3.4 圓軸扭轉的應力和強度

3.4.1 等直圓軸扭轉時橫截面上的應力

工程中最常見的軸是圓截面軸，本節將研究圓軸扭轉時橫截面上的應力分布規律，即確定橫截面上各點的應力，分析將通過以下三個步驟進行：

（1） 根據實驗觀察到的扭轉變形特征提出變形假設——平面假設，并據此導出變形的幾何關系，獲得應變分布的規律；

（2） 根據物理關系——剪切胡克定律，得到應力分布的規律；

（3） 由靜力學等效關系得到由內力扭矩計算橫截面上各點應力的公式。

取一等截面圓軸，如圖3-6（a）所示，在圓軸的表面繪上縱向線和圓周線，然后在軸的兩端施加一對外力偶矩，如圖3-6（b）所示。在小變形的情況下，可以觀察到，圓軸扭轉變形與薄壁圓筒的扭轉變形相同，各縱向線傾斜了同一微小角度 γ ；各圓周線均繞軸線旋轉了一微小角度，而圓周線的長度、形狀和之間的間距均未改變。圓周表面由周向線和縱向線所組成的正方形格子變成了菱形。由此做出圓軸扭轉變形的平面假設：圓軸變形后其橫截面仍保持為平面，其大小及相鄰兩橫截面間的距離不變，且半徑仍為直線。按照該假設，圓軸扭轉變形時，其橫截面就像剛性平面一樣，繞軸線轉了一個角度。

如圖 3-7（a）所示，利用兩橫截面m-m和n-n，從圓軸中取出長為dx的微段。根據微分的概念，變形后截面n-n相對于截面m-m繞軸旋轉了一微小角度d?。根據平面假設，半徑O2C轉至O2C′，O2D轉至O2D′。考察表面微小方格（稱為微元）ABDC的變形：BD = AC = dx，變形后表面上的點C移至點C'，點D移至點D'，于是有

CC′=R d?

根據切應變的定義，微元ABDC的切應變γ，即表面點A的切應變為

根據平面假定，距軸心O1、O2為ρ 處同軸柱面上微元EFGH[如圖3-7（b）所示]，即點E的切應變為

顯然，γρ發生在垂直于半徑O2H的平面內。由于d?/dx對同一橫截面上的各點為一常數，故式（3-8）表明：圓軸扭轉時，橫截面上任一點的切應變與該點至截面中心的距離成正比，即切應變沿半徑方向線性分布。

根據平面假設，圓軸扭轉變形時其上每一點只產生周向位移，設點E的位移為u?，則點H的位移為u? + du?，于是HH' = du?，式（3-8）可改寫為

該方程和式（3-8）均稱為扭轉的幾何方程。

根據橫截面上的切應變分布表達式（3-8），應用剪切胡克定律，可得

式（3-9）表明：圓軸扭轉時橫截面上任一點的切應力與該點至截面中心的距離成正比，因此與圓心等距的同心圓上各點的切應力大小相等。由于切應變與半徑垂直，因而切應力方向也垂直于半徑。根據切應力互等定理，軸的縱截面上也存在同樣大小的切應力，其分布如圖3-7（c）所示。

由于式（3-9）中的d?/dx尚未知，因而尚不能用以計算切應力，為了確定未知量d?/dx，需要考慮靜力學等效。

顯然，任一橫截面上的內力扭矩是由該截面上分布的切應力合成的。如圖3-8所示，在橫截面上任取一微面積dA，其上的微內力τρdA對圓心的矩為τρdA?ρ，所有內力矩的和等于該截面上的扭矩T，即

其中

稱為橫截面的極慣性矩（second polar moment），其量綱為m4。由式（3-10）得

將式（3-11）代入式（3-9），即得到橫截面上距圓心為ρ的任一點的切應力計算公式：

由式（3-11）可知，當ρ值達到最大ρ = R時，即在圓軸外表面，切應力達到最大：

式中

稱為抗扭截面模量（section modulus in torsion），其量綱為m3。

以下兩點值得注意：

（1） 以上各式是以平面假設為基礎導出的。實驗結果表明，平面假設只有對橫截面不變的圓軸才正確，所以上述各公式只適用于等直圓軸。但對截面沿軸線變化緩慢的小錐度錐形桿也可近似利用這些公式進行計算。

（2） 導出以上公式時使用了剪切胡克定律，因此只適用于最大切應力小于剪切比例極限的情況，即適用于線彈性范圍內的等直圓桿。

上述公式中引進了截面極慣性矩IP和抗扭截面模量WP，下面針對最常用的實心和空心截面給出這兩個量的計算。

1） 實心圓截面

如圖3-9（a）所示，根據式（3-10）計算極慣性矩，得

根據式（3-13），得抗扭截面模量為

2） 空心圓截面

如圖3-9（b）所示，根據式（3-10）計算極慣性矩，得

根據式（3-13），得抗扭截面模量為

式中，α = d/D。當α = 0時，式（3-15）退化為式（3-14）。

直徑D=50 mm的圓軸，受到扭矩T=2.15 kN?m的作用。試求距離軸心10 mm處的切應力，并求橫截面上的最大切應力。

解：

由圓軸扭轉橫截面上任意一點切應力公式可知，距軸心10 mm處的切應力為

截面上的最大切應力為

3.4.2 等直圓軸扭轉時斜截面上的應力

與桿件拉壓時的情況一樣，可以通過橫截面上的應力計算任意斜截面上的應力。為此，以成對的橫截面、徑向截面和圓周切向截面從受扭的等直圓軸內截取一微小的長方單元體，如圖3-10（a）所示，其中前后面為兩圓周切向截面，其上不受力；左右面為兩橫截面，上下為兩徑向截面，這些面上分別有切應力τ 和τ'。分析在單元體內垂直于前后面的任意斜截面mn上[如圖3-10（b）所示]的應力。

設斜截面外法線方向n與x軸的夾角為α，并規定由x軸逆時針轉至截面外法線方向為正；斜截面mn的面積為d A，則面mb和面nb的面積分別為dA cos α和dA sin α。由截面法取左半部分為研究對象，設斜截面上的正應力和切應力分別為σα和τα，如圖 3-10（b）所示，利用平衡方程得

∑Fη=0, σαdA+（τdAcosα）sinα+（τ′dAsinα）cosα=0

∑Fξ=0, ταdA?（τdAcosα）cosα+（τ′dAsinα）sinα=0

根據切應力互等，有τ 和τ' 相等。整理上式，得任意斜截面上的正應力和切應力計算公式：

由式（3-17）看出：

（1） 單元體的四個側面α = 0°和α = 90°，其上切應力的絕對值最大，均為τ；

（2） α = ±45°截面上的切應力為零，而正應力的絕對值最大，一個為拉應力，另一個為壓應力，其大小均為τ，且與切應力作用面互成45°，如圖3-10（d）所示。

3.4.3 圓軸扭轉的強度條件

圖 3-11 為典型的塑性材料（低碳鋼）和脆性材料（鑄鐵）試件扭轉加載時的應力-應變曲線。其中，低碳鋼有明顯的屈服，相應的剪切屈服強度為τs，強度極限為τb；鑄鐵沒有明顯的屈服，達到強度極限τb時破壞。圖3-12為兩種材料試件扭轉破壞的形式，其中，低碳鋼試件沿橫截面破壞，斷口比較光滑平整，屬于剪切破壞；鑄鐵試件沿 45°螺旋面斷開，斷口呈細小顆粒狀，屬于拉伸破壞。顯然，低碳鋼試件的扭轉破壞可認為是由于橫截面的切應力達到臨界值而引起的；而鑄鐵試件的扭轉破壞則是由于45°斜截面上的拉應力達到臨界值引起的。但由式（3-17）知，該斜截面上的正應力與橫截面的切應力大小相等，所以兩種情況下都可以利用橫截面的切應力建立強度條件，即

式中，τmax指圓軸所有橫截面上切應力中的最大值。對于等截面圓軸，最大切應力發生在扭矩最大的橫截面上的邊緣各點；對于變截面圓軸，如階梯軸，最大切應力不一定發生在扭矩最大的截面，這時需要根據扭矩T和相應抗扭截面模量WP的數值綜合考慮才能確定。[τ ]為許用切應力，對低碳鋼一類的塑性材料，取為

對鑄鐵一類的脆性材料，則取為

式中，n為安全系數。

階梯形圓軸如例題圖 3-3（a）所示，AB段的直徑d 1=50 mm，BD段的直徑d 2=70 mm，外力偶矩分別為：MeA=800kN·m,MeC=1kN·m,MeD=1.8kN·m。許用切應力[τ]= 40 MPa。試校核該軸的強度。

分析：首先應繪制該軸的扭矩圖，但由于屬變截面圓軸，所以最大切應力不一定發生在扭矩最大的截面，應根據扭矩T和相應抗扭截面模量WP的數值綜合考慮確定；對于階梯軸，可以每段進行強度校核。

解：扭矩圖如例題圖3-2（b）所示。雖然CD段的扭矩大于AB段的扭矩，但CD段的直徑也大于AB段直徑，所以對這兩段軸均應進行強度校核。

AB段：

CD段：

故該軸滿足強度條件。

材料相同的實心軸與空心軸，通過牙嵌離合器相連，如例題圖3-4所示。已知軸所傳遞的外力偶矩為Me=700 N·m。設空心軸的內外徑比α=0.5，許用切應力[τ]= 20 MPa。試計算實心軸直徑d1與空心軸外徑D2，并比較兩軸的截面面積。

解：

對實心軸利用扭轉強度條件得

求解得

d1≥56.3 mm

取d1=57mm。

對空心軸利用扭轉強度條件得

求解得

D2≥57.5 mm

取D2=58mm，于是內徑d2=αD2=29mm。

實心軸與空心軸的截面積比為

討論：

（1） 由上述結果可以看出，在傳遞同樣的力偶矩時，空心軸所耗材料比實心軸少。因此，從強度方面考慮，空心圓軸要比實心圓軸更合理，所以工程上在加工工藝的允許下往往將軸制成空心的。但空心圓軸的壁厚不能過薄，否則發生局部皺褶而喪失承載能力。實際中，應綜合考慮強度、剛度、加工復雜性、經濟成本等合理設計截面形式。

（2） 上述結論也可以用扭轉理論所提供的應力分布規律來解釋。實心軸中心部分的材料受到的切應力很小，這部分材料沒有充分發揮它的作用，因此做成空心的更能充分利用材料。

傳動機構如例題圖3-5所示，功率從輪B輸入，通過錐形齒輪將其一半傳遞給鉛垂軸C，另一半傳遞給水平軸H。已知輸入功率P1 = 14 kW，水平軸E和H的轉速n1 = n2 = 120 r/min；錐齒輪A和D的齒數分別為Z1 = 36，Z3 = 12；各軸的直徑分別為d1 = 70 mm，d2 = 50 mm，d3=35 mm，試確定各軸橫截面上的最大切應力。

分析：首先需根據傳遞的功率確定各軸所受的扭矩，然后利用式（3-13）計算最大切應力。

解：

1） 求各軸所承受的扭矩

各軸所傳遞的功率分別為

P1=14kW,P2=P3=P1 /2=7 kW

各軸的轉速分別為

n1=n2=120r/min

由式（3-1）求得各軸承受的扭矩為

2） 計算最大切應力

由式（3-13）得軸E、H、C橫截面上的最大切應力分別為