2.6 軸向拉伸與壓縮時的變形

桿件軸向拉伸或壓縮時主要產生沿軸向的縱向變形和垂直于軸向的橫向變形。本節首先討論拉壓桿件的應變，然后結合橫截面的應力計算公式（2-2）和應力-應變關系即胡克定律[式（2-8）]，導出由軸力計算變形的公式。

設一原長為l的等截面直桿，如圖2-22所示，在外力F作用下產生軸向拉伸變形。其軸向變形通常以桿件變形后沿軸向的長度改變量Δl表征，即

式中，l和l′分別為桿件變形前后的長度。軸向變形又稱為縱向變形。

桿件的橫向變形則以桿件變形后橫向尺寸的改變量表征。設b 和 b′分別為桿件變形前后的橫向尺寸，則桿件的橫向變形可表示為

縱向變形Δl及橫向變形Δb均為絕對變形，其數值會受到桿件原始尺寸的影響，因此通常用相對變形來描述桿件拉壓時的變形程度，即

分別稱為縱向應變和橫向應變，均為無量綱量。

實驗結果表明：當桿件軸向伸長時，與軸線垂直的橫向尺寸將相應縮短；軸向縮短時，橫向伸長。在彈性范圍內，縱向應變ε與橫向應變ε′之間滿足如下關系：

式中，v稱為橫向變形系數或泊松比（Poisson's ratio）。它是一個材料彈性常數，無量綱量，可從有關手冊中查得。

應該注意的是，式（2-17）只對桿長l范圍內沿軸向均勻變形的情況成立。當桿件承受沿軸向變化的分布載荷作用時，或彈性模量、橫截面面積等沿軸向變化時，其變形沿軸向不再均勻。若變形沿軸向分段均勻，則可分段應用式（2-17）；否則，需通過選取微段進行變形分析得到應變。如圖2-23所示，設x處截面m-m變形后相對左端的位移為l（x） [即原長為x的左側部分桿變形后的長度為l（x）]，則x+dx處截面n-n變形后相對左端的位移為l（x）+dl，即原長為 dx 的微段變形后的長度為 dl, 于是 x處的縱向應變為

該方程也稱為幾何方程。對于均勻變形，l（x）為線性函數，因而ε為常數，可由式（2-17a）直接確定。式（2-17a、b）也是幾何方程。

2.4節中已經指出，在彈性范圍內應力與應變之間滿足胡克定律：

σ=E?ε

對于均勻變形的等截面直桿，將幾何方程式（2-17a）和應力計算公式（2-2）代入上述胡克定律，可得拉壓時的軸向伸長（即縱向變形）為

式（2-20）表明：桿件拉壓時的軸向伸長Δl與軸力FN和桿件原長l成正比，與桿件橫截面面積A成反比。式（2-20）是胡克定律的又一表達形式，其中的EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度，表征桿件抵抗拉或壓的能力。EA越大，桿件的變形越小，即抵抗拉（壓）變形的能力越強。

應用式（2-20）時需注意，在桿長l范圍內，軸力FN、彈性模量E和橫截面面積A均要求為常量。若FN、A和E均為沿軸向的分段常值函數，則可分段應用式（2-20）；若三個量其中之一為連續變化的函數，則需取微段進行分析計算，或將式（2-19）和應力計算公式（2-2）代入胡克定律，得

將式（2-21）沿桿全長積分，得桿的軸向伸長為

試求例題2-2中變截面直桿ABC的軸向伸長。設lAB =lBC =0.6 m,E=200 GPa。

分析：由于軸力和橫截面面積均為沿軸向的分段常值函數，所以可分段應用式（2-20）求得變形。

解：

1） 求桿的軸力

由例題2-2可知：AB段的軸力FNAB = FN1 = ?30 kN

BC段的軸力FNBC = FN2 = 20 kN

2） 求桿ABC的伸長量

對AB段、BC段桿分段應用式（2-20）計算軸向伸長量：

則桿的總伸長量為

Δl=ΔlAB+ΔlBC =? 0.13+0.19=0.06 mm

等截面直桿AB如例題圖2-7（a）所示，已知桿長l，截面面積A，單位體積重量γ，材料的彈性模量E，試求桿AB由于自重引起的軸向伸長。

分析：桿受沿長度方向均勻分布的重力，其集度為γA。由于軸力FN沿桿長連續變化，所以需應用式（2-22）計算軸向伸長。

解：

1） 求任意橫截面的軸力

以距自由端B為x的橫截面截取桿并取下側部分為研究對象，如例題圖2-7（b）所示，由平衡方程得

FN（x）=γAx

由上式可知，桿AB的軸力沿桿長線性分布，軸力圖如例題圖2-7（c）所示。

2） 求桿AB的軸向伸長

由式（2-22）得桿AB的軸向伸長量為

簡易懸臂式吊車如例題圖2-8（a）所示，吊車的三角架是由鉸鏈B、C和桿AB、AC連接而成，斜桿AB的橫截面面積A1=9.6×10?4 m2，水平桿AC的橫截面面積A2=25.48×10?4 m2。桿AB、AC材料相同，E = 200 GPa，試求當點A處起吊G = 57.5 kN的重物時，節點A的位移。

分析：在重物G作用下，桿AB和桿AC將分別發生變形，節點A的位移是由桿AB、AC變形引起的，根據變形后兩桿件仍鉸在一起，與BC構成三角形，可以確定變形后點A發生的位移。

解：

1） 計算桿AB、桿AC的變形

節點A的受力如例題圖2-8（b）所示，設桿AB軸力為FN1（拉），桿AC軸力為FN2（壓），應用節點A的平衡方程，得

其中， ，即α=30°。

桿AB受拉，產生拉伸變形，其伸長量Δl1為

桿AC受壓，產生壓縮變形，其收縮量Δl2為

2） 求節點A的位移

假想將桿AB和AC在節點A處拆開，并保持在原位置上，由各自軸力作用下發生拉伸變形Δl1和壓縮變形Δl2后變為BA1及CA2，如例題圖2-8（c）所示。分別以點B和點C為圓心，以兩桿變形后長度BA1和CA2為半徑作兩圓弧，則兩弧交點A3即為桿件變形后點A的新位置，由此可得點A的位移。

上述方法雖然可得節點A位移的精確數值，但計算復雜。考慮到桿件的變形Δl1和Δl2 均十分微小，故可分別過點A1和點A2作桿BA1和桿CA2的垂線，代替上述圓弧線A1A3和A2A3，如例題圖2-8（c）所示。將兩垂線的交點A′近似地視為節點A變形后的位置。

分析變形幾何關系，如例題圖2-8（c）所示，可得點A的水平位移：

ΔAx=AA2=Δl2=0.68mm （←）

A點的鉛垂位移：

討論：該題在計算點A的位移時，利用了垂線代替弧線，這僅在小變形下成立，感興趣的讀者可以利用微積分中的泰勒展開知識進行嚴格的證明（習題 1-5）。另外，作位移關系圖（例題圖2-8（c））時，請注意桿件的變形應與該桿軸力的拉壓性質一致。