式（3-18）]確定圓軸的直徑

式中， ，于是得

3） 由剛度條件[式（3-24）]確定圓軸的直徑

式中， ，于是得

選擇圓軸的直徑d=155 mm（可取160 mm），既滿足強(qiáng)度條件，又同時(shí)滿足剛度條件。

一組合軸如例題圖3-9所示由內(nèi)圓軸與外圓套組成，長(zhǎng)為l。內(nèi)圓軸為銅，剪切彈性模量為G1，外圓套為鋼，剪切彈性模量為G2，兩者在交界面上牢固結(jié)合，鋼套的內(nèi)外半徑分別為R1和R2，在扭矩T的作用下，試推導(dǎo)扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力和兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。

分析：由于銅軸和鋼套牢固結(jié)合，所以扭轉(zhuǎn)變形時(shí)平面假設(shè)依然成立，于是兩圓柱內(nèi)的切應(yīng)變均可由式（3-8）表示。由此仿照3.4節(jié)的思路，由銅軸和鋼套各自的物理方程得到切應(yīng)力表達(dá)式，然后由靜力等效最終確定切應(yīng)力。

解：設(shè)由銅軸和鋼套牢固結(jié)合后組成的復(fù)合圓柱產(chǎn)生的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角為d? /dx，由式（3-8）得切應(yīng)變?yōu)?/p>

由物理方程得銅軸和鋼套的切應(yīng)力分別為

根據(jù)靜力學(xué)等效，得

求解，得

將式（b）代入式（a），得切應(yīng)力為

將式（b）進(jìn)行積分，得兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為

討論：從上面的推導(dǎo)過程可以看出，平面假設(shè)起到了關(guān)鍵的作用，有了該假設(shè)才能獲得應(yīng)變分量的表達(dá)式，即幾何關(guān)系。然后，再利用物理方程和靜力等效獲得應(yīng)力的計(jì)算公式。這一思路正是材料力學(xué)分析桿件結(jié)構(gòu)應(yīng)力和變形的基本方法。