第一章
從《公禱書(shū)》到《蒙特卡羅六壯士》

托馬斯·貝葉斯

倫敦東部肖爾迪奇區(qū)的老街地鐵站附近有一個(gè)叫邦希田園的著名墓地。

不少名人都長(zhǎng)眠于此，其中最著名的應(yīng)該是威廉·布萊克、《魯濱孫漂流記》和《瘟疫年紀(jì)事》的作者丹尼爾·笛福、《天路歷程》的作者約翰·班揚(yáng)。

不過(guò)對(duì)于像我這樣經(jīng)常步行往返于地鐵站和英國(guó)皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)的人來(lái)說(shuō)，邦希田園中最有名的逝者應(yīng)該是托馬斯·貝葉斯。

托馬斯·貝葉斯是18世紀(jì)英國(guó)長(zhǎng)老會(huì)的一名牧師，同時(shí)也是一位非專業(yè)的數(shù)學(xué)家。很少有人知道他生前寫(xiě)過(guò)一本神學(xué)書(shū)，以及一本分析牛頓微積分學(xué)的書(shū)，因?yàn)樗畛雒淖髌肥且黄麨椤兑粋€(gè)機(jī)會(huì)論問(wèn)題的求解思路》（An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances）的論文。[1]貝葉斯去世之后，他的朋友理查德·普賴斯發(fā)現(xiàn)了這篇論文以及一些未完成的筆記。對(duì)其整理之后，普賴斯將其發(fā)表在了英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的《自然科學(xué)會(huì)報(bào)》上。

而本書(shū)的核心內(nèi)容，就是貝葉斯所提出的一個(gè)簡(jiǎn)單到難以置信的概念，即貝葉斯定理。毫不夸張地說(shuō)，它或許是史上最重要的一個(gè)等式，可人們對(duì)貝葉斯本人卻知之甚少，就連他的出生年份（1701年）都只是一個(gè)估計(jì)值。

加拿大滑鐵盧大學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)名譽(yù)教授戴維·貝爾豪斯曾于2004年為《統(tǒng)計(jì)科學(xué)》雜志撰寫(xiě)了貝葉斯的個(gè)人傳記。[2]他認(rèn)為，關(guān)于貝葉斯的資料之所以這么少，主要問(wèn)題在于他是一名“非國(guó)教者”——不信奉英格蘭國(guó)教的新教徒。

想要理解這為什么會(huì)是個(gè)問(wèn)題，我們就得回顧一下幾個(gè)世紀(jì)之前發(fā)生的事情。小說(shuō)《狼廳》的粉絲一定還記得，亨利八世為了娶安妮·博林為后，于1533年帶領(lǐng)英格蘭脫離了羅馬教廷統(tǒng)領(lǐng)的天主教會(huì)。又娶了四任妻子之后，亨利八世于1547年離世。他死后，大主教托馬斯·克蘭麥于1549年推出了《公禱書(shū)》，并規(guī)定英國(guó)的所有教堂都必須在禮拜活動(dòng)中遵循該書(shū)的指導(dǎo)。[3]

亨利八世的長(zhǎng)女瑪麗一世并不認(rèn)同《公禱書(shū)》的內(nèi)容，于1553年廢除了托馬斯·克蘭麥的主張。1556年，她以異教徒的罪名將托馬斯·克蘭麥綁在火刑柱上活活燒死，對(duì)那些“異端邪說(shuō)”示以警告。幾年之后，伊麗莎白一世又重新認(rèn)可了《公禱書(shū)》的內(nèi)容，自此，《公禱書(shū)》在信徒之中流行了一個(gè)多世紀(jì)，直至英國(guó)內(nèi)戰(zhàn)爆發(fā)。

英格蘭共和國(guó)時(shí)期，從1649年查理一世被處死，到1660年君主制復(fù)辟這段時(shí)間，國(guó)家對(duì)禮拜形式的限制有所松動(dòng)；然而到了1662年，議會(huì)又通過(guò)了新的《統(tǒng)一法案》，再一次確立了《公禱書(shū)》的地位，要求英格蘭境內(nèi)的所有禮拜活動(dòng)都必須遵循《公禱書(shū)》的指導(dǎo)。

此時(shí)，很多神職人員已經(jīng)習(xí)慣了共和國(guó)時(shí)期奧利弗·克倫威爾統(tǒng)治下的自由氛圍，約2000人拒絕接受《統(tǒng)一法案》，其中大多數(shù)人是清教徒，結(jié)果就是他們被解除了職務(wù)，并被逐出了安立甘宗的教會(huì)。即便如此，其中仍有許多人選擇繼續(xù)布道（通常是在當(dāng)?shù)刭F族的保護(hù)下），歷史上一般將這些人稱為“非國(guó)教者”或“不從國(guó)教者”。

1688年，英國(guó)通過(guò)了《寬容法案》，允許長(zhǎng)老會(huì)信徒、貴格會(huì)信徒等非國(guó)教者享有禮拜自由，這意味著（與當(dāng)時(shí)的天主教不同）他們?cè)僖膊挥猛低得刈龆Y拜了，但是他們的禮拜場(chǎng)所必須得到國(guó)家的許可。此外，這些人（其中就包括貝葉斯）還被禁止擔(dān)任公職，禁止進(jìn)入英國(guó)的大學(xué)。如此一來(lái)，非國(guó)教的學(xué)者和準(zhǔn)牧師們就只能去蘇格蘭的大學(xué)（比如愛(ài)丁堡大學(xué)）或荷蘭的大學(xué)（比如萊頓大學(xué)）學(xué)習(xí)、任教。

托馬斯·貝葉斯來(lái)自一個(gè)相當(dāng)富有的非國(guó)教家庭——其曾祖父理查德·貝葉斯因在謝菲爾德從事鋼鐵制造和餐具制作而發(fā)家致富。理查德和妻子愛(ài)麗絲（婚前姓查普曼）育有兩個(gè)兒子，其中一個(gè)叫塞繆爾。和大多數(shù)名門(mén)望族一樣（無(wú)論是否信奉安立甘宗），塞繆爾也成為一名牧師，并且非常幸運(yùn)地在英格蘭共和國(guó)時(shí)期達(dá)到大學(xué)入學(xué)年齡，進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí)，最終于1656年順利畢業(yè)。盡管塞繆爾并沒(méi)有信奉國(guó)教，但他還是成為北安普敦郡的一名牧師。不過(guò)后來(lái)《統(tǒng)一法案》頒發(fā)的時(shí)候，他又成為拒絕遵守該法案的2000名神職人員之一，并因此被調(diào)離了所在教區(qū)。理查德的另一個(gè)兒子約書(shū)亞是托馬斯的祖父，他并沒(méi)有從事神職工作，而是跟隨理查德的腳步繼承了家業(yè)。

這一時(shí)期的貝葉斯家族似乎十分熱衷于非國(guó)教的傳播。約書(shū)亞出資在謝菲爾德建造了一座非國(guó)教教堂，而他的女婿則成為另一座非國(guó)教教堂的創(chuàng)始人和牧師（雖然約書(shū)亞一共有4個(gè)女兒、3個(gè)兒子，但其中有2個(gè)女兒和1個(gè)兒子夭折了）。

約書(shū)亞的次子生于1671年，名字也叫約書(shū)亞[4]。小約書(shū)亞在英國(guó)北部的一所非國(guó)教學(xué)院學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)，由于政府對(duì)非國(guó)教學(xué)者的騷擾和迫害，該學(xué)院曾多次被迫搬遷。畢業(yè)之后，小約書(shū)亞接連在倫敦多所非國(guó)教教會(huì)中擔(dān)任牧師，先是在薩瑟克，后來(lái)又到了法靈登附近。根據(jù)戴維·貝爾豪斯的說(shuō)法，小約書(shū)亞在信徒中非常受尊敬，大家認(rèn)為他“既是一位傳道者，又是一位博學(xué)者”。

另一方面，小約書(shū)亞也是一個(gè)典型的十分顧家的清教徒，擁有眾多子女。1700年10月，他與安妮（婚前姓卡彭特）結(jié)為夫妻，但具體日期已無(wú)從考證，這或許是因?yàn)樗麄兊幕槎Y是在非國(guó)教教堂舉行的。沒(méi)錯(cuò)，一個(gè)人的出生信息、死亡信息、婚姻信息全部由英格蘭國(guó)教保存，非國(guó)教群體的各種登記信息則通常“保密或不公開(kāi)，因?yàn)楹ε略馐茏诮唐缫暋薄?/p>

出于同樣的原因，小約書(shū)亞和安妮那7名出色的子女的出生信息也不得而知。這7個(gè)孩子全部順利活到了成年階段，這在當(dāng)時(shí)是非常罕見(jiàn)的——18世紀(jì)早期出生的英國(guó)兒童約有三分之一會(huì)在5歲前夭折。[5]我們已知小約書(shū)亞的長(zhǎng)子托馬斯去世于1761年4月，享年59歲，所以據(jù)此可以推算出他有“80%的概率”[6]出生于1701年（也有可能是1702年年初）。托馬斯的6個(gè)妹妹弟弟按出生順序依次為瑪麗、約翰、安妮、塞繆爾、麗貝卡、納撒尼爾。同樣，我們只知道這些人的去世年份和去世時(shí)的年齡（約翰去世時(shí)的年齡最小，1743年他去世的時(shí)候只有38歲；麗貝卡活到了82歲），但不知道他們確切的出生日期。

小約書(shū)亞這一家人的發(fā)展軌跡和當(dāng)時(shí)其他富有的、受過(guò)教育的家庭差不多。約翰進(jìn)入林肯律師學(xué)院攻讀法律，并于1739年獲得了律師資格。塞繆爾和納撒尼爾像他們的祖父、曾祖父一樣進(jìn)入了商貿(mào)領(lǐng)域——塞繆爾賣(mài)家用紡織品，納撒尼爾經(jīng)營(yíng)食品雜貨。安妮嫁給了一位同階層的富有的紡織品經(jīng)銷(xiāo)商，麗貝卡則嫁給了一位律師。故事的主角托馬斯則選擇跟隨父親的步伐，成為一名非國(guó)教牧師。

有一種說(shuō)法是，負(fù)責(zé)教育少年托馬斯的老師是貝葉斯家族的好朋友約翰·沃德，后來(lái)他成為劍橋市格雷沙姆學(xué)院修辭學(xué)教授、英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。托馬斯的父親曾出資幫助約翰·沃德出版了著作《格雷沙姆學(xué)院教授們的生活》（Lives of the Professors of Gresham College）。約翰·沃德的傳記作者表示，“在一番‘勸誘’之下，他承擔(dān)了很多朋友的孩子的教育任務(wù)”，并在穆?tīng)柗茽柶澋貐^(qū)開(kāi)辦了一所學(xué)校。[7]還有一種說(shuō)法是，負(fù)責(zé)教育少年托馬斯的老師不是約翰·沃德，而是亞伯拉罕·棣莫弗，即概率論的偉大先驅(qū)之一，他曾被迫逃離法國(guó)，在倫敦靠當(dāng)家庭教師謀生。不過(guò)，這種說(shuō)法更多只是一種猜測(cè)。[8]

托馬斯是個(gè)相當(dāng)聰明的年輕人。約翰·沃德于1720年（當(dāng)時(shí)托馬斯十八九歲）寫(xiě)給托馬斯的一封信能夠清楚地證明，托馬斯·貝葉斯可以流利地閱讀希臘文和拉丁文——畢竟信件就是用拉丁文寫(xiě)的——盡管約翰·沃德也在信中就托馬斯的拉丁文寫(xiě)作能力給出了一些建議。

盡管貝葉斯家族富甲一方、人脈廣泛，盡管托馬斯聰慧過(guò)人，但他還是被英國(guó)的各所大學(xué)拒于門(mén)外，這一切只因他的家族沒(méi)有信奉國(guó)教。1719年搬到愛(ài)丁堡之后，托馬斯似乎拜入了邏輯學(xué)、形而上學(xué)教授科林·德拉蒙德的門(mén)下。1720年的那封信還包含一個(gè)信息，那就是托馬斯對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握令約翰·沃德感到欣慰，他在信中寫(xiě)道：“你對(duì)各個(gè)科目的學(xué)習(xí)安排可謂井然有序，十分合理。同時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)，能夠讓你更清晰、更容易地理解二者對(duì)思維模式和認(rèn)知模式的塑造起到了何種作用、做出了多大貢獻(xiàn)。”

不過(guò)托馬斯搬至愛(ài)丁堡的主要目的并不是學(xué)習(xí)數(shù)理知識(shí)，而是學(xué)習(xí)神學(xué)知識(shí)，以便為將來(lái)的牧師生涯打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。1720年，托馬斯進(jìn)入了神學(xué)院。神學(xué)院里的資料表明，托馬斯的主要研究方向是《馬太福音》，最后一份研究記錄的日期是1722年1月，據(jù)此我們可以推測(cè)在此之前他一直都在愛(ài)丁堡學(xué)習(xí)、生活。

由于我們對(duì)托馬斯人生軌跡的了解是碎片化的，下一個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)不得不跳躍至1728年。我們知道托馬斯在1728年之前的某天就已經(jīng)出現(xiàn)在倫敦了，因?yàn)楫?dāng)年長(zhǎng)老會(huì)、獨(dú)立派、浸禮宗的共同委員會(huì)——托馬斯的父親小約書(shū)亞長(zhǎng)期擔(dān)任該委員會(huì)會(huì)員，有時(shí)還擔(dān)任負(fù)責(zé)人——收到了一份牧師名單，上面寫(xiě)有托馬斯的名字。此時(shí)的托馬斯已經(jīng)成為一名準(zhǔn)牧師，但尚未進(jìn)入教堂任職。之后在1732年——根據(jù)當(dāng)年的一份名單——托馬斯加入了父親的事業(yè)，在法靈登附近的皮革巷的一個(gè)非國(guó)教教堂內(nèi)任起了神職。1734年年初，他搬到了肯特郡的坦布里奇韋爾斯鎮(zhèn)，開(kāi)啟了自己的牧師生涯。

目前我們只知道托馬斯是個(gè)非國(guó)教者，但并不知道他的確切信仰。這或許意味著他信奉著一個(gè)相當(dāng)小眾甚至可能是難以被主流接納的異端宗教。

可以確定的是，托馬斯既不是安立甘宗教徒，也不是天主教教徒。雖然二者的教義不同，但區(qū)別并不大——在一般人眼中區(qū)別更小。天主教認(rèn)為，只有通過(guò)教會(huì)才能獲得救贖；而安立甘宗認(rèn)為，只要教徒能夠信仰耶穌并遵循他的旨意行事，那就算他一輩子沒(méi)見(jiàn)過(guò)牧師，也能上天堂。天主教認(rèn)為，圣餐儀式中的圣餅和圣酒真真切切就是基督的身體與血液；而大多數(shù)安立甘宗教徒認(rèn)為圣餐儀式只是基督精神的一種寄托。不過(guò)兩個(gè)教派都相信神圣的三位一體——圣父、圣子、圣靈——三個(gè)不同的位格都是上帝的同一本體、同一本質(zhì)、同一屬性。

某些非國(guó)教者有著非常不同的信仰，比如阿利烏斯派與蘇西尼派完全不認(rèn)可三位一體的說(shuō)法（因此他們被主流基督教徒視為異教徒）。阿利烏斯派認(rèn)為圣父才是至高無(wú)上的真神，他的兒子耶穌則是一個(gè)自始至終都存在著的、神性稍低一些的神，這意味耶穌在降臨地球之前就已經(jīng)存在了。類似地，蘇西尼派也認(rèn)為耶穌的神性要稍低一些，只不過(guò)他們認(rèn)為耶穌并非一直存在，而是在誕生后才存在。后來(lái)這兩個(gè)教派又衍生出了一個(gè)新的派別，即一位論派，該教派同樣不認(rèn)可三位一體，不過(guò)他們的理論更為激進(jìn)——他們相信上帝是唯一真神，耶穌并不是神。

在18世紀(jì)，這些信仰在長(zhǎng)老會(huì)中迅速普及開(kāi)來(lái)。雖然貝爾豪斯認(rèn)為“這些長(zhǎng)老會(huì)成員的思想相當(dāng)開(kāi)放”，但實(shí)際上也沒(méi)有開(kāi)放到可以容忍各種思想存在的地步：1719年，埃克塞特市的長(zhǎng)老會(huì)驅(qū)逐了兩位傳教士，即詹姆斯·皮爾斯和約瑟夫·哈利特，理由是兩個(gè)人已經(jīng)變成信奉阿利烏斯派的異教徒。[9]

托馬斯撰寫(xiě)的第一部作品是一本出版于1731年、名為《神的慈愛(ài)：試證神和政府都以生靈的幸福為宗旨，暨對(duì)〈神的正直：探究神在道德方面的完美性〉一文關(guān)于“美和秩序、懲罰行為的合理性、預(yù)先審判對(duì)于幸福的必要性”的論述的反駁》的神學(xué)著作。[10]雖然他并沒(méi)有在書(shū)上署名（說(shuō)實(shí)話，書(shū)名這么長(zhǎng)，也沒(méi)地方給他署名），但學(xué)界普遍認(rèn)為這就是他的作品。他的好友理查德·普賴斯也在自己的文稿中表示，托馬斯就是該書(shū)的作者。

具體來(lái)說(shuō)，《神的慈愛(ài)》是一部討論神正論的著作。托馬斯試圖在書(shū)中分析這樣一個(gè)問(wèn)題：假如上帝真的有大愛(ài)，是全知全能的，那他為什么會(huì)允許世界上存在罪惡？大衛(wèi)·休謨?cè)靡帘邙F魯?shù)拿詠?lái)描述該問(wèn)題：“是不是上帝的確想阻止罪惡，但沒(méi)有能力做到？如果真是這樣，那他就不是全知全能的；是不是上帝的確有能力阻止罪惡，但他并不想這樣做？如果真是這樣，那他就不是真愛(ài)的。倘若他真的想阻止，也有能力阻止，那這世間又怎會(huì)有罪惡？”[11]

托馬斯這本書(shū)其實(shí)是對(duì)安立甘宗神學(xué)家約翰·鮑爾吉撰寫(xiě)的一篇神學(xué)文章的回應(yīng)。約翰·鮑爾吉認(rèn)為世上之所以存在苦難，是因?yàn)樯系鄣闹辽浦傅氖恰白稣_和恰當(dāng)?shù)氖虑椤保@種至善并不一定會(huì)符合人類的喜惡。[12]托馬斯的觀點(diǎn)與之相反，他相信上帝是慈愛(ài)的，上帝希望自己的子民幸福。不過(guò)現(xiàn)實(shí)情況是大部分世人都不幸福，所以托馬斯花了大量篇幅解釋為什么上帝有能力讓我們幸福，也希望我們幸福，卻沒(méi)有這樣做。這本書(shū)問(wèn)世之后立即引發(fā)了大量爭(zhēng)議，反過(guò)來(lái)這也導(dǎo)致它得到了廣泛傳播。

不過(guò)《神的慈愛(ài)》并沒(méi)有提及托馬斯自己的信仰。雖然托馬斯的父親小約書(shū)亞是一位“包容的、能夠接納各種不同觀點(diǎn)的加爾文主義者”[13]，但根據(jù)貝爾豪斯的觀點(diǎn)，托馬斯很可能是一位阿利烏斯派信徒或蘇西尼派信徒，并且“即將成為一名一位論派信徒”。貝爾豪斯表示：“他不是那種尋常的、傳統(tǒng)的基督徒。盡管他曾接受長(zhǎng)老會(huì)牧師的培訓(xùn)，但他很可能是一名蘇西尼派信徒。”

證據(jù)來(lái)自托馬斯的社交圈。托馬斯和詹姆斯·福斯特是朋友兼同事——詹姆斯·福斯特也是一名非國(guó)教牧師。此外，詹姆斯·福斯特本人還和另外兩名因信奉阿利烏斯派而被驅(qū)逐的埃克塞特牧師是好朋友。詹姆斯·福斯特寫(xiě)過(guò)一本名為《宗教的基礎(chǔ)論》（An Essay on Fundamentals in Religion）的手冊(cè)[14]，他在手冊(cè)中表示三位一體并不是基督教的基本信條。在我看來(lái)，這種思想簡(jiǎn)直是異教中的異教。

托馬斯還有一位叫威廉·惠斯頓的同事，他是艾薩克·牛頓的學(xué)生，也是牛頓在劍橋大學(xué)的盧卡斯數(shù)學(xué)教席的繼任者。某次早餐會(huì)上，這兩位同事一起問(wèn)托馬斯，周末在本地安立甘宗教堂舉辦的講道活動(dòng)是否包含《亞他那修信經(jīng)》的內(nèi)容（該信經(jīng)闡釋了三位一體理論）。威廉·惠斯頓表示，如果包含這部分內(nèi)容，他就當(dāng)場(chǎng)辭去神職，托馬斯立即安慰他說(shuō)大概率不包含。

托馬斯死后還給約翰·霍伊爾、理查德·普賴斯留下了200英鎊。這兩個(gè)人都是倫敦地區(qū)的非國(guó)教牧師，都信仰阿利烏斯派，他們所在的教會(huì)最后都改信了一位論派。前文提及，理查德·普賴斯是托馬斯的摯友，托馬斯去世之后，正是他幫忙整理、發(fā)表了那篇包含貝葉斯定理在內(nèi)的著名論文。

托馬斯·貝葉斯身邊的同齡人大多出身于貴族家庭，接受過(guò)大學(xué)教育，甚至有不少人拿到了神學(xué)博士學(xué)位。[15]他的社交圈中有很多像約翰·沃德、威廉·惠斯頓一樣德高望重的人物，僅憑這一點(diǎn)就能看出他生活的環(huán)境有多上流。來(lái)到坦布里奇韋爾斯之后，托馬斯繼續(xù)與名門(mén)望族、權(quán)貴顯赫之輩打交道，其中最重要的一位應(yīng)當(dāng)是第二代斯坦諾普伯爵菲利普·斯坦諾普。當(dāng)時(shí)坦布里奇韋爾斯的“主要產(chǎn)業(yè)是旅游業(yè)”[16]，所以交通相當(dāng)便捷，人們從倫敦坐馬車(chē)只需一天便可抵達(dá)這里。當(dāng)?shù)刈畛雒穆糜钨Y源是深受大眾喜愛(ài)的、泉水全部自產(chǎn)的大型溫泉。菲利普·斯坦諾普7歲的時(shí)候繼承了亡父的爵位。由于他家的“志奮領(lǐng)莊園”距離坦布里奇韋爾斯只有幾英里[17]的路程，從20多歲開(kāi)始他就成為當(dāng)?shù)氐某？汀７评铡に固怪Z普出生于1713年，比托馬斯要年輕一些。

這位年輕的伯爵算得上一位狂熱的數(shù)學(xué)愛(ài)好者。小時(shí)候，他的叔叔及監(jiān)護(hù)人曾逼迫他放棄數(shù)學(xué)，把興趣轉(zhuǎn)向文學(xué)藝術(shù)，可是成年之后，他立即重新拾起對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)。他的同輩曾這樣評(píng)價(jià)他：“他閱讀了大量和神學(xué)、形而上學(xué)、數(shù)學(xué)相關(guān)的書(shū)。[18]他的筆記本上總是寫(xiě)滿了各種數(shù)學(xué)符號(hào)，以至于有一半人以為他是變戲法的，還有一半人干脆把他當(dāng)成傻子。”[19]

菲利普·斯坦諾普為科學(xué)家和數(shù)學(xué)家編織了一張社交網(wǎng)絡(luò)，托馬斯、格拉斯哥大學(xué)的數(shù)學(xué)家羅伯特·史密斯（菲利普·斯坦諾普曾幫忙出版他的遺作）、化學(xué)家約瑟夫·普里斯特利（氧氣的發(fā)現(xiàn)者）、神學(xué)家兼科學(xué)家約翰·埃姆斯（牛頓的好朋友）都在這個(gè)圈子中。這張關(guān)系網(wǎng)中的所有人都是來(lái)自不同教派的非國(guó)教者，而且大多是出身名門(mén)望族的科學(xué)愛(ài)好者、數(shù)學(xué)愛(ài)好者。

貝爾豪斯認(rèn)為，以現(xiàn)代人的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看，“與其說(shuō)托馬斯是個(gè)學(xué)者，不如說(shuō)他是個(gè)業(yè)余愛(ài)好者兼藝術(shù)家。他做研究更多是為了自?shī)首詷?lè)，而不是為了在學(xué)術(shù)上有所成就”。

菲利普·斯坦諾普和托馬斯都是聰穎之輩，而且他們的工作并不繁重，閑暇時(shí)光較多，可以把大量精力花在數(shù)學(xué)上。貝爾豪斯表示：“18世紀(jì)的富人特別熱衷于參與各種科學(xué)活動(dòng)，就像現(xiàn)代的富人總是喜歡投資各種球隊(duì)。”

近些年，人們?cè)诜评铡に固怪Z普的遺物中發(fā)現(xiàn)了大量他與托馬斯往來(lái)的書(shū)信。根據(jù)信中內(nèi)容我們可以推測(cè)，兩人相識(shí)于18世紀(jì)30年代，契機(jī)則來(lái)自托馬斯所寫(xiě)的一篇名為《微積分淺談》（An Introduction to the Doctrine of Fluxions）的論文。[20]

當(dāng)時(shí)哲學(xué)家喬治·貝克萊正在不遺余力地抨擊牛頓的微積分理論，托馬斯為了支持牛頓而寫(xiě)下這篇論文。沒(méi)錯(cuò)，托馬斯是牛頓堅(jiān)定的追隨者。貝爾豪斯表示：“有些非國(guó)教者不敢傳播數(shù)學(xué)知識(shí)，因?yàn)樗麄兒ε卤蝗丝醋髋ｎD科學(xué)的擁護(hù)者，進(jìn)而被貼上‘無(wú)神論者’的標(biāo)簽。但大多數(shù)非國(guó)教者都認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)至關(guān)重要——有了數(shù)學(xué)，你才能弄懂上帝所創(chuàng)造的這個(gè)宇宙的運(yùn)轉(zhuǎn)規(guī)律。”

喬治·貝克萊認(rèn)為牛頓的理論犯下了“除數(shù)為零”的錯(cuò)誤：一個(gè)關(guān)鍵的方程中，分母居然可以等于零，可見(jiàn)“微積分學(xué)說(shuō)”在本質(zhì)上是矛盾的。為了反駁這種言論，托馬斯試圖在自己的論文中為牛頓的理論給出更嚴(yán)格的定義，讓方程的每一項(xiàng)都不再有歧義。

之后托馬斯又對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)及其與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系做了一些研究。“導(dǎo)數(shù)”是圖表中斜率的變化率。假如現(xiàn)在有一幅關(guān)于距離（單位為米）和時(shí)間（單位為秒）的圖形，線條的形狀反映了速度（單位為米每秒）的情況。如果線條是直線，那速度就是恒定的；如果線條是曲線，那速度就是變化的。導(dǎo)數(shù)可以精確求出曲線在某一點(diǎn)的斜率，這樣我們就能算出任意給定距離或時(shí)間下的速度。更進(jìn)一步地，我們知道速度的變化量除以時(shí)間就是加速度，加速度是距離和時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

而無(wú)窮級(jí)數(shù)指的就是無(wú)窮無(wú)盡的級(jí)數(shù)。比如“x=1+2+3+4+5…”就是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，等式右邊可以按照規(guī)律一直加下去，所以x等于無(wú)窮大。不過(guò)，并非所有無(wú)窮級(jí)數(shù)都等于無(wú)窮大，比如“x=(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32)…”也是無(wú)窮級(jí)數(shù)，但它等于1。

托馬斯證明，y在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于y展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)在T時(shí)刻的值，減去它在T+1時(shí)刻的值的一半，再加上它在T+2時(shí)刻的值的三分之一……以此類推。直到托馬斯和菲利普·斯坦諾普雙雙離世之后，人們才在斯坦諾普的手稿中發(fā)現(xiàn)了這一精巧的公式（那張遺稿以寥寥數(shù)字記下了這一信息：“1747年8月12日，托馬斯在坦布里奇韋爾斯向我介紹了這個(gè)定理”）。貝爾豪斯表示，直到25年之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日才再一次獨(dú)立提出了該定理。[21]

托馬斯就是在這個(gè)時(shí)候開(kāi)始對(duì)概率論產(chǎn)生了濃厚的興趣。不過(guò)在介紹貝葉斯定理之前，我們有必要回顧一下概率論的發(fā)展史，了解一下那些為概率論做出過(guò)重要貢獻(xiàn)的人。