2.8 軸向拉壓桿件的應變能

眾所周知，彈簧在外力作用下將發生彈性變形。在此過程中，外力將做功。在沒有能量損失的情況下，外力功全部轉化為彈簧的勢能。與此類似，彈性固體在外力作用下發生彈性變形，外力在相應位移上做功，同時彈性固體因變形而儲存能量，稱為應變能（energy），單位為焦耳J（= N · m）。本章將講述軸向拉壓構件的應變能計算，并對計算變形的能量方法做簡單介紹。

考慮圖 2-27（a）所示的等截面直桿，上端固定，下端承受由0緩慢增加至F的拉力，桿件在彈性范圍內伸長至Δl，設拉力F與伸長量Δl的關系為如圖2-27（b）所示的一般非線性關系，則外力F所做的功為

對于線彈性桿件，拉力F與伸長量ΔL成正比，于是有

利用式（2-20），代入式（2-25）中得

對于緩慢加載，沒有動能及其他能量損失，所以外力功W將全部轉化為桿件的應變能Vε，即W =Vε。如果桿件是均勻等截面的（E和A不變），其橫截面上的軸力FN為常值，則其中的應變能為

如果結構由 n個不同的軸力為常值的等截面桿件組成，則整個結構的應變能可以分段利用上述公式疊加得到，即

若桿件的軸力FN、模量E和/或橫截面面積A沿軸向變化，則應變能由下式計算：

值得注意的是，應變能與內力（外力）的關系不是線性的，而是內力的二次齊次函數，所以疊加原理不成立。例如，在軸力F1 + F2共同作用下的桿件的應變能不等于F1和F2分別單獨作用下的應變能之和（請讀者計算它們之間的差）。

單位體積內儲存的應變能稱為應變能密度，以vε表示，其單位是J/m3，可以通過在構件中選取如圖2-28（a）所示的單元體dx × dy × dz計算得到。對軸向拉壓桿件，取單元體的兩個平行面為橫截面，則僅在該平行面上受正應力σ作用并產生dx方向的正應變ε，如圖2-28（a）所示。設應力σ與應變ε的關系為一般非線性關系，如圖2-28（b）所示，則仿照前面分析得應力σ做的功（相當于σdydz在位移從0至ε1dx上做的功）為

式中，dV =dxdydz。根據能量守恒，dW應等于單元體內儲存的應變能dVε，于是得單位體積的應變能，即應變能密度為

顯然，對于線彈性體，應力σ與應變ε滿足胡克定律，于是有

桿件的應變能可以通過先計算應變能密度vε，再在整個桿件體積V上積分得到，即

若桿件內的應力是均勻的，則Vε=vεV。可以由此推出式（2-27）～式（2-29）。

應變能密度vε的單位是J/m3。將比例極限σp代入式（2-31）得到的應變能密度稱為回彈模量，表征線彈性范圍內材料吸收能量的能力。

正如前面指出，構件在外力作用下發生變形，引起外力作用點沿力作用方向產生位移，外力因此而做功；同時，構件因變形而儲存應變能。當外力緩慢變化時，動能和其他能量的變化就可以忽略，根據能量守恒原理，應變能Vε就等于外力功W。對于線彈性體，還有一個重要的事實，即應變能只取決于外力的最終值，而與加載歷史無關。依據能量原理可以計算構件的變形，相關的方法稱為能量法。

利用能量法重新計算例題2-8，即求如例題圖2-8（a）所示簡易懸臂式吊車點A的位移。

分析：結構在點A受豎直向下的載荷G作用，所以點A的豎向位移ΔAy可直接通過應變能Vε等于外力功WG 獲得。

解：先由節點A的受力平衡得到桿AB和桿AC的軸力FN1和FN2，過程見例2-8，結果分別為

由此，可以計算兩桿件中的應變能為

根據載荷G在豎向位移上做的功WG全部轉化為整個結構的應變能，得

由此，得

分析（續）：但遺憾的是，點A的水平位移ΔAx不能直接用同樣的方法求解。為求點A的水平位移，我們設想在作用G之前，先在點A作用一水平方向的載荷P，然后再作用G。利用應變能等于外力功求得結果。

解（續）：設點A作用一水平方向的載荷P，由受力平衡得到桿AB和桿AC的軸力和，結果為 0=， =P（這里略去過程）。載荷P在此過程做的功為

保持P不變，再在豎直方向作用G，在此過程中載荷P在由G引起的水平位移ΔAx上所做的功為P?ΔAx。于是，在整個加載過程中（先作用P，再作用G），總的外力功W為

W=WP+WG+P?ΔAx

該外力功等于P和G共同作用下結構的總應變能：

將式（a）和式（b）代入式（c）中，可求得

討論：該例題表明，若結構中只有一個載荷作用，可以直接利用“外力功等于應變能”這一基本的能量原理，計算載荷作用點沿載荷作用方向的位移。但該方法對多個載荷作用的情況不適用，也不能直接計算其他點或其他方向上的位移。而上述通過虛加外力來考慮不同加載順序的能量守恒，則為計算多個載荷作用下結構上任意一點的位移提供了一種可行的方法。以下以求結構上任意一點某方向的位移為例總結該求解思路。

（1） 設在原有載荷（可以是多個）作用下結構上待求位移點上某方向的位移為Δ，可以求得此時結構的內力（記為FNi）和應變能（記為VF），則載荷做功為

（2）在待求位移點沿位移方向虛加一任意外力P，可以求得結構單獨..作用虛加外力P時的結構內力（記為FNi）和應變能（記為VP），則外力P做功為

（3） 同時作用原有載荷和虛加外力P時的應變能為V（≠V1+V2！）。

（4） 考查如下的加載過程：先作用外力P，此時P做功為WP；再在保持P不變的情況下作用原有載荷，此時原有載荷做功為WF，同時，保持不變的外力P在由原有載荷產生的位移Δ上也要做功，其值為P?Δ。于是，根據能量守恒有

（5） 將式（i）和式（ii）代入式（iii）中，可求得

考慮到應變能是外力（內力）的二次齊次函數，則不難證明Δ與外力P的大小無關，因此可以設P為單位力，這就是求解線彈性結構位移的單位載荷法（或單位力法）的基本思路，將在能量法一章中做系統的介紹。對于由一系列軸向拉壓桿件組成的結構，則應變能為

設虛加外力P = 1，于是由（2-33）得

重復上述過程可以求得多個點上多個方向的位移。