2.7 簡單拉壓超靜定問題

2.7.1 超靜定的概念及解法

前面所討論的桿件，其軸力（或約束反力）可由相應(yīng)的靜力平衡方程直接求得，因為未知量的個數(shù)恰好等于獨立平衡方程的數(shù)目，這類問題稱為靜定問題（statically determinate problem）。例如，圖2-24（a）中的約束反力，圖2-24（b）中桿1、桿2的軸力均可直接由靜力平衡方程求得，屬于靜定問題。

在實際工程中，為了提高構(gòu)件的強度和剛度，或為了構(gòu)造上的需要，會適當(dāng)增加約束。例如，在圖2-24（a）所示桿的自由端增加剛性約束，如圖2-24（c）所示；或在圖2-24（b）所示的結(jié)構(gòu)中增加彈性桿 3，如圖 2-24（f）所示。這種約束稱為多余約束，其相應(yīng)的約束反力為多余約束力。多余約束會使構(gòu)件未知約束反力數(shù)目增加，多于獨立的平衡方程數(shù)目，因此不能僅憑靜力平衡方程求解所有未知力。這類問題稱為超靜定問題（statically indeterminate problem），相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)（statically indeterminate structure）。未知力數(shù)目與獨立的平衡方程數(shù)目之差，即多余約束力數(shù)目，稱為超靜定次數(shù)。如圖2-24（c）和圖2-24（e）所示的超靜定問題，其受力分別如圖2-24（d）和圖2-24（f）所示，均為一次超靜定問題。

由于超靜定問題的未知力數(shù)目多于獨立的平衡方程數(shù)目，因此若想求解全部未知力，勢必要建立與超靜定次數(shù)相同的補充方程。

對于超靜定結(jié)構(gòu)，由于多余約束的限制，各桿受力后不能隨意變形，必須與所受約束相適應(yīng)，因此各桿之間的變形必須相互協(xié)調(diào)，保持一定的變形幾何關(guān)系，該幾何關(guān)系式稱為變形協(xié)調(diào)方程（compatibility equation）（也稱為變形幾何方程）。將補充的變形協(xié)調(diào)方程和靜力平衡方程聯(lián)立求解，就可以解得全部未知力。下面以圖2-24（c）所示的一次超靜定問題為例，介紹簡單超靜定問題的求解方法，其中設(shè)桿件的幾何尺寸l、a、b和抗拉剛度EA均已知。

解法一：

（1） 靜力平衡關(guān)系 桿件受力如圖2-24（d）所示，由僅有的一個獨立平衡方程ΣFy = 0，得

該方程有兩個未知力FRA和FRB，無法求解，還需建立一個補充方程。

（2） 變形協(xié)調(diào)關(guān)系 由于兩端約束的存在，桿件受力變形后，其總長度不發(fā)生變化，這就意味著AC段的伸長量Δl1與BC段的壓縮量Δl2相等，由此可得變形協(xié)調(diào)方程：

（3） 內(nèi)力-變形關(guān)系 由變形與軸力的關(guān)系式（2-20），得

將式（c）代入式（b），可得

聯(lián)立式（a）和式（d）求解得兩端約束反力FRA和FRB為

結(jié)果為正號，說明圖2-24（d）所示的FRA和FRB的指向即為桿件受力的真實方向。求得約束反力后，即可進行軸力、應(yīng)力、強度等的計算。

上述求解超靜定問題的方法，以約束反力為未知量進行求解，稱為力法。同樣的問題也可以以位移為未知量進行求解，稱為位移法。

解法二：設(shè)載荷F作用的截面發(fā)生向下的位移Δl。

（1） 變形協(xié)調(diào)關(guān)系 由于桿件受力變形后總長度不發(fā)生變化，所以 AC 段伸長Δl，BC 段縮短Δl。

（2） 內(nèi)力-變形關(guān)系 由變形與軸力的關(guān)系式（2-20）得A和B兩端的約束反力（如圖2-24（d）所示）分別為

（3） 靜力平衡關(guān)系 由平衡方程ΣFy = 0，得

將式（a）代入式（b），解得

將式（c）代入式（a）即可得到約束反力FRA和FRB，進而計算軸力、應(yīng)力、強度等。

由上可見，無論是力法還是位移法，均需要同時考慮：① 靜力平衡關(guān)系（包括外力之間及外力與內(nèi)力之間的平衡）；② 變形幾何關(guān)系（即變形協(xié)調(diào)方程）；③ 內(nèi)力-變形關(guān)系（包含了物理方程的變形與內(nèi)力之間的關(guān)系）三個方面，才能求得問題的全部解答。

如例題圖2-9（a）所示的結(jié)構(gòu)，若橫梁AB為剛性梁，桿1、桿2截面抗拉壓剛度的關(guān)系為E2A2 = 5E1A1，試求力F作用端B的鉛垂位移。

分析：由例題圖2-9（b）所示的橫梁AB的受力圖可知，作用于其上的未知力共有4個：FAx、FAy、FN1和FN2，而該平面一般力系只有3個獨立的平衡方程，因此屬于一次超靜定問題。這里采用位移法求解，設(shè)B端在力作用下產(chǎn)生向下的鉛垂位移YB。

解：

（1） 變形協(xié)調(diào)關(guān)系。由橫梁AB的受力如例題圖2-9（b）所示，設(shè)桿1受拉，桿2受壓。結(jié)構(gòu)的變形幾何關(guān)系如例題圖2-9（c）所示，桿1、桿2的變形量ΔL1、ΔL2與B端的鉛垂位移YB （=BB′）存在如下關(guān)系：

（2） 內(nèi)力-變形關(guān)系。由變形與軸力的關(guān)系式（2-20），得桿1、2的軸力分別為

（3） 靜力平衡關(guān)系。以例題圖2-9（b）所示橫梁AB為研究對象，建立平衡方程

ΣMA = 0， FN1sin 30°×2a+FN2sin 45°×a?F×3a=0

將式（c）和式（d）代入上式，可解得B端的鉛垂位移為

討論：由上述例題的分析過程可知，在超靜定結(jié)構(gòu)中，桿件的內(nèi)力與各桿的剛度有關(guān)，結(jié)構(gòu)中任一桿剛度的改變都會引起所有桿件內(nèi)力的重新調(diào)整，這是超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)的重要區(qū)別之一。

2.7.2 溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力

實際工程中，結(jié)構(gòu)會因溫度變化產(chǎn)生伸長或縮短。靜定結(jié)構(gòu)由于可以自由變形，所以溫度均勻變化時不會引起構(gòu)件的內(nèi)力。但對超靜定結(jié)構(gòu)，由于多余約束的存在，溫度變化引起的變形將受到阻礙，結(jié)構(gòu)內(nèi)將因此引起內(nèi)力和應(yīng)力。這種由于溫度變化引起的應(yīng)力，稱為溫度應(yīng)力。

如圖2-25（a）所示，桿AB兩端A、B均為剛性約束。設(shè)裝配后桿的溫度升高了ΔT，若桿為如圖2-25（b）所示的靜定桿，則將自由伸長，伸長量為

式中，α為材料的線膨脹系數(shù)。但實際上兩端的剛性約束限制了其自由伸長，所以約束端將對桿施加作用力FRA和FRB，從而引起桿件的內(nèi)力和應(yīng)力，如圖2-25（c）所示。由平衡方程得

一個方程不能確定兩個未知力，所以對該一次超靜定問題,需要補充一個變形協(xié)調(diào)方程。考慮到升溫后桿件保持原長不變，所以桿件由于溫度升高而產(chǎn)生的伸長量ΔlT（如圖2-25（b）所示），應(yīng)等于兩端壓力FRA和FRB作用下桿的壓縮量ΔlP（如圖2-25（c）所示），即

由變形與軸力的關(guān)系式（2-20），得

聯(lián)立式（2-23）、式（b）和式（c），得

F RB =EAαΔT

由此，得溫度應(yīng)力為

溫度應(yīng)力有時會很大，工程中往往采取一些措施避免過高的溫度應(yīng)力，如管道中增加伸縮節(jié)，或鋼軌之間留有伸縮縫。

如例題圖2-10（a）所示，兩桿均為鋼桿, E = 200 GPa，α = 12.5 × 10?6/℃。兩桿橫截面面積均為A = 10 cm2。若BC桿溫度降低20℃，而BD桿溫度不變。求兩桿的內(nèi)力。

分析：桿BC溫度降低將引起其縮短，但點B的約束限制了豎向位移，所以桿內(nèi)將產(chǎn)生內(nèi)力。同時點B水平位移將導(dǎo)致桿BD變形并產(chǎn)生內(nèi)力。由例題圖2-10（b）所示的節(jié)點B的受力圖可知，作用于該點的未知力共有3個：FRB、FN1和FN2，而該平面匯交力系只有2個獨立的平衡方程，因此屬于一次超靜定問題。

解：

（1） 靜力平衡關(guān)系。由點B沿水平方向的平衡，得

（2） 變形協(xié)調(diào)關(guān)系。設(shè)桿BC由于溫度降低和軸力FN1（拉力）共同作用產(chǎn)生的縮短為Δl1 = BB1，桿BD由于軸力FN2（壓力）產(chǎn)生的縮短為ΔL2 = BB2。根據(jù)變形后的幾何關(guān)系（如例題圖2-10 （c）所示），得

（3） 內(nèi)力-變形關(guān)系。由式（2-20）和式（2-23）得溫度降低和拉力FN1共同作用下，桿BC的縮短量為

在壓力FN2作用下，桿BD的壓縮量為

將式（c）和式（d）代入式（b），并與式（a）聯(lián)立得

FN1=30.3 kN, FN2=26.6 kN

構(gòu)件加工制造過程中的誤差是難免的。對于靜定結(jié)構(gòu)，這種加工誤差除了引起結(jié)構(gòu)的微小變形外，不會引起內(nèi)力。但對于超靜定結(jié)構(gòu)，則會引起內(nèi)力。如圖2-26（a）所示的桿AB，由于制造誤差，使桿件比設(shè)計值長了δ，若將該桿安裝成如圖2-26（b）所示兩端為剛性支承的結(jié)構(gòu)，則桿 AB 必須縮短δ，從而勢必在桿件內(nèi)部引起軸力和應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。

求解上述結(jié)構(gòu)裝配應(yīng)力的方法與一般的超靜定問題相同，完全可以仿照上面求解圖2-25所示結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力的過程，只要以δ替換溫度改變引起的伸長量ΔlT=αΔT?l，即可求得裝配應(yīng)力為

如例題圖2-11（a）所示，桿1、桿2、桿3的面積均為A = 2 cm2, 長度l = 1 m，彈性模量E =200 GPa，若制造時桿3短了δ = 0.08 cm。試計算剛性橫梁ACB安裝后1、2、3桿的內(nèi)力。

分析：將短了δ的桿3與剛性橫梁ACB連接后，桿3將伸長并產(chǎn)生內(nèi)力，為了保持剛性橫梁AB不變形，桿1和桿2必然要做相應(yīng)的伸長和縮短，從而在桿內(nèi)產(chǎn)生內(nèi)力。由例題圖2-11（b）所示的剛性橫梁ACB的受力圖可知，作用于其上的未知力共有3個：FN1、FN2和FN3，而該平行力系只有2個獨立的平衡方程，因此屬于一次超靜定問題。

解：

（1） 靜力平衡關(guān)系。剛性橫梁ACB的受力如例題圖2-11 （b）所示，由平衡方程得

（2） 變形協(xié)調(diào)關(guān)系。設(shè)桿1和桿3的伸長量分別為Δl1為Δl3，桿2的壓縮量為Δl2。由于剛性橫梁ACB在裝配后（A′C′B′）仍為直線，如例題圖2-11（c）所示。由幾何關(guān)系得

（3） 內(nèi)力-變形關(guān)系。由式（2-23）得軸力作用下，桿1、桿2、桿3的變形量分別為

將式（d）代入式（c），并與式（a）、式（b）聯(lián)立得