3.6 扭轉超靜定問題

同第 2 章的拉壓問題一樣，當扭轉問題的未知力數目多于獨立平衡方程數時，即為超靜定問題。其求解可采用力法或位移法，并需要同時考慮：靜力平衡關系、變形幾何關系和內力-變形關系。其中，根據變形幾何關系正確地寫出變形協(xié)調方程是求解問題的關鍵。下面通過例題說明其解法。

兩端固定的圓截面桿AB，在截面C處受一扭轉力偶M e作用，如圖例題3-10（a）所示，已知桿的扭轉剛度為GIP，試求兩桿端的約束反力偶矩。

分析：有兩個未知的約束反力偶矩，而平衡方程只有一個∑Mx=0，故屬于一次超靜定問題。設想固定端B為多余約束，解除后加上相應的未知多余約束力偶矩MB，得如圖例題3-10（b）所示的受扭靜定桿（稱為基本靜定系）。因為原超靜定桿兩端為固定約束，所以基本靜定系在外力偶矩和多余約束力偶矩作用下B端的扭轉角應等于零。由此，建立變形協(xié)調方程。

解：由外力偶矩Me引起的B端扭轉角?BM與多余約束力偶矩MB引起的B端扭轉角?BB的大小相等，得變形協(xié)調方程為

由式（3-20）得M e和MB引起的扭轉角分別為

將式（b）代入式（a）中，得多余約束力偶矩為

由平衡方程不難求得固定端A的約束反力偶矩，大小為Meb/l。

討論：本例題給出了一個利用力法求解超靜定問題更一般的步驟：

（1） 去掉多余約束，代之以未知的多余約束力，得到一個基本靜定系，注意該系統(tǒng)必須是一個能承受外力的結構，其上作用的力有原來的外力和未知的多余約束力；

（2） 根據原超靜定結構的約束情況建立變形協(xié)調方程，其數目與解除的多余約束個數相同；

（3） 根據內力-變形關系求得基本靜定系上每個力（包括外力和未知多余約束力）作用下的變形，代入變形協(xié)調方程，求得多余約束力；

（4） 由靜力學平衡方程求得其他約束力。

如例題圖3-11（a）所示，直徑為d = 25 mm的鋼軸上焊有兩圓盤凸臺，凸臺上套有外直徑D=75 mm、壁厚δ=1.25 mm的薄壁管，當桿承受外加扭轉力偶矩Me=73.6 N·m時，將薄壁管與凸臺焊在一起，然后再卸去外加扭轉力偶。假定凸臺不變形，薄壁管與軸的材料相同，剪切彈性模量G = 40 GPa。試：

（1） 分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內力，二者如何平衡？

（2） 確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應力。

例題圖3-11

例題圖3-11（續(xù)）

解：

（1） 分析卸載后軸和薄壁管橫截面上的內力。

焊接前，軸承受扭矩，軸發(fā)生扭轉變形。此時，若卸載，則軸的扭轉變形將全部恢復，因而軸的橫截面上不會有扭矩。但若與薄壁管焊接后再卸載，則軸的扭轉變形不能完全恢復，因而軸的橫截面上必然存在扭矩（設為T1），而且小于原來的扭矩（因為恢復了部分變形）。

二者焊接后形成一個整體，如果用一個假想截面將整體截開，此時整個橫截面由軸和薄壁管的兩部分橫截面組成。卸載后，由于沒有外加扭矩的作用，所以僅在軸的橫截面上存在扭矩（T1）無法使整個橫截面上的合力矩為零。因此，薄壁管的橫截面上必然存在與T1大小相等、方向相反的扭矩（記為T2），二者組成平衡力系，使截開的整個橫截面上合力矩為零，如例題圖3-11（b）所示。于是，有

T1 = T2

（2） 確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應力。

設軸受扭矩Me = 73.6 N·m作用時，長為l的兩端面相對扭轉角為?0，如例題圖3-10（c）所示。于是，由式（3-21）得

如例題圖 3-10（d）所示，焊接后卸載，薄壁管承受扭轉，設其相距為l的兩端面相對扭轉角為?2，則軸上沒有恢復的相對扭轉角為?1=?0??2，即

式（b）就是變形協(xié)調方程，其中

將式（a）和式（c）代入式（b），得

由此解得

其中

于是，卸載后薄壁管橫截面上的最大切應力為

將IP1、IP2值代入式（f），得

卸載后，軸橫截面上的最大剪應力為

討論：該例題實際上就是扭轉裝配應力問題。