工作和生活中的數學

社會學家預計，到2008年，美國將產生2000萬個與數學相關的就業崗位。但不幸的是，據估計，在21世紀初，60%的新工作崗位門檻都不低，在當下的勞動力中，僅有20%的人可以勝任這類工作。那么，為應對社會發展趨勢，年輕人需要掌握怎樣的數學能力呢？

英國菲利普斯實驗室負責人雷·皮科克是業界頗有名氣的企業操盤手，他曾對未來職業所需的幾方面能力發表過一些觀點：

“很多人認為，擁有知識的人才是我們想要的，我不同意，因為當今世界，知識的時效性已經非常短了。我們招聘員工，不是為了他們腦子里的知識儲備，而是希望他們能做實事、解決實際工作中的問題，這些都是書本以外的技能。我需要的是他們靈活運用知識的能力以及持續學習的能力，還有團隊協作能力。而在團隊協作中，溝通能力是重要的一環……現在的工作不是45分鐘干完就能拍屁股走人的，而是需要持續一整天甚至三個星期的時間，堅持不下去的人就會被淘汰。因此，未來的人才需要具備靈活性、團隊協作力、溝通能力和堅持不懈的品質。”

重視問題解決能力和靈活運用知識能力的企業不在少數。調查顯示，制造業、信息技術和其他技術行業，都需要具備統計能力、空間想象力、系統思維力和估算能力的年輕人才。這些人才在崗位上面臨文書、溝通和動手實操等多方面的工作，還要對工作中的專業信息進行轉譯和直觀呈現，在工作出現問題的時候，還要懂得獨立解決問題。

數學應用思維不僅是未來工作崗位所需的重要能力，也是生活中重要的生存技巧。新澤西州立羅格斯大學教育心理學教授福曼和數學榮譽教授斯蒂恩在1999年就提出，當今人們面對的信息包含著大量的定量信息（如財政預算、利潤、通貨膨脹、全球變暖、極端天氣發生的概率等），并且這些信息還是用數學語言（如各項圖表和百分數）呈現出來的。無論是網上沖浪、解讀病例、開藥吃藥，還是看新聞時事、管理財務、參政議政，在接下來的時代里，數學能力都是最基本的思考能力。

但上述技能需要的都不是我們在課堂上學習的那種數學能力。生活中的數學能力不是死記硬背，而是能通過推理和分析，在各種情境下靈活調整標準方法，解決實際問題。甚至有人稱，數學中體現的邏輯思維能力是一種新型的公民權利，可見數學在當代社會的重要性。新一代獨立思考的青年，如果想真正掌控自己的公民權利，就得掌握數學推理能力：邏輯思考、數據對比、分析論證和運用數據進行論證。《商業周刊》就曾斷言“世界正在進入數字時代”（2006年1月23日）。在這種趨勢下，數學教育需要趕上來，不僅是為了讓學生體驗數學的真實用處，也是為了提高未來勞動力的素質，更是幫助我們的下一代更好地適應未來的生活。

數學在工程應用類崗位中影響最大，這類崗位的準入門檻便是高水平的數學應用能力。加利福尼亞州立大學中等教育學專家朱莉·蓋恩斯伯格曾深入結構工程師的工作崗位，進行了超過70小時的研究，她發現盡管這些工程師在工作中高頻使用數學，但很少用得上標準方法和程序。

舉個例子，他們需要解讀和轉譯接到的需求（如停車場設計或墻體支撐），然后建立一個簡化模型，再將數學方法應用到這個模型當中。在這個過程中，他們要不斷選擇和調試，讓數學方法適配工作模型（如在工作中使用各種圖表、釋義、方程、圖示和數據表格），并證明和傳達他們的方法和結果。因此，工程師需要足夠靈活，讓理論適應現實。盡管偶爾能遇到用標準數學公式就能解決的任務，但這種情況非常少，工程師們處理的通常是“結構不明確，也無標準結果”的問題。

正如蓋恩斯伯格教授所寫：“結構工程師的一大工作內容便是識別和定義問題，將其轉化為可解的形式；在多種可能性中動態選擇和調整數學方法，甚至需要發明新方法。工程師們早已習慣為一項需求提供多種解決方案，在實際工作中往往受多方利益牽制，所以最終選擇的很少是理想中的最優方案。”

蓋恩斯伯格的研究結果在其他需要數學能力的工作中同樣得到體現，如設計領域、科技領域和醫學研究領域的工作。她的結論是：傳統K-12數學教育注重數學運算，這是執行工作，并不能幫助學生建立起問題解決能力，而這是在未來高新科技工作領域中所需要的最基本的能力。

倫敦大學數學教育學教授西莉亞·霍伊爾斯和理查德·諾斯對工程技術、醫療護理和金融領域中的數學應用進行了分析。以護理領域為例，在藥理計算和給藥場景下，護士們常用到“比例”這一數學概念。畢竟人命關天，用藥比例的計算必須非常精確。研究人員發現，各工種的護士在用藥劑量上都需接受工作培訓，這便是他們的“金科玉律”：

所需有效成分的量/單位劑量所含有效成分的量×單位劑量=用藥量

舉個例子，如果醫生為病人開了300 mg的藥品，此藥品是每支2 mL的規格，每支含120 mg有效成分，那么要為病人準備的藥物量為300 mg/120 mg×2 mL，即5 mL。

霍伊爾斯發現，所有護士對這套公式都熟記于心，但在實際工作中，他們自己早已總結出一套工作方法，甚至比這種正規公式更好用。護士會根據藥品形態和規格用不同方式進行計算，且保證計算無誤。其中一種方式叫“分塊處理”：護士一方面將藥品的各種標準包裝進行拆分和重組，另一方面對所需用藥量進行計算。

而護士日常接觸的藥品和病人類型不同，他們的分藥策略也有很大區別，比如自己常負責的藥品，它們的包裝特點是什么，這些藥通常都是什么規格，以及在此崗位積累的臨床知識和患者特點，都會影響分藥方式。因此，工作規定和工作環境都會影響數學方法在實際工作中的運用。

此外，在日常生活中，大家在應用數學時也有類似特點。研究發現，當代成年人在生活中能熟練地用數學解決問題，但這些生活智慧大多不是來自學生時代的課堂。比如去超市購物或在網上湊單，我們很少會想起數學課里的公式，而是在實際條件下想辦法。

加利福尼亞大學伯克利分校的教育學教授讓·萊夫發現，購物者在做消費決策的時候常用自己總結的“野路子辦法”，而不是正兒八經的數學公式，控制飲食的人也不會用教科書里正兒八經的公式計算每餐食物的攝入量。比如，冰箱里還剩2/3芝士，如果要再吃掉其中的3/4，他大概率不會用標準的公式計算得出今日的攝入量，而是將杯里的芝士全倒在一個計量板上，壓成一個圓形，橫豎一切分成4等份，取出3份作為今日的攝入量。像這樣的例子還有很多，但沒有一個方法是從數學課里學來的。

人們在生活中所用的數學方法并沒有什么特別的，都是在特定場景下冒出的解決方法。作為離開應試教育的成年人，我們很少在使用數學之前先去書里查找能應用的公式。擅長數學的人在面對問題的時候，會自然而然地拾起合適的數學原理進行靈活運用。

當今的數學課堂與社會生活嚴重脫節，導致學生畢業后，在面對生活和工作中的數學問題時還是腦袋空空。還在學校的時候，學生們潛意識里也會這么想：學習數學只是為了應付老師，對往后的生活毫無影響。隨著他們長大，這種錯誤思想的影響將會越來越大。

在一項調查里，我分別采訪了接受傳統數學教育和應用導向教育的學生，了解他們在勤工儉學的工作中是怎樣應用數學的。所有接受傳統教育的學生承認在課外他們需要數學，但絕不是老師教的那種數學。在他們眼里，數學課堂和生活之間有一條明顯的“三八線”，相互沒有關系。而接受應用導向教育的學生并沒有嚴格區分數學課堂和工作中的數學，他們隨隨便便就能舉出幾個在生活和工作中用到的數學方法，而這些是在課堂上學的。

2004年，在39個國家間的數學競賽中，美國排在第29位，并沒有墊底。這表明如果在教學過程中注重解決實際問題，那么孩子不僅能提高解決問題的能力，還能提高成績。在應試方面，應用導向教學并不比傳統教學差，甚至更好。

教學方式的選擇和數學學科發展有什么關系呢？在心理層面，我們需要改變孩子因在課堂上頻繁受挫而產生的不自信；在課程設置層面，我們需要充實課堂內容，改變孩子對數學課不感興趣的情況；在國家發展層面，我們也亟須為社會輸送優秀的數學人才，使國家在科學、醫學、技術發明等領域得到發展。關于數學教育，有許多問題尚待解答，本書將為家長和老師提供一些學習數學的新思路，從而讓孩子能夠快樂學習，同時讓整個國家的數學競爭力也能得到提升。

正因為如此，在數學課堂和家庭教育之中，我們都亟須把真正的數學展現出來。但我必須澄清，理想的教育方式并不能單純定義為“傳統”的或“新派”的，傳統和新派都是一種數學學習思路，沒有優劣之分。如果能將這兩種教育方式應用在合適的場景下，就能發揮更好的效果。在合適的教育方式下，孩子們既能解決應用難題，敢于對生活中各種數學現象進行發問，也能熟練使用、靈活應用標準方法，甚至有能力優化常規標準，將不同的方法聯系起來解決問題，這就是我認為的理想教育方式。在這種教育下，孩子能自然而然地把課堂上的思考延伸至課外。

不過，讓我們暫時回到本文開頭，回到埃米莉老師的課堂。埃米莉所在的學校是一所公立高中，這堂課是學校做的一次教育改革實驗：在數學課里，學生可以選擇傳統的上課方式或應用導向的上課方式。當我邀請另一位斯坦福大學高級教授旁聽埃米莉的課時，他也給予了高度的評價。事實上，埃米莉老師本人也因自己優秀的教學方式而屢獲嘉獎，她的很多學生在日后也選擇了數學專業。

非常可惜的是，埃米莉的數學課剛開不久就被叫停了。有一小部分家長發起抗議，認為正經的數學課堂就應該使用傳統的教學方式，學生就該乖乖坐在座位上聽老師講課，不要做那種考試不會考的數學應用題。從此以后，格林代爾中學的數學課堂“改過自新”，重回20世紀50年代的課堂：老師站在黑板前帶領學生解題，學生默默聽課，靜靜做題。初具成效的應用導向教學已不復存在了。