1.3　泰勒展開

在正式推導連續性方程之前，我們還要回憶大一學過的泰勒展開，如圖1-3所示。

一句話描述泰勒展開——用函數在某點的值來近似表示其附近點的值。我們先來回憶初中的知識：如圖1-3（A）所示，當時，在直線上取兩個點和，現在已知和的值，想要求，用初中數學知識，有

　　（1-5）

圖1-3　泰勒展開示意圖

如圖1-3（B）所示，當時，在直線上取兩個點和，依舊已知和的值，想要求，用初中數學知識，有

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圖1-3（A）～（B）都是直線問題，大家都會求。但如果是曲線，如圖1-3（C）～（D）所示，依舊已知和的值，想要求，你還會求嗎？這就要用到泰勒展開了，任何一個連續函數都可以用多項式近似。

針對圖1-3（C），我們可以寫出用點和表示的，即

　　（1-7）

針對上式，如果我們只取前3項，把后面的項省略，會得到

（這里采用約等號）　　（1-8）

當和之間的距離非常短時，我們就認為的值趨近于零，對于更高次冪，其值更加趨近于零，一般保留一次冪就滿足工程需要了，所以可以把約等號化成直等號，即

（這里采用直等號）　　（1-9）

可以發現式（1-9）和圖1-3（A）的式子相同。為什么會這樣呢？因為x₀和x₁之間的距離非常短，故可以把這段曲線當作直線來處理，即“以直代曲”。

再來看圖1-3（D），依舊是曲線，依舊套用泰勒展開，有

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但因為此時，為了保證括號里面的差值為正值（因為默認距離取正），把改成，現在的泰勒公式變成了

　　（1-11）

同樣地，如果只取前3項，把后面的項都省略，可得

　　（1-12）